Das Bigalke - Rechteck.pps - horst

Das Bigalke - Rechteck
D
C
arctan(1/2)
26,57
Gegeben ein Rechteck ABCD.
Spiegele es26,565
an °der Diagonale BD.
91,79 °
Wie muss das Ausgangsrechteck
dimensioniert sein, damit das
gefärbte Viereck ein Rechteck ist?
7,344 cm
14,688 cm
A
B
Achtung: Baustelle,
Betreten auf eigene Gefahr
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1
Seitenverhältnis = d(P6;A)/d(C;P6)
2,062
Vermutung Doppelquadrat
SV_innen = d(P9;P11)/d(P9;P12)
2,054
arctan(1/2)
26,57
25,876 °
D
C
25,876 °
26,565 °
91,79 °
25,876 °
7,104 cm
14,645 cm
7,344 cm
14,688 cm
A
Das Doppelquadrat kann es demnach
nicht sein!
Finden Sie eine Deutung?
B
Es muss jedenfalls
schmaler sein
Wie wird die lange Seite durch
den Punkt G geteilt?
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2
Das Verhältnis der Abschnitte der langen Rechteckseite
51,819 °
51,831 °
D
4,826 cm
2,983 cm
6,138 cm
3,794 cm
C
25,909 °
F
4,827 cm
7,809 cm
d(E;C)/d(D;G)
0,6182
d(F;E)/d(D;F)
0,6182
d(F;C)/d(G;F)
0,6182
MittenviereckTrapez = d(P25;M)/d(P24;P25)
1,272
89,988 °
51,819 °
E
4,966 cm
3,905 cm
51,838 °
M
90 °
6,824 cm
14,048 cm
G
DiagonaleMittelsenkrechte = d(D;B)/d(G;E)
2,059
H
12,636 cm
6,138 cm
Hypothese: Die lange
Rechteckseite wird
anscheinend im
Verhältnis des
goldenen Schnittes
geteilt
Im Trapez teilen die
Diagonalen sich im
Verhältnis der parallelen
Seiten, anscheinend im
goldenenen Schnitt
Der Winkel a = 25,9.. ist
die Hälfte von 51,8..
Rechteckseiten = d(A;D)/d(B;P6)
2,059
A
Der Winkel 2a = 51,8...
fällt auf
B
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3
d(G;D)/d(E;C)
1,618
25,875 °
Ein anderer Zugang
52,027 °
C
D
25,752 °
Konstruiere ein rechtwinkliges
Trapez (blau), dessen parallele
Seiten „im goldenen Schnitt“
stehen. Die Diagonalen teilen
einander dann auch stetig.
Die Parallele durch C sei
beweglich.
Wenn der rechte Winkel bei F
erscheint, ist das Rechteck das
gesuchte Parallelogramm.
d(D;F)/d(F;E)
1,618
6,153 cm
d(F;G)/d(C;F)
1,618
4,845 cm
89,6 °
6,18 cm
F
10 cm
3,803 cm
51,627 °
E
7,84 cm
G
Nicht jedes goldene rechtwinklige
Trapez leistet das. Erst wenn die
Diagonalen sich rechtwinklig
schneiden, ist der Fall gelöst
A
B
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4
D
25,911 °
1. Lösung
51,839 °C
d(D;F)/d(F;E)
1,618
6,179 cm 4,858 cm
25,904 °
d(F;G)/d(C;F)
1,618
89,976 °
6,18 cm
9,998 cm
F
3,819 cm
51,815 °
L
10 cm
7,86 cm
E
M
Spiegele das Trapez GECD an EG.
Dann ist BK =DC. Das Rechteck
K BKDL ist dann das an der Diagonale
BD gespiegelte Rechteck mit der
Eigenschaft, dass das gesuchte
Parallelogramm ein Rechteck ist
G
J´
M sei der Mittelpunkt von EG.
Drehe das Trapez ECDG um M um
180°. (Punktspiegelung an M)
Dann ist BEDG die diagonale Raute
des Vierecks ABCD.
Also ist BG = GD = 10 cm.
9,998 cm
6,182 cm
6,178 cm
7,858 cm
A
B
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5
Konstruktion
B
D
C
G
D´´´
Zeichne die Strecke AB = 10 cm
Teile AB stetig in G
Halbiere AB in M1 und zeichne den
Thaleskreis
Errichte die Lote in G und B
M1
E
M
D´
A
Zeichne das Dreieck ABC und
verlängere die Katheten
C´
Zeichne die Parallele zu AB durch D
D´´
Zeichne das Trapez AEDB
B´_
_A´
Begründe, dass BB´die Spiegelachse
der Figur ist
In welchem Verhältnis
stehen die Rechteckseiten?
Punktspiegele das Trapez AEDB an M
Spiegele das Trapez an AE
Punktspiegele das Trapez AED´A´an M
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6
2. Weg zur Konstruktion
51,831 °
C
D
51,826 °
In der diagonalen Raute BCDH stehen D die
Diagonalen lotrecht aufeinander. Es ist BG = GD =
1/2(b - x) DH
1/2(b - x)
K
x´
90,005 °
1/2(b + x)
G
J
E
51,831 °
X
M
H
I
F
Das Rechteck IGJH ist das drehgestreckte Abbild
des Rechtecks ABCD (Vertauschen der Funktion
Diagonale Mittelsenkrechte). Also sind sie ähnlich.
Bei diese Spiegelung ist die diagonale Raute
Fixfigur.
x/a=a/b
b
1/2(b - x)
L
A
x = a² / b
(*)
Die Dreiecke mit den gelben Winkeln sind
ähnlich. Winkel im Dreieck bzw. Nachbarwinkel
B
ergänzen sich jeweils zu 90°
a
x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x)
Das führt zur Gleichung
x²+4bx –b²= 0
Danke Ulrich Guder
 x =b(5 – 2)
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In (*)
a = b(5-2)
b = a(5+2)
b  a*2,05817.
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Uli´s Lösung
In der Zeichnung ist die Bedingung, dass der
Winkel bei P ein rechter Winkel ist, erfüllt.
Das Verhältnis der beiden Seiten a und b des Ausgangsrechtecks lässt sich dabei durch Betrachtungen von zwei
Klassen ähnlicher Dreiecke bestimmen
In dem rechtwinkligen Trapez EDCF sind durch die
Diagonalen ähnliche Dreiecke bestimmt. Die
rechtwinkligen Dreiecke D(PED), D(PDC ) und
D(PCF) sind ähnlich. Ihre spitzen Winkel ergänzen
sich ja zu 90° und die Nachbarwinkel bei D und C
ebenfalls
Die zweite Klasse besteht aus den vier
kongruenten Dreiecken der diagonalen Raute:
D(MED) , D(FMD) , D(FBM), D(BEM), und den
Dreiecken D(ABD) , D(FGE) , D(FPE) . Ferner die
drei Dreiecke D(GEF), D(FKE), D(PFE). Die
Drehstreckung, die Diagonale und deren
Mittelsenkrechte vertauscht, erzeugt diese
ähnlichen Dreiecke, die somit ähnlich dem
Dreieck D(ABD) sind
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C
D
(b-x)/2
P
90 ° (b-x)/2
x
(b+x)/2 K
b
F
x
M
E
G
a
x
A
a
B
8
Berechnung der Seitenlängen
Wir erhalten damit folgende Beziehung:
(*) (x : a) = (a : b)
Außerdem folgt aus diesen Ähnlichkeiten und
Kongruenzen, dass
DE = EF und PF = FG.
Es gilt auch
DE = (b + x)/2 und CF = (b – x)/2
Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke D(PED)
und D(PCF)lässt sich folgern: (**)
C
D
(b-x)/2
P
90 ° (b-x)/2
x
(b+x)/2 K
b
F
x
M
E
G
a
x
x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x)
A
Lösen wir (*) nach x auf und setzen in
(**) ein, so erhalten wir
a
B
b = a*(5 + 2) = a * 2,05817...
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Uli´s 2. Lösung
d(P25;P20)/d(P20;P22)
2,058
10,021 cm
4,869 cm
Bei dieser Lösung gehe man vom
Höhensatz aus,um
Wurzel(Wurzel(5) + 2) zu bestimmen.
Dazu konstruiere man die Strecke
Wurzel(5) + 3 und errichte im Punkt
Wurzel(5) + 2 eine Senkrechte, die man
mit dem Thaleskreis um Wurzel(5) + 3
schneide. Der Abstand des Schnittpunkts
zur Strecke Wurzel(5) + 3 ist dann nach
dem Höhensatz gerade Wurzel(Wurzel(5)
+ 2), die gesuchte zweite Seite des
Rechtecks:
p* q = h²
(Wurzel(5) + 2) * 1 = (Wurzel(5) + 2)
Also
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h = Wurzel(Wurzel(5) + 2),
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