2. Vorlesung - Ruhr-Universität Bochum

Kinematik und Mechanik
'Physik für Ingenieure (Maschinenbau)'
Vorlesung vom 30.10.13
Themen: Kinematik und Mechanik
Jonas Herick
Alexander Berlin
Werner Meyer
Lehrstuhl für Hadronen und Kerne, Ruhr-Universität Bochum
30.Oktober 2013
‡ΡΗΙςΨΡΚΗΙΩ,≠ςΩΕΕΠΩΕΦΗΙΘ
Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
30.Oktober 2013
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Kinematik und Mechanik
Kurze Wiederholung der letzten Vorlesung I
Physik ist eine Erfahrungswissenschaft, die auftretende Phänomene mit
objektiven Messmethoden analysiert und quantitativ beschreibt.
Physikalische Gröÿen bestehen aus einem Zahlenwert und einer zugehörigen
Einheit.
Alle phy. Einheiten lassen sich aus den SI-Basiseinheiten zusammensetzen:
Länge [ m ], Zeit [ s ], Masse [ kg ], Temperatur [ K ], Stomenge [ mol ],
Stromstärke [ A ], Lichtstärke [ cd ]
Modellvorstellung des Massepunktes:
Gesamte Masse eines Körpers wird sich in seinem Schwerpunkt konzentriert
vorgestellt
Bewegung nur in x-,y-, z-Richtung (Translation) einschl. Ruhe
keine Beschreibung von Phänomenen die mit der Ausdehnung des Körpers
zusammenhängen
z.B.: Rotation
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Kinematik und Mechanik
Kurze Wiederholung der letzten Vorlesung II
Kinematik (Bewegungslehre)
Beschreibung der Bewegung eines Massepunktes durch Ort-Zeit-Funktion
Geschwindig
~v
~x
gegeben durch Ableitung von
~v (t ) =
Beschleunigung
~a
lim
∆ t →0
~x (t )
nach der Zeit
d
∆~x
= ~x = ~x˙
∆t
dt
durch Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit gegeben
~a =
d
d2
~v (t ) = ~v˙ = 2 ~x (t ) = ~x¨
dt
dt
Spezialfall: Erdbeschleunigung und freier Fall
⇒
Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell
durchfallene Höhe
~h = 1 ~g t 2 =⇒
2
mit
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Fallzeit

~g = 
0
0
t=

−g
q
2~h
~
g

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Kinematik und Mechanik
Weiteres zur Kinematik
weg vom Spezialfall:
Bewegungsgleichung mit Anfangsgeschwindigkeit
~v0
und Anfangsort
~x0
1
~x (t ) = ~at 2 + ~v0 t + ~x0
2
für die Geschwindigkeit gilt:
~v (t ) = ~at + ~v0
Bsp.: Senkrechter Ballwurf (eindimensionale Betrachtung)
m
h0 ≈ 1, 5 , Fallzeit bis zum Boden t =
Wie groÿ waren Anfangsgeschwindigkeit v0 und Maximalhöhe
Abwurfhöhe
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hmax ?
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Kinematik und Mechanik
Mehrdimensionale Betrachtung
Erdbeschleunigung g wirkt nur auf die z-Komponente der Bewegung.
Bsp.: Horizontaler Wurf, Schanze
/ΣςςΙΟΞΨς7ΣςΜΓΛΞΜΚ
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Kinematik und Mechanik
Prinzipien der Mechanik
Was ist die Ursache für das Auftreten einer Beschleunigung?
Trägheitsprinzip nach Galilei
Ohne äuÿere Einüsse verbleibt jeder beliebige Körper in Ruhe oder
gleichförmiger Bewegung.
nicht selbstverständlich da:
frei fällt alles nach unten (Gravitation)
rollende Fahrzeuge werden mit der Zeit immer langsamer (Reibung)
geostationäre Satelliten verbleiben über einem Ort
(Gravitationsbeschleunigung wird durch Zentrifugalbeschleunigung
kompensiert)
Nachweis des Trägheitsprinzips im Labor nicht so einfach, da
abbremsende/beschleunigende Eekte kompensiert werden müssen! (Bsp.:
Luftkissenbahn)
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Kinematik und Mechanik
Träge Masse
Galilei prägte auÿerdem den Begri der trägen Masse, worunter er das
Beharrungsvermögen eines Körpers verstand, sich Beschleunigungen zu
widersetzen.
Bsp.: Beschleunigung und Bremsen im Auto
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Kinematik und Mechanik
Newtonsche Gesetze I
Im Wesentlichen übernahm Sir Isaac Newton das Trägheitsprinzip von Galilei und
formulierte es mathematisch um.
1. Newtonsche Gesetz
Wenn kein äuÿerer Einuss (Kraft) auf einen Körper der Masse m wirkt, ist
~a =
d ~v
=0
dt
Aber: Bei der Planetenbewegung ist ~a 6= 0, da sie sich auf Kreisbahnen bewegen.
Also muss eine ständige Kraft vorliegen, die diese Beschleunigung bewirkt.
⇒ das ist die Gravitation!
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Kinematik und Mechanik
Newtonsche Gesetze II
Newton hat in dieser Beschleunigung einer Masse m die Wirkung einer Kraft F
erkannt!
2. Newtonsche Gesetz
Grundgleichung der Mechanik:
Kraft = Masse × Beschleunigung
F~
=
m
·
~a
m = träge Masse
~ ist das Newton N.
Die Einheit der Kraft F
Denition: 1 N erteilt heiner
i Masse von 1 kg eine Beschleunigung von 1
~
Dimension der Kraft: F = kgs2m = N
m
s2
Die Kraft ist indirekt über ihre Wirkung, die Beschleunigung des Körpers,
deniert!
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Kinematik und Mechanik
Beispiel: Federkraftmesser
Bestimmung der Gröÿe einer Kraft beispielsweise mit Hilfe von Federkraftmessern.
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Kinematik und Mechanik
Bsp.:Aufspringen mit gesteckten Beinen
Schienbeinbruch bei etwa
F = 2 · 50000 N = 105 N
(=
ˆ 10
t Gewicht auf gestreckte Beine)
Frage: Fallhöhe für Schienenbeinbruch
FSprung = m · aBrems
Endgeschwindigkeit v bei freien Fall aus Höhe H
g t2 ⇒ v 2 = 2 · H · g
aus v = gt und H =
2
Aufsprungkraft =
Diese Geschwindigkeit muss auf Null abgebremst werden innerhalb der
h ≈ 1 cm
(1)+(2)
= 2 · h · aBrems =⇒ aBrems = Hh · g
F = m · aBrems = 105 N = hmg Hh
i
5
−2
5
kg m m s2 ≈ 1, 3 m
⇒ H = 10m·Ng·h = 1075·10
·10
s2 kg m
Stauchungshöhe
2
gemäÿ v
Daher: Besser in die Knie gehen beim Aufsprung und somit h vergröÿern!
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Kinematik und Mechanik
Newtonsche Gesetze III
Kräfte treten nie alleine auf:
3. Newtonsche Gesetz
Übt ein Körper auf einen zweiten Körper einen Kraft aus, so übt der zweite
Körper eine gleich groÿe entgegengesetzte Kraft auf den erste Körper aus.
F1→2 = −F2→1
oder auch:
actio
= reactio
Beispiel: Schlag auf den Tisch, Tisch schlägt zurück!
Experiment: Verbundene Skateboards
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Kinematik und Mechanik
Gravitation I
Alle massebehafteten Körper ziehen sich
an
Planeten
Strukturen im Weltall
aber auch: Körper auf der Erde
Eekt bekannt als
Gravitation oder auch erste Wechselwirkung
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Kinematik und Mechanik
Gravitation II
Zwischen zwei Körpern der Massen
m und M , sowie dem Abstand r
wirkt die
Gravitationskraft:
Newton's Gravitaionsgesetz
~ ~ ~ F12 = F21 = F = G · mr·2M
mit
i
h
2
G = (6, 673 ± 0, 007)· 10−11 Nkg·m2
Wichtige Errungenschaft von Isaac Newton!
Ursprung der Naturkonstanten
=⇒
G
ist noch unbekannt.
einziger Zugang: Experimente
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Kinematik und Mechanik
Bestimmung von G
Beispielsweise:
Bestimmung mit Hilfe des Schwerefeldes der Erde:
F = m · g = G · m·rM2 E
E
für Fallhöhe
⇒
h ≪ rE
und
⇒ g = G · Mr 2E
E
m ≪ ME
Änderung des Abstandes zum Mittelpunkt und
Auslenkung der Erde vernachlässigbar klein
Messung der Beschleunigung
∆x = 12 g ∆t 2 ⇒ g =
G
=
x rE
t · ME
2∆
2∆ x
g
über:
∆t 2
2
∆ 2
Vorsicht Zirkelschluss! Erdmassebestimmung nur mit Hilfe von G! Besser
Bestimmung mit anderen Methoden (Bsp.: Cavendishe Gravitationswaage)
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Kinematik und Mechanik
Masse und Gewicht
Gewicht
Kraft mit der ein Körper der Masse
m
z.B. von der Erde angezogen wird
(Schwerkraft)
F~ schwer = m · ~g
Die Masse ist hingegen eine Körpereigenschaft die unabhängig von g ist
Bespiel: Gewicht einer Person der Masse m=75 kg
Beschleunigung
Gewichtskraft
Erde
Mond
Schwerelosigkeit
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Kinematik und Mechanik
Kräfteaddition I
Greifen an einem Körper mehrere Kräfte an, so ergibt sich die resultierende Kraft
durch die Vektoraddition dieser Kräfte:
F~ res . = F~ 1 + F~ 2 + F~ 3 + ... + F~ n =
n
X
F~ i
i =1
Kräfte-Parallelogramm:
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Kinematik und Mechanik
Kräfteaddition II
Umgekehrt folgt auch, dass sich jede Kraft in Teilkräfte (Komponenten) zerlegen
lässt.
Bsp.: Schiefe Ebene
,ΕΡΚΕΦΞςΜΙΦΩΟςΕϑΞ
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Kinematik und Mechanik
Arbeit I
Arbeit
Um einen Körper, an dem eine konstante Kraft
F~
angreift, um eine Srecke
~s
zu
verschieben, muss eine Arbeit aufgewendet werden.
W=
~ · ~s
F|{z}
~ | · |~s | · cos α
= |F
Skalarprodukt
Die Einheit der Arbeit ist das Joule J.
Dimension der Arbeit:
[W ] =
kg m2
s2
= Nm = J
Bei der Betrachtung der Arbeit ist es also wichtig wie Kraft und Strecke
zueinander orientiert sind.
Bsp.: Ziehen eines Klotzes unter verschiedenen Winkeln
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Hubarbeit
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Kinematik und Mechanik
Verallgemeinerung zur Arbeit
| Bsp.: Arbeit gegen veränderliche Kraft | Zusammendrücken einer Feder
~ abhängig vom Ort
Kraft F
W
=
Rs2
s1
F~ (s )d~s Linienintegral
Wenn die Kraft unabhängig vom Weg ist (siehe
Hubarbeit im Gravitationskraftfeld) spricht man von
einem konservativen oder
Zentral-Kraftfeld !
|
dx
|
|
Federkonstante
|
D
|
|
0
x0
|
Ruhelage
|
Enspannte Feder entspanne sich bis x=0
|
| Zusammendrücken =⇒ gerader Weg,
| Federkraft antiparallel und veränderlich
| F = D · x ⇒ dW = D · x · dx
|
2 x 0
Zx0
Zx0
|
x
1
| W = D ·x ·dx = D xdx = D
= Dx02
2
2
0
|
0
0
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Kinematik und Mechanik
Beschleunigungsarbeit
Beim Beschleunigen einer Masse m von
v = 0 auf v = vend
F~ = m · ~a
muss Arbeit
verrichtet werden gegen die Trägheitskraft
Für die Beschleungungsstecke folgt aus den Bewegungsgleichungen:
vend = a · t
⇒ t = vend
a
=⇒
und
s=
a
2
· t2
2
v2
= 21 · end
s = 2a · vend
a
a
Eingesetz in die Gleichung für die Arbeit folgt:
v2
1
2
W = F · s = m · a · 21 · end
a = 2 mvend
Bsp.: PKW (1500 kg) von 0 auf 180 km/ h=
ˆ 50 m/ s
WPKW =
1
2
· 1500 kg
50
m 2
=1
s
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875 000 kg
m2
= 1, 875M J
s2
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Kinematik und Mechanik
Leistung
Leistung
Unter dem Begri der Leistung versteht man die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit
eines Systems.
P=
dW
dt
= Ẇ
Die Einheit der Leistung ist das Watt W.
Nm
J
kg m2
=
= = W
s3
s
s
ˆ
veraltete Einheit: Pferdestärke 1 PS ≈735 W
[P ] =
Bsp.:
Dauerleistung eines Bergsteigers (m=75 kg)
m/ s2 ·2000 m
2000 Höhenmeter in 4 Stunden: P = ∆∆Wt = 75 kg·104·3600
≈ 104 W
s
kurzzeitiges Treppensteigen
m 2
2 Meter in 2 Sekunden: P = ∆∆Wt = 75 kg·102 s/ s ·2 m = 750 W
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Kinematik und Mechanik
Energie
Eng mit dem Begri der Arbeit ist die Energie verbunden.
Die Energie E bezeichnet dabei den Vorrat an Arbeitsvermögen .
Die Dimension der Energie ist ebenfalls das Joule.
[Energie E ] = [Arbeit W ] = J
Bsp.: Lageenergie oder potentielle Energie
kinetische Energie E
= 21 mv 2
kin
⇒
hat ein Minimum bei v=0 m/ s, nämlich 0 J
potentielle Energie im Schwerefeld der Erde
⇒
E
pot
= mgh
Nullpunkt wird willkürlich/dem Problem entsprechend gewählt. Auch
negative Werte möglich!
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Kinematik und Mechanik
Umwandlung von Energie
Energieerhaltung
Die Energie E, eines abgeschlossenen Systems, ist eine Erhaltungsgröÿe, dass
heiÿt sie kann in andere Energieformen umgewandelt werden, jedoch nicht
vernichtet oder aus dem Nichts erschaen werden.
Bsp.: Freier Fall einer Masse m=1 kg aus 2 m Höhe
Potentielle (Lage-)Energie ⇒ kinetische (Bewegungs-)Energie
Energieerhaltung: E + E = mgh + 21 mv 2 = E = konst .
pot
Höhe
10 m
kin
potentielle Energie
tot
kinetische Energie
Geschwindigkeit v
5m
0m
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Exkurs: Fluchtgeschwindigkeit
Im Folgenden möchten wir kurz betrachten, welche Geschwindigkeit ein Objekt
haben müsste um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen.
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Kinematik und Mechanik
Beispiel:Columbiade
In dem Roman 'Die Reise von der Erde zum Mond' will Jules Verne seine
Protagonisten mit einer Kanone zum Mond schieÿen. Der Lauf dieser Kanone
beträgt 270 m.
Können Jules Vernes Astronauten diesen Start überleben?
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