Folienreihe - Thomas Cassebaum

Thomas Cassebaum
Geometrie
Planimetrische
Grundkonstruktionen mit
Zirkel und Lineal
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Inhaltsübersicht
Punkte und Geraden
1. Halbieren einer Strecke
2. Halbieren eines Winkels
3. Errichtung einer Senkrechten
4. Fällen des Lotes vom Punkt Q auf eine Gerade g
Aufgabe zu Punkten und Geraden
Winkel und Kreise
Sätze zum Kreis
5. Tangenten, die durch einen Punkt P verlaufen
Aufgaben zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal
2
Punkte und Geraden
P
A
•
•
•
•
•
•
•
•
g
l1
B
h
g2
S
Punkte: Großbuchstaben
Geraden: Kleinbuchstaben
Parallele Geraden: (kein Punkt gemeinsam)
Schnittgeraden (Punkt P gemeinsam)
Punkt p liegt auf den Geraden g und h
Zusammenfall (alle Punkte gemeinsam)
Strecke von A nach B
Orientierte Gerade h, orient. Strecke AB
A, B, P, S
g, h, l1, g2
g||g1
P = g∩h
Pg, Ph
g2 = l1
AB = g
h AB = g
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1. Halbieren einer Strecke
• Zeichne Kreisbögen
um die Punkte A, B mit
einem Radius r > AB/2
• Die Schnittpunkte der
beiden Kreisbögen P,
A
Q werden verbunden.
• Der Schnittpunkt der Geraden durch P und Q ist
der gesuchte Mittelpunkt M
P
g
M
B
Q
4
2. Halbieren eines Winkels
• Zeichne einen Kreisbogen
um den Punkt U und
kennzeichne die Schnittpunkte mit den Geraden
g1 und g2.
g1
S1
Q
U
g2
S2
• Ziehe erneut Kreisbögen, diesmal von den
Schnittpunkten S1 und S2 aus. Beide
Kreisbögen schneiden sich im Punkt Q.
• Verbinde die Punkte U und Q und die
Winkelhalbierende ist fertig konstruiert.
5
3. Errichtung einer
Senkrechten
• Zeichne Kreisbögen um
M und kennzeichne die
zwei Schnittpunkte A,B
• Vergrößere den ZirkelA
radius leicht und zeichne
von den Punkten A und B je einem
Kreisbogen nach oben.
P
Q
g
M
B
• Verbinde den Schnittpunkt Q der beiden Kreisbögen um A und B mit dem Ausgangspunkt M.
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4. Fällen eines Lotes vom
Punkt Q auf eine Gerade g
• Zeichne einen Kreisbogen um Q und kennzeichne zwei Schnittpunkte
A,B mit der Geraden.
• Ziehe Kreisbögen mit gleichem Radius um A und B, die
sich in Q und Q‘ schneiden.
Q
g
A
B
Q‘
• Verbinde die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen Q und Q‘ zum gesuchten Lot.
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Aufgabe
Konstruiere zu einem vorgegebenen beliebigen Dreieck die
Schnittpunkte aller drei
a) Winkelhalbierenden
b) Mittelsenkrechten
c) Seitenhalbierenden
Konstruiere den Außenund den Innenkreis!
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Winkel und Kreise
Die Tangente t schneidet k in
genau einem Punkt T.
Die Sekante s schneidet k in den
zwei Punkten S1, S2. Die Strecke
S1S2 ist eine Sehne .
s
S2

t
M
S1
r
T
α, β, γ, δ
• Winkel: griechische Kleinbuchstaben
• Kreis k aus Mittelpunkt M und Radius r
• S1, und S2 sind Schnittpunkte von s und k
k := KR(M,r)
{S1,S2}:= s∩k
• Dreieck mit den Eckpunkten ABC
∆ABC
• Winkel α im Eckpunkt M von ∆S1MS2
α = ∢S1MS2
• Punkt S1 liegt auf dem Kreis k
S1k, S2k
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Sätze zum Kreis
s
S2
• Jeder Zentriwinkel  ist doppelt so
groß, wie der Peripheriewinkel 
über demselben Bogen.
• Alle Peripheriewinkel x über demselben Bogen sind gleich.
• Jeder Peripheriewinkel  über dem
Halbkreis ist ein rechter Winkel.
(Satz des Thales).
• Eine Tangente t, die den Kreis im
Punkt T berührt, steht zu dem
Radius r rechtwinklig, der den
Punkt P schneidet.
β
M
S1
α1
α2
t
T

M

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5. Tangenten, die durch
einen Punkt P verlaufen
• Verbinde die Punkte P
und M und konstruiere
deren Mittelpunkt Z.
M
S1
• Zeichne einen Kreisbogen h um den Punkt Z
mit dem Radius ZM.
• Verbinde die Schnittpunkte S1 und S2 mit
dem Punkt P zu den
Tangenten.
k
S2
Z
P
h
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Konstruiere mit Zirkel und Lineal!
1. Ein gleichseitiges Sechseck mit Seitenlänge s.
2. Ein gleichseitiges Achteck, das in einen Kreis mit
dem Radius r genau hineinpasst.
3. Die Länge des Umfangs eines Dreiecks.
4. Die Länge des Umfangs eines Trapezes.
5. Einen Kreis k, der eine Gerade g in einem Punkt
A berührt und durch einen Punkt B (AB) geht.
6. Die Menge der Mittelpunkte aller Kreise kn, die
durch zwei gegebene Punkte A und B gehen.
7. Die inneren Tangenten, die sich zwischen zwei
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gegebenen Kreisen k1,k2 kreuzen.