Kann Logik zur Bewältigung des Alltags helfen?

ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ Λόγος
Geschrieben steht: »Im Anfang war das Wort!«
Hier stock ich schon! Wer hilft mir weiter fort?
Ich kann das Wort so hoch unmöglich schätzen,
Ich muß es anders übersetzen,
Wenn ich vom Geiste recht erleuchtet bin.
Geschrieben steht: Im Anfang war der Sinn.
Bedenke wohl die erste Zeile,
Daß deine Feder sich nicht übereile!
Ist es der Sinn, der alles wirkt und schafft?
Es sollte stehn: Im Anfang war die Kraft!
Doch, auch indem ich dieses niederschreibe,
Schon warnt mich was, daß ich dabei nicht bleibe.
Mir hilft der Geist! Auf einmal seh ich Rat
Und schreibe getrost: Im Anfang war die Tat!
Delacroix, Faust in der Studierstube
Logik
Von griechisch Λόγος (Wort, Rede, Sinn)
Wissenschaft vom rechten Schließen
Begründet von Aristoteles
Ἀριστοτέλης
384 – 322 v. Chr.
Über 2000 Jahre alte Wissenschaft
G. W. Leibniz Bertrand Russel L. Wittgenstein
1646 ‐ 1716
1872 ‐ 1970
1889 ‐ 1951
David Hilbert
1862 ‐ 1943
Kurt Gödel
1906 ‐ 1978
Logik
Geboren in Wismar
Gestorben in Bad Kleinen
Gottlob Frege
1848 – 1925
Formelsprache
des reinen Denkens
Zuse Z3
Baujahr: CPU‐Frequenz:
Gewicht:
Stromverbrauch:
Speicher:
Speed:
1941
5 Hertz
1 Tonne
4000 Watt
64 Worte zu 22 bit
1 Addition pro Sekunde
ENIAC
Baujahr:
Röhren:
Widerstände: Lötpunkte:
Gewicht:
Stromverbrauch:
Speed:
1945
17.000
70.000
5 Millionen (von Hand !)
27 Tonnen
150.000 Watt
35 Divisionen pro Sekunde
Die Konsole des ENIAC
Der erste Transistor
Büroklammer als Träger
ENIAC on a Chip
Baujahr:
Transistoren:
Größe:
1997
174.000 (nur !)
7 mm x 5 mm
Intel Pentium 4 (im Bild)
Core 2 Extreme QX 9775
CPU‐Takt:
3.2 Ghz
Transfer:
12.8 Gbyte / sec
Pro Sekunde ein James Bond Film
Transistoren: 820 Millionen
Einsatz:
Computer‐Spiele
Fertigung:
Gleich mehrere Dutzend pro Wafer
Jaguar
Prozessoren:
Stromverbrauch:
Rechenleistung: 150.152
7 MW
1 Peta Flop / sec
Prof. Dr. Clemens H. Cap
Universität Rostock
clemens .cap@uni‐rostock .de
Ringvorlesung des IuK‐Verbunds
zum Jahr der Mathematik
Prof. Dr. Clemens H. Cap
Universität Rostock
clemens .cap@uni‐rostock .de
Ringvorlesung des IuK‐Verbunds
zum Jahr der Mathematik
Logik
Ziele der Logik
Wege der Logik
Grenzen der Logik
Turing Maschine
Gedankenmodell zu den Grenzen von Rechenmaschinen
Alan Turing
1912 ‐ 1954
1. Endliches Alphabet
2. Endliche viele Zustände
3. (Virtuell) unendliches Papierband mit einzelnen Feldern
4. Aktueller Zustand und vorliegendes Zeichen bestimmen Aktion
Aktionen:
• Links, Rechts, best. Zeichen Schreiben, Halt
A
L
Turing Maschine
Berechnen der Addition: Schreibe n Zahlen auf das Band, durch # getrennt
Gibt es eine TM, die beim Anhalten die Summe auf dem Band stehen hat?
Turing Maschine
Berechnen der Addition: Schreibe n Zahlen auf das Band, durch # getrennt
Gibt es eine TM, die beim Anhalten die Summe auf dem Band stehen hat?
Definition einer Sprache durch eine TM μ
Schreibe ein Wort aus dem lat. Alphabet auf das Band und starte μ
Wenn μ jemals anhält, ist das Wort Element einer Menge λ von Worten
Bsp: Die Sprache aller korrekten Additionen
Sprache enthält u. a. die Worte 2+13=15 oder 7=3+4+0
Sprache enthält nicht das Wort ++3 (falsch geschrieben)
Sprache enthält nicht das Wort 7=1+1
(inhaltlich falsch)
Turing Maschine
Berechnen der Addition: Schreibe n Zahlen auf das Band, durch # getrennt
Gibt es eine TM, die beim Anhalten die Summe auf dem Band stehen hat?
Definition einer Sprache durch eine TM μ
Schreibe ein Wort aus dem lat. Alphabet auf das Band und starte μ
Wenn μ jemals anhält, ist das Wort Element einer Menge λ von Worten
Bsp: Die Sprache aller korrekten Additionen
Sprache enthält u. a. die Worte 2+13=15 oder 7=3+4+0
Sprache enthält nicht das Wort ++3 (falsch geschrieben)
Sprache enthält nicht das Wort 7=1+1
(inhaltlich falsch)
Es gibt keine "mächtigere" Maschine als eine TM (naja)
Jeder Computer ist eine TM (naja, eine Art TM)
David Hilbert
1862 ‐ 1943
David Hilbert
1862 ‐ 1943
Universelles Entscheidungsproblem
Konstruiere eine (Turing)maschine, die alle Wahrheiten ausspuckt
alle Wahrheiten als solche erkennen kann
Was bedeutet das genau?
Mögliche Welten
(Modelle)
Sprachliche Ausdrücke
(log. Formeln)
Seien ein Modell und ϕ eine Formel
Schreibe ϕ
wenn Formel ϕ eine Eigenschaft von Modell
zutreffend beschreibt
Beispiel für zutreffende Beschreibungen
Modelle: Farbige Schubladen mit Kugeln,
Operation des "Zusammenschüttens"
Wähle ein solches Modell
Zusammen‐
Grau ist I
schütten
Blau ist II
Grau ♣ Blau ist III
Grau ♣ Blau ♣ Blau ist V
Grün ist II
Kernfragen der Logik (1)
Beschreibungsproblem
Suche zu einer Welt von Modellen eine geeignete Sprache
Schlußproblem
Finde in der Sprache einen Mechanismus, der aus zutreffenden Formeln neue Formeln der Sprache erzeugt
Bsp: "Rot ist I", "Blau ist II" "Rot ♣ Blau ist III"
Korrektheit
Mechanismus macht aus zutreffenden Formeln wieder zutreffende Formeln
ϕ und ϕ
ψ dann auch ψ
Kernfragen der Logik (2)
Vollständigkeit
Der Mechanismus kann alle Schlüsse erklären
Wenn für alle Modelle aus ϕ immer auf
kann, dann soll auch ϕ ψ gelten
ψ geschlossen werden Axiomatisierbarkeit
Jede "interessante" Klasse von Modellen kann durch endlich viele Formeln ϕ, ψ, … charakterisiert werden
Modelle können sein
Wahrheitswerte
Aussagenlogik
Funktionen, Relationen
Prädikatenlogik
Programme
Programmlogiken
Ereignisse zu Zeitpunkten
Temporale Logiken
Modalitäten von Geschehen
Modale Logiken
Prozesse, Ressourcen
Lineare Logiken
Unscharfe Aussagen
Fuzzy Logik
Aussagen zu Teilchen
Quantenlogiken
Löse diese Kernfragen für alle diese Logiken
Cave: Nicht klar, daß das immer geht !
Aussagenlogik
Modellwelt:
Buchstaben haben Wahrheitswerte
Mechanismus:
Durch Meta‐Regeln beschreiben
Wenn A B zutrifft und C D zutrifft
dann trifft auch A ∧ C B ∧ D zu
A B C D
A∧C
B ∧ D
Aussagenlogik
Modellwelt:
Buchstaben haben Wahrheitswerte
Mechanismus:
Durch Meta‐Regeln beschreiben
Wenn A B zutrifft und C D zutrifft
dann trifft auch A ∧ C B ∧ D zu
A B C D
A∧C
B ∧ D
Ähnlich:
R S R T
R S ∧ T
Aussagenlogik
Brauchen wir beide Regeln?
A B C D
A∧C
R S R T
B ∧ D
R S ∧ T
Nein, in der klassischen Aussagenlogik sind sie äquivalent
Formaler Beweis unter Nutzung anderer Regeln
Aussagenlogik
Brauchen wir beide Regeln?
A B C D
A∧C
R S R T
B ∧ D
R S ∧ T
Nein, in der klassischen Aussagenlogik sind sie äquivalent
Formaler Beweis unter Nutzung anderer Regeln
Bitte an den Untertitel denken
Aussagenlogik
A B C D
Ein $ Pizza Ein €
A∧C
Ein $ und ein €
B ∧ D
Cola
Pizza und Cola
Aussagenlogik
A B C D
Ein $ Pizza Ein €
A∧C
Ein $ und ein €
B ∧ D
R S R T
R S ∧ T
Ein €
Ein €
Cola
Pizza und Cola
Hamburger Ein €
Bier
Hamburger und Bier
Aussagenlogik
A B C D
Ein $ Pizza Ein €
A∧C
Ein $ und ein €
B ∧ D
R S R T
R S ∧ T
Fazit 1: Fazit 2: Fazit 3:
Ein €
Ein €
Cola
Pizza und Cola
Hamburger Ein €
Bier
Hamburger und Bier
Logik macht immer mehr Spaß ☺
Es gibt mehrere Formen von und
Additives "und" respektiert Ressourcen nicht
Multiplikatives "und" respektiert Ressourcen
Lineare Logik als Logik mit 2 verschiedenen UND
und einigen anderen Anpassungen
Grenzen der Logik
Wahl der "richtigen" Logik nicht immer klar
Tipp: Bei Guthaben multiplikatives "und", bei Krediten additives "und" ☺
Komplexität
Wenn die TM länger rechnet als die Lebensdauer des Universums
Berechenbarkeit
Wenn es für eine bestimmte Modellwelt gar keine TM gibt
zur Bestimmung zutreffender Formeln
Unvollständigkeit
Paradoxien
Konventionalismus
Tetralemma
Grenzen der Logik
Unvollständigkeit
1. Sichtweise: Gödel
Es gibt eine prädikatenlogische Formel, die im Modell der Alltagsarithmetik gilt, aber nicht aus der Axiomatisierung der Alltagsarithmetik hergeleitet werden kann
2. Sichtweise:
Die Alltagsarithmetik kann nicht durch Prädikatenlogik 1. Stufe eindeutig axiomatisiert werden
3. Sichtweise: 2‐tes Hilbertsches Problem
Es kann mit logischen Mitteln nicht nachgewiesen werden, daß die Axiomatisierung der Alltagsarithmetik widerspruchsfrei ist
Grenzen der Logik
Paradoxon des Lügners
Epimenides der Kreter sagt: „Alle Kreter sind Lügner“
1. Wenn der Satz wahr ist…
2. dann hat Epimenides gerade gelogen und er ist falsch
Mathematisch: Russelsche Antinomie
Sei M die Menge aller Mengen, die sich selber nicht enthalten.
Formal: M := { X | X ∉ X }
Frage: Enthält sich M selber oder nicht?
Wenn ja – dann nein
Wenn nein – dann ja
Grenzen der Logik
Paradoxien: Paradoxon von Curry & Löb (1)
Wenn dieser Satz wahr ist, dann gibt es den Weihnachtsmann.
Haskell Curry
1. Voraussetzung:
Dieser Satz ist wahr.
2. Schluß:
Es gibt den Weihnachtsmann
3. Annahme: Dieser Satz ist falsch.
4. Das geht nur, wenn Voraussetzung wahr und Schluß falsch
5. Die Voraussetzung ist „Dieser Satz ist wahr“
6. Die Annahme „Dieser Satz ist falsch“ führt auf „Dieser Satz ist wahr“
7. Also ist die Annahme „Dieser Satz ist falsch“ falsch
8. Also ist dieser Satz wahr
9. Also gibt es den Weihnachtsmann
Martin Löb
Grenzen der Logik
Paradoxien: Paradoxon von Curry & Löb (2)
Wenn dieser Satz wahr ist, dann gibt es den Weihnachtsmann.
1. Definition von X:
X := (X ‐> Y)
2. Tautologie:
X ‐> X
3. Substitution von X in 2 durch Definition:
X ‐> ( X ‐> Y)
4. Kontraktion:
X ‐> Y
5. Rücksubstitution von (X‐>Y) durch Definition:
X
6. Modus ponens aus (5) X und (4) X ‐> Y:
Y
Grenzen der Logik
Paradoxon von Diller
Aus dem Habil Kolloquium von Justus Diller, Uni München:
"Diese These ist nicht zu verteidigen"
Disclaimer: 1. Sehr praktisch
2. Bei Habil Kolloquien nur empfohlen, wenn Logiker anwesend sind
Paradoxien
Analyse der Paradoxien
Es gibt Strategien zur Vermeidung von Paradoxien in der formalen Logik und Mengenlehre
Idee: Verhindere den Selbstbezug durch Hierarchisierung
Fazit: Satz kann nicht mehr über sich selber reden
Russel: Typentheorie: Universum aus Aussagen, Meta‐Aussagen, Meta‐
Meta‐Aussagen usw.
Tarski: Hierarchie von Wahrheitswerten. Konventionalismus
Das Experiment des Fischers
Ein Fischer wirft sein Netz aus
Das Netz hat Maschenweite 5 cm
Der Fischer schließt
Alle Fische im Atlantik sind größer als 5 cm
A. Eddington
1882 ‐ 1944
Konventionalismus
Eidechsenphysik
1. Eidechsen sind wechselwarme Tiere
2. In der Kälte vergeht ihre Zeit langsamer
A. Eddington
1882 ‐ 1944
3. Fiktive intelligente Echsen betreiben Physik
4. "Zeit" der Echsen ist temperaturabhängig
5. "Uhren" der Echsen haben ölgelagerte Pendel und gehen in der Kälte (nach unserem Zeitgefühl) langsamer
6. Die Physik der Echsen entwickelt sich anders als unsere
Andere Mechanik, kein Impulssatz, keine Energieerhaltung
7. Alle Ergebnisse durch dieselbe "Realität" "bestätigt"
Konventionalismus
Fazit für die Logik
Unser Denken
analysiert nur die Strukturen
die unser Denken generiert
und unseren Wahrnehmungen
und Fantasien überstülpt
Eine Frage zum Tetralemma
Sehen Sie hier einen Kreis?
Tetralemma
Zu 2 Aussagen A und B gibt es 4 Möglichkeiten
A ∧ B ¬ A ∧ ¬ B A ∧ ¬ B ¬ A ∧ B
Nagarjuna ా ారుజ్న
150 – 250 n. Chr.
Tetralemma
Zu 2 Aussagen A und B gibt es 4 Möglichkeiten
A ∧ B ¬ A ∧ ¬ B A ∧ ¬ B ¬ A ∧ B
Zu einer Aussage A gibt es 4 Möglichkeiten
Aussage:
A
Negation:
¬A Beides:
A ∧ ¬A Keines:
¬(A ∨ ¬A)
Nagarjuna ా ారుజ్న
150 – 250 n. Chr.
Tetralemma
Zu 2 Aussagen A und B gibt es 4 Möglichkeiten
A ∧ B ¬ A ∧ ¬ B A ∧ ¬ B ¬ A ∧ B
Zu einer Aussage A gibt es 4 Möglichkeiten
Aussage:
A
Negation:
¬A Beides:
A ∧ ¬A Keines:
¬(A ∨ ¬A)
Negation des Tetralemmas: Diese 4 Möglichkeiten schöpfen die Welt nicht aus
Nagarjuna ా ారుజ్న
150 – 250 n. Chr.
Ein möglicher Ausweg
Logik ist ein nützlicher Werkzeugkasten
um Computer zu bauen oder ein Rätsel schneller zu lösen
Mit der "Welt" oder der "Realität" hat Logik nichts zu tun
Aus erkenntnisphilosophischer Sicht sind wahr und falsch nur nützliche Illusionen unserer Gefühlswelt
Und sehe, daß wir nichts wissen können!
Delacroix, Faust in der Studierstube