Technische Mechanik III SoSe 2014 25.09.2014

Technische Mechanik III SoSe 2014
25.09.2014
Name :
Vorname :
Matrikelnummer :
Klausurnummer :
Aufgabe
Punkte
1
20
2
8
3
22
P
50
Allgemeine Hinweise:
alle Blätter mit Namen und Matrikelnummer beschriften!
keine grüne oder rote Farbe benutzen!
alle Rechnungen müssen nachvollziehbar sein!
Skizzen (Freikörperbilder) groÿ und sauber zeichnen!
neue Aufgabe = neues Blatt!
Lösungen müssen eindeutig sein, falsche Lösungswege durchstreichen!
Die Klausurnummer bitte merken oder notieren!
Zulässige Hilfsmittel:
Formelblatt, 2-seitig, ohne Lösungswege.
Taschenrechner, nicht programmierbar.
Technische Mechanik III
H14-1
Aufgabe 1
20 Punkte
Zum Zeitpunkt t0 = 0s wird im Punkt A eine Masse m1 losgeworfen. Zu
einem späteren Zeitpunkt wird eine Masse m2 durch die um ∆w gespannte
Feder (Federsteigkeit c) beschleuningt und im Punkt B zum Zeitpunkt t1 =
t0 + ∆t losgelassen. Die Masse m2 bewegt sich zunächst reibungsfrei bis zum
Punkt C und danach auf einer rauhen Oberäche (Reibungskoezient µ).
g
y
A
m1
vA
α
x
`
h
∆w
m2
111
000
000
111
1111
0000
000 1111
111
0000
B
µ
C
D
a) Zu welchem Zeitpunkt t2 landet die Masse m1 in D?
b) Berechnen Sie die Stecke BD.
c) Wie groÿ ist die Geschwindigkeit der Masse m2 im Punkt C ?
d) Zu welchem Zeitpunkt t1 muss die Masse m2 im Punkt B losgelassen
werden, damit die beiden Massen m1 und m2 im Punkt D zusammenstoÿen?
m1 = m2 = 1kg, g = 10 sm2 , c = 40000 kg
s2 , ∆w = 0, 1m, µ =
0, 5, ` = 20m, h = 75m,
√
α = 45o , vA = 10 2 ms
Gegeben:
Technische Mechanik III
H14-2
Aufgabe 2
8 Punkte
Ein Güterwaggon rollt von einem Ablaufberg der Höhe H auf drei stehende
zusammenhängende Waggons. Alle Waggons haben die Masse m. Bestimmen
Sie die Geschwindigkeit der Waggons nach dem Zusammenstoÿ, wenn
a) von einer Stoÿzahl e = 0,8 ausgegangen wird.
b) sich die Waggons nach dem Stoÿ gemeinsam weiter bewegen.
Die Bewegung erfolgt reibungsfrei.
m
H
Gegeben:
m
m = 20 t; H = 1 m; g = 10 m
s2 .
m
m
Technische Mechanik III
H14-3
Aufgabe 3
22 Punkte
Gegeben sei die dargestellte Anordnung, bei der zwei Massen m1 und m3 an
einem über eine Rolle laufenden Seil befestigt seien.
R
m2
m3
g
m1
H
Die Rolle der Masse m2 und dem Radius R ist als homogene Kreisscheibe zu
behandeln.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf.
b) Aus der Lösung der Bewegungsgleichung ist die Geschwindigkeit zu ermitteln, mit der die Masse m3 auf den Boden auftrit, wenn das System
ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird.
c) Kontrollieren Sie das Ergebnis mit dem Energiesatz.
Gegeben:
m1 ; m2 ; m3 ; R; H .
Technische Mechanik III Musterlösung
H14-1
Aufgabe 1
Musterlösung
a) Schiefer Wurf
Bedingung:
y(t2 ) = −h = −75m
m
ÿ = −g = −10 2
s
m
m
ẏ = −10 2 t + y˙0
y˙0 = vA sin 45o = 10
s
s
m
m
ẏ = −10 2 t + 10
s
s
m 2
m
y = −5 2 t + 10 t + y0 (y0 = 0)
s
s
y(t2 ) = −75m
m
m
→ −75m = −5 2 t22 + 10 t2
s
s
2
2
t2 = −2s t2 − 15s = 0
√
t2 = 1 ± 1 + 15s → t2 = 5s
b) ges.:
x(t2 )
x¨0 = 0
x˙0 = vA cos 45o = 10
ẋ = x˙0
m
s
m
x = 10 t + x0 (x0 = 0)
s
m
x(t2 ) = 10 t 5s = 50m
s
m
s
ẋ = 10
c) Arbeitssatz:
EK1 − EK0 = W01
1
W01 = c∆w2
2
1
kg
kgm2
= 40000 2 (0, 1m)2 = 200 2 = 200N m
2
s
s
1 2
1 2
EK1 − EK0 = mvC − mv0 = 200N m (v0 = 0)
2
2
s
→ vC =
2 · 200N m
m
= 20
1kg
s
d) ges.: t1
Zeit, welche die Masse
m2
von
B
nach
vc = 20
C
benötigt: t3
m
; ` = 20m → t3 = 1s
s
Zeit, welche die Masse
m2
von
nach
C
D
benötigt: t4
FR = µm2 g = 0, 5 · 1kg · 10
m
= 5N
s2
NEWTON:
X
F = m2 ẍ2 = −5N
5N
m
= −5 2
1kg
s
m
m
m
ẋ2 = −5 2 t + x20 = −5 2 t + 20
s
s
s
m 2
m
x2 = −2, 5 2 t + 20 t + x20 (x20 = 0)
s
s
x2 (t4 ) = BD − ` = 50m − 20m = 30m
m
m
x2 (t4 ) = 30m = −2, 5 2 t24 + 20 t4
s
s
m 2
m
→ −2, 5 2 t4 + 20 t4 − 30m = 0
s
s
2
t4 − 8s t4 + 12s2 = 0
√
t41/2 = 4 ± 16 − 12s → t41 = 6s; t42 = 2s
m
m
m
ẋ2 (t41 ) = −5 2 · 6s + 20 = −10 < 0 !
s
s
s
ẍ2 = −
→ richtiges
Kontrolle:
Ergebnis:
t41 = 2s
√
m
m
m
·
2s
+
20
=
10
>
0
s2
s
s
m2 von B nach D benötigt:
ẋ2 (t42 ) = −5
Gesamtzeit, welche die Masse
t3 + t42 = 1s + 2s = 3s
Gesuchte Zeit t1
= t2 − (t3 + t42 ),
Ergebnis aus a): t2
= 5s
→ t1 = 5s − 3s = 2s
Technische Mechanik III Musterlösung
H14-2
Aufgabe 2
a) ges.: Geschwindigkeiten
vor dem Stoÿ
Energiesatz:
mgH = 12 mv12
√
v1 = 2gH = 4.47m/s
nach dem Stoÿ
Musterlösung
v̄1 , v̄2
bei
e = 0, 8
v̄1 =
v̄2 =
v1 m−e3mv1
= −1.57m/s
4m
v1 m+emv1
= 2.01m/s
4m
b) ges.: Geschwindigkeiten
v̄1 , v̄2
bei
e=0
nach dem Stoÿ
v̄ =
v1 m
4m
= 1.12m/s
Technische Mechanik III Musterlösung
H14-3
Aufgabe 3
Musterlösung
a) ges.: Bewegungsgleichung
1. Freikörper
S1
S1 − m1 ẍ = m1 g
⇒ S1 = m1 (g + ẍ)
(1)
x
m1
2. Freikörper
M
M = θφ̈
mit M = −S1 R + S2 R
θ = 12 m2 R2
φ̈ = Rẍ
⇒ 12 m2 Rẍ = −S1 R + S2 R
⇒ 12 m2 ẍ = −S1 + S2
(2)
φ
m2
S1
S2
3. Freikörper
S2
S2 + m3 ẍ = m3 g
⇒ S2 = m3 (g − ẍ)
(3)
x
(1) und (3) in (2):
1
m ẍ = −m1 (g + ẍ) + m3 (g − ẍ)
2 2
⇒ 12 m2 + m1 + m3 ẍ = (m3 − m1 )g
3 −m1
⇒ ẍ = 1 mm
g
+m1 +m3
2 2
b) ges.:
ẋ(t1 )
mit
x(t1 ) = H
m3
Integrieren:
ẋ =
x=
m3 −m1
1
m +m1 +m3
2 2
m3 −m1
1
2 12 m2 +m1 +m3
gt + C1
gt2 + C1 t + C2
Integrationskonstanten:
Randbedingung
Randbedingung
x(t1 ) = H =
q
⇒ t1 = 2H
g
ẋ(t1 ) =
1
2
ẋ(t = 0) = 0 ⇒ C1 = 0
x(t = 0) = 0 ⇒ C2 = 0
m3 −m1
1
m
+m1 +m3
2 2
gt21
1
m +m1 +m3
2 2
m3 −m1
m3 −m1
1
m +m1 +m3
2 2
gt1
q 1
m +m1 +m3
m3 −m1
2 2
ẋ(t1 ) = 1 m2 +m1 +m3 g 2H
g
m3 −m1
2
q
m3 −m1
ẋ(t1 ) = 2gH 1 m2 +m1 +m3
2
Einsetzen der gegebenen Werte:
ẋ(t1 ) =
q
√
√
4m−m
2gH 1 2m+m+4m
= gH ≈ 40 ms
2
c) ges.:
ẋ(t1 )
mit Energiesatz
t = 0:
ẋ1 = ẋ2 = ẋ3 = 0
⇒ Ekin = 0
Epot1 = 0
Epot3 = m3 gH
t = t1 :
ẋ1 = ẋ2 = ẋ3
Ekin1 = 12 m1 ẋ21
Ekin3 = 12 m3 ẋ23
Rotationsenergie:
Ekin2 = 12 θω 2
ω = φ̇ = ẋR2
⇒ Ekin2 = 12 12 m2 R2
Epot = m1 gH
mit
ẋ2 2
R
= 14 m2 ẋ22
Energiesatz:
Ekin (t = 0) + Epot (t = 0) = Ekin (t = t1 ) + Epot (t = t1 )
⇒ m3 gH = 21 m1 ẋ21 + 41 m2 ẋ22 + 12 m3 ẋ23 + m1 gH
⇒ m3 gH = 21 m1 ẋ21 + 12 m2 ẋ22 + m3 ẋ23 + m1 gH
dehnstarres Seil und kein Seilschlupf:
ẋ(t1 ) = ẋ1 = ẋ2 = ẋ3
1
2
⇒ (m3 − mq
m1 + 12 m2 + m3
2 )gH = 2 ẋ(t1 )
3 −m1
⇒ ẋ(t1 ) = 2gH 1 mm
2 +m1 +m3
2