1. Diskrete Massenänderung

1. Diskrete Massenänderung
●
Betrachtet wird ein Körper K, der einen Teil seiner Masse
abstößt:
–
Anfangsmasse des Körpers: m0
–
Geschwindigkeit des Körpers vor dem Abstoß: v0
–
Geschwindigkeit des Körpers nach dem Abstoß: v1
–
Abgestoßene Masse: Δm
–
Geschwindigkeit der abgestoßenen Masse relativ zum
Körper nach dem Abstoß: w
Prof. Dr. Wandinger
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-1
1. Diskrete Massenänderung
–
Die Ausstoßgeschwindigkeit w ist die Geschwindigkeit relativ zum Körper K, mit der die abgestoßene Masse Δm den
abstoßenden Körper verlässt.
–
Zum Zeitpunkt des Verlassens hat der Körper K die
Geschwindigkeit v1.
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-2
1. Diskrete Massenänderung
Vor Abstoßung:
v1+ w
Nach Abstoßung:
w
v1
Δm
v1
m0
m0-Δm
v0
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-3
1. Diskrete Massenänderung
–
Bekannt sind m0, v0, Δm und w.
–
Gesucht ist v1.
–
Die gesuchte Geschwindigkeit v1 kann aus dem
Impulserhaltungssatz ermittelt werden.
–
Dazu werden beide Massen zusammen als ein System
betrachtet.
–
Auf dieses System wirken keine äußeren Kräfte.
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-4
1. Diskrete Massenänderung
–
Impuls vor dem Abstoßen:
p0 =m0 v 0
–
Impuls nach dem Abstoßen:
p1= m0 − m  v1 m  v1w 
–
Da keine äußeren Kräfte wirken, ist der Impuls vor dem
Abstoßen gleich dem Impuls nach dem Abstoßen:
m0 v0 = m0 − m  v1 m  v1w 
–
Daraus:
m0 v0 =m 0 v1 m w
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v1=v 0 −
1. Körper mit veränderlicher Masse
m
w
m0
Dynamik 2 1.1-5
1. Diskrete Massenänderung
–
Geschwindigkeitsänderung:
 v=v 1−v 0 =−
●
●
m
w
m0
Die Geschwindigkeitsänderung ist proportional zur ausgestoßenen Masse und zur Ausstoßgeschwindigkeit.
Sie ist entgegengesetzt zur Ausstoßgeschwindigkeit gerichtet.
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-6
1. Diskrete Massenänderung
●
Beispiel:
–
–
Ein Schwimmer springt
aus einem Boot ins
Wasser.
Gegeben:
●
●
mS
–
mB
w
x
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Absprunggeschwindigkeit w
Gesucht:
●
vB
Masse des Bootes mB
und Masse des
Schwimmers mS
Geschwindigkeit vB des
Bootes nach dem Absprung
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-7
1. Diskrete Massenänderung
–
Es wird angenommen, dass das Boot reibungsfrei im
Wasser gleitet.
–
Mit m 0 =m S m B ,  m=m S und v 0 =0 folgt für v B =v 1 :
mS
v B =−
w
m BmS
–
Zahlenbeispiel:
m S =70 kg
m B =420 kg
w=−14 km/ h
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70 kg
 vB=
⋅14 km/ h=2 km/h
490 kg
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-8
1. Diskrete Massenänderung
–
Kräftebilanz, wenn der
Schwimmer mit der
konstanten Beschleunigung aS anläuft:
●
●
mS
●
F
mB
●
F
x
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Der Schwimmer hat beim
Absprung die Absolutgeschwindigkeit v S =wv B .
Anlauf mit konstanter
Beschleunigung:
v S wv B
v S =a S t  t= =
aS
aS
Impulssatz für Schwimmer:
m S a S =−F
Impulssatz für Boot:
m B a B =F =−m S a S
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-9
1. Diskrete Massenänderung
●
Geschwindigkeit des Bootes bei Absprung:
mS
wv B
v B=a B t=− a S⋅
mB
aS
mS
mS
mS
mB
mS
v B 1
=−
w  v B =−
w=−
w
mB
mB
mS
m B m S
1
mB
 
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-10
1. Diskrete Massenänderung
●
Betrachtet wird ein Körper
K, der eine Masse einfängt:
–
–
–
–
Anfangsmasse des Körpers: m0
–
Geschwindigkeit der
eingefangenen Masse
relativ zum Körper vor
dem Einfangen: w
–
Impulserhaltungssatz:
m0 v 0m  v 0w 
= m0 m  v 1
Geschwindigkeit vor dem
Einfangen: v0
Geschwindigkeit nach
dem Einfangen: v1
Eingefangene Masse: Δm
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–
Daraus:
v 1=v 0 
1. Körper mit veränderlicher Masse
m
w
m0  m
Dynamik 2 1.1-11
1. Diskrete Massenänderung
●
Zusammenfassung:
Ausstoßen
m0
Masse vor Ausstoßen
Δm
v0, v1
w
ausgestoßene Masse
Geschwindigkeit der
ausstoßenden Masse vor
und nach Ausstoßen
Geschwindigkeit der
ausgestoßenen Masse
relativ zu v1
m
v1=v 0 −
w
m0
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Einfangen
Masse vor Einfangen
eingefangene Masse
Geschwindigkeit der
einfangenden Masse vor
und nach Einfangen
Geschwindigkeit der
eingefangenen Masse
relativ zu v0
m
v1=v 0 
w
m0  m
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.1-12