y - Universität Wien

Vom Qubit zur Quantenteleportation
Franz Embacher
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
[email protected]
Fakultät für Theoretische Physik
Universität Wien
Sexagesimalien
23. Jänner 2008
Inhalt
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Wellen, Messungen und Wahrscheinlichkeiten
Wechselwirkungsfreie Messung (das „Bombenexperiment“)
Doppelspalt-Experiment
Unbestimmtheit
Qubits – die Bausteine der Quanteninformation
Quanten-Gickse
Verschränkung
EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
Quantenspiel
Quantenkryptographie
Quantenteleportation entzaubert
Quantencomputer
Das Problem mit der Quantengravitation
Wellen, Messungen und Wahrscheinlichkeiten
• Klassische Physik
• Messgrößen (Observable)
• Theoretische und experimentelle Befunde: Die
klassische Physik kann nicht richtig sein!
• Max Planck, Albert Einstein: Energie der
Strahlung, Photonen
• Niels Bohr, Arnold Sommerfeld, Erwin
Schrödinger: Stabilität und Spektrum der Atome
Wellen, Messungen und Wahrscheinlichkeiten
• Louis de Broglie: Teilchen „verhalten sich wie“ Wellen
(Wellenfunktion, y)
• Problem der „Deutung“ der neuen Theorie
• Max Born, Niels Bohr: Wellenfunktion 
Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse
(Kopenhagener Deutung)
 Orbitale, Atome, Moleküle, Stabilität der Materie
• Wellen können einander überlagern
(Superpositionsprinzip)
y = y1 + y2 , y = y1 - y2 , y = 2 y1 + 3 y2, ...
Wechselwirkungsfreie Messung (der „Bombentest“)
• Die Geschichte mit der Bombe...
 Der Bombentest
• Der Bombentest illustriert die „Quantenlogik“: kein
klassisches „entweder – oder“ anwendbar!
• Einige Bomben sind scharf und bestehen den Test,
d.h. sie explodieren nicht – womit wurde das
eigentlich „gesehen“, wenn doch kein Photon beim
Zünder war?
Doppelspalt-Experiment
Beschuss mit einzelnen Teilchen!
Annahme: Das Teilchen geht durch einen Spalt  Das Verhalten eines Teilchens,
das durch den oberen Spalt geht, hängt davon ab, ob der untere Spalt offen ist!
 Widerspruch?
Unbestimmtheit
• Werner Heisenberg: fundamentale Unbestimmtheit
in den Messgrößen
• Messgrößen können unbestimmt („unscharf“) sein:
• Beliebige Körper: Ort und Impuls
• Elektronen: Spinkomponenten in verschiedene
Richtungen
• Photonen: Polarisationen ( = Verhalten an
Polarisatoren mit unterschiedlichen
Orientierungen)
• Bombentest: Weg des Photons
• Doppelspalt-Experiment: Weg des Teilchens
Qubits – die Bausteine der Quanteninformation
Klassisches Bit:
0 und 1
bezeichnen Alternativen:
0
1
Klassische Zustände
0
kein Strom
die Zahl 0
1
Strom
die Zahl 1
Qubits – die Bausteine der Quanteninformation
Qubit:
|1>
Zustandsvektoren
(Hilbertraum)
|y>
|0>
|0> und |1>
bezeichnen Alternativen:
|0>
|1>
Spin up
Pol.
E0
Spin down
Pol.
E1
Paare aufeinander normal
stehender Zustandsvektoren
bezeichnen Alternativen!
|y> = a |0> + b |1> =
a
b
( )
Messung!
Qubits – die Bausteine der Quanteninformation
System im Zustand |y>
Messung in der
Basis {|0> , |1> }
|1>
|y>
1
b
a
|y> = a |0> + b |1> =
|0>
a
b
( )
Wahrscheinlichkeiten
für die möglichen
Messausgänge:
|0> ........ a 2
|1> ........ b 2
Analoges gilt für
beliebige Messungen!
Qubits – die Bausteine der Quanteninformation
System im Zustand |y>
Messung in einer „verdrehten“ Basis:
Messung in der
Basis {|E> , |Z> }
|Z>
|y>
x
y
|E>
Wahrscheinlichkeiten
für die möglichen
Messausgänge:
|E> ........ x 2
|Z> ........ y 2
Verschränkung
• Alice und Bob, räumlich voneinander getrennt
|y>1 = |0>Alice |0>Bob
Produktzustand
|y>2 = |1>Alice |1>Bob
Produktzustand
|y>1 + |y>2
Alice
verschränkter Zustand
(EPR-Zustand)
Bob
verschränktes Teilchenpaar
(EPR-Paar)
Quanten-Gickse
 Quanten-Gickse
• illustrieren die Unbestimmtheit von Messgrößen
• Messgrößen sind äquivalent zum Spin von Teilchen
• Messgrößen sind äquivalent zur Polarisation von
Photonen
EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
• Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen:
Ist die Quantentheorie unvollständig?
• EPR-Paradoxon
• John Bell: Konzept für eine Entscheidung durch
ein Experiment
physikalisch: Polarisationen
von Photonenpaaren
• Bellsche Ungleichung
n(Frauen, Auto)

n(Frauen, spanisch) +
n(AutofahrerInnen, nicht spanisch)
 EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung mit Gicksen
 EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung mit Photonen
EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
• Experiment (Alain Aspect, Anton Zeilinger): Bellsche
Ungleichung verletzt!
• Individuelle Polarisationen von Photonen eines verschränkten
Paares
können keine „Eigenschaften“ im herkömmlichen Sinn sein!!
 echte Unbestimmtheit und/oder Nichtlokalität!
• Kopenhagener Deutung: Die quantenmechanische
Unbestimmtheit ist nicht lediglich Unkenntnis, sondern
tatsächlich ein „keinen-festen-Wert-Haben“!
• Dieser Zug der Quantentheorie kann nicht durch eine
zugrundeliegende „lokalrealistische“ klassische Theorie erklärt
werden (wie Einstein vermutet hat).
Quantenspiel
3 KandidatInnen, getrennt, jedeR bekommt eine Frage:
• Geschmack ... süß oder sauer?
 1 oder –1
• Temperatur ... heiß oder kalt?
 1 oder –1
typisch quantenmechanische Situation
Aufgabe:
• Falls GTT, TGT oder TTG ... Das Produkt der
Antworten soll 1 sein.
• Falls GGG ... Das Produkt der Antworten soll –1
sein.
Gibt es eine sichere Strategie?
 Quantenspiel
Quantenspiel
Strategiezettel:
• Kandidat 1:
• Kandidat 2:
• Kandidat 3:
T ... x1
T ... x2
T ... x3
G ... y1
G ... y2
G ... y3
(x1 und y1 ... 1 oder –1)
(x2 und y2 ... 1 oder –1)
(x3 und y3 ... 1 oder –1)
Anforderungen an die Strategie:
GTT ..... y1 x2 x3 = 1
TGT ..... x1 y2 x3 = 1
TTG ..... x1 x2 y3 = 1
GGG .... y1 y2 y3 = –1
Folgerung:
y1 y2 y3 (x1)² (x2)² (x3)² = 1
 y1 y2 y3 = 1 ... Widerspruch zu GGG!
Quantenspiel
Verschränkte Teilchen haben eine solche Strategie!
„GHZ-Zustand“
 Nichtlokalität
G und T entsprechen
Messungen von
Polarisationen mit
unterschiedlich
ausgerichteten
Polarisatoren.
Quantenkryptographie
• Das BB84-Protokoll (Bennet und Brassard, 1984):
Alice und Bob erzeugen einen Schlüssel, den nur sie kennen.
Alice geht aus von einer Liste von Zufallszahlen 01101001...
und präpariert Zustände in einer von 2 Basen
oder
0
1
0
1
und schickt sie an Bob. Bob misst in einer beliebigen Basis.
Danach werden die verwendeten Basen offengelegt. Wann immer
die gleiche Basis verwendet wurde, kennen beide die
entsprechende Zahl, d.h. sie verfügen gemeinsam über eine
Folge 010001... , mit der dann die Nachricht verschlüsselt (und
durch einen klassischen Kanal versandt) wird.
Quantenkryptographie
• Das Problem beim BB84-Protokoll:
„Man-in-the-middle attack“
Ein Lauscher (Eve) fängt die von Alice versandten Qubits ab, misst
in einer beliebigen Basis und schickt die Qubits weiter. Danach
haben Alice und Eve den richtigen Schlüssel und Bob einen
falschen! Eve kann die von Alice geschickte Botschaft
entschlüsseln, während Bob nur Unsinn herausbekommt!
Abhilfe: Alice und Bob vergleichen einige Kontroll-Bits öffentlich.
Dadurch kann Eve entdeckt werden.
Diese Methode ist aber nicht absolut sicher: Eve kann
beispielsweise durch Zufall (25%) ein einzelnes Bit des Schlüssels
(und daher der Nachricht) unentdeckt „mithören“.
 Zur Idee der Quantenkryptographie
Quantenteleportation entzaubert
 Teleportation mit Gicksen
 Theorie der Teleportation
 Teleportation in Bildern
 Informationsübertragung durch einen klassischen Kanal (mit
maximal Lichtgeschwindigkeit) ist nötig!
Keine instantane Informationsübertragung möglich!
 Wenn Bob versucht, den unbekannten Zustand herauszufinden,
bevor er Alices Messresultat erfährt, läuft der Gefahr, bei
Verwendung der falschen Basis den Zustand zu zerstören!
In Quantenzuständen kann daher weniger Information gespeichert
werden als auf den ersten Blick vermutet!
Quantenteleportation entzaubert
• Gemischte Zustände:








 Wird ein Zustand aus einer der Urnen gezogen, so ist im
Nachhinein durch Messung nicht feststellbar, aus welcher!
 Die beiden Ensembles sind nicht unterscheidbar! Sie stellen
denselben „gemischten Zustand“ dar:  oder    oder 
 Ähnlich ist Bobs Situation, bevor er Alices Messresultat erfährt!
Quantencomputer
• Richard Feynman, David Deutsch:
Parallelrechnung in den Zweigen
(„Partialwellen“) einer Überlagerung
• Wie viele elementare Rechenschritte sind nötig,
um herauszufinden, ob zwei Zahlen (die jeweils
0 oder 1 sind) gleich sind?
cl ... 2 / qu ... 1
• Wie viele Ablesungen sind nötig, um eine
Nummer in einem Telefonbuch einer
Millionenstadt zu finden?
cl ... 500000 / qu ... 1000
 Quantencomputer
Quantengravitation
• Quantentheorie: Schrödingergleichung

i
y t ( x)  Hy t ( x)
t
Anfangswertproblem:
Wellenfunktion zur Zeit t = 0 vorgegeben
 Wellenfunktion zur Zeit t wird berechnet!
• Allgemeine Relativitätstheorie: Die Variable ist die
Geometrie von Raum und Zeit! Eine Gleichung der Form

i
y t (Geom)  Hy t (Geom)
t
macht keinen Sinn, da t erst durch Geom bestimmt wird!
Quantengravitation
• Eine formale Quantisierung der ART führt auf die
Wheeler-DeWitt-Gleichung:
Hy (3-Geom)  0
• Interpretationsprobleme:
 Wie kommt das Phänomen der Zeit zustande?
 Was ist eine Messung?
• Rechnerische Probleme:
 Formal negative Wahrscheinlichkeiten
 Schlimme Unendlichkeiten
Danke...
... für eure Aufmerksamkeit!
Diese Präsentation gibt‘s im Web unter
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Quantentheorie/sexagesimalien/