Wärmelehre

Wärmelehre
Temperatur, Wärme, Entropie
Inhalt
• Die Temperatur
• Energiezufuhr in Form von Wärme
– Spezifische Wärme
• Erster Hauptsatz der Wärmelehre
• Wirkung der Temperatur auf physikalische
Eigenschaften: Thermische Ausdehnung
• Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre
• Die Entropie:
– Definition nach Clausius: Maß für die Möglichkeit,
einen Vorgang mit möglichst wenig Energiezufuhr
umzukehren („Reversible Prozesse“)
– Definition nach Boltzmann: Maß für die
Gleichverteilung von Orten und Impulsen der Teilchen
Versuch: Modell zur Bewegung im Gas
(2-dimensional)
• Mit einem bewegten Rahmen wird eine
regellose Bewegung von Kugeln erzeugt
– Keine Vorzugsrichtung
– Bei Wandkontakt wird die Geschwindigkeit
geändert
– Orte und Geschwindigkeiten sind „verteilt“
Ideale Gase
Zusammenhang zwischen den mikro- und
makroskopischen Größen
• Die Temperatur ist proportional zur mittleren
kinetischen Energie der Teilchen
• Der Druck ist ein Quotient:
– Zähler: Kraft, die bei Änderung des Impulses
der Teilchen beim Auftreffen auf eine Fläche
entsteht
– Nenner: Fläche
Temperatur und kinetische Energie
Einheit
Ekin
m 2 3
  v   k T
2
2
1J
Mittlere kinetische Energie
eines Teilchens im Gas
v
1 m/s
mittlere Geschwindigkeit
m
1 kg
Masse eines Teilchens
T
1K
Temperatur in Kelvin
k  1,3807  10 23
1 J/K Bolzmannkonstante
Energiezufuhr über die Wand
• Bei Kontakt mit der Wand erhält jedes
Teilchen drei neue Zufalls-Koordinaten für
seine Geschwindigkeit
• Q: Weshalb verhält sich ein Teilchen bei
Wandberührung nicht wie eine Billard
Kugel mit Einfallswinkel = Ausfallswinkel?
• A: Im Maßstab der Teilchen ist die Wand
ein System gekoppelter Pendel
– Bei Kontakt wird es in irgend einem
Bewegungszustand angetroffen
– Analogon: Sie hüpfen auf ein Trampolin,
auf dem schon jemand übt
Versuch: Erinnerung an die Freiheitsgrade im
„Gekoppelten Pendel“
Freiheitsgrade
Symmetrie bei
Spiegelung
Erste
Eigenschwingung
Symmetrisch
Zweite
Eigenschwingung
„Anti“-symmetrisch
Beliebig, das ist eine
Überlagerung beider
Eigenschwingungen
Unsymmetrisch
Muster
Vorgänge an der Wand: z. B.
Molekülschwingungen in CO2
z
y
x
Molekülschwingungen, Beispiel CO2,
erste Streckschwingung, symmetrisch
z
y
x
Molekülschwingungen, Beispiel CO2,
zweite Streckschwingung, antisymmetrisch
z
y
x
Beispiel CO2, erste Deformationschwingung
z
y
x
Beispiel CO2,zweite Deformationsschwingung
z
y
x
Freiheitsgrade
• Diese sechs Eigenschwingungen sind die
sechs Freiheitsgrade des Moleküls
• Bei Teilchenzahl n ist die Zahl der
„Freiheitsgrade“ 3n-3
• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen
mit unterschiedlichen
– Symmetrie-Eigenschaften
– Energie-Werten
Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der
Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte
Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in
der Elementarzelle
Translation
Innere Schwingung
Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
1. Beispiel für Kontakt Gas mit der Wand
Gas Teilchen trifft ein in Flugrichtung bewegtes Teilchen der Wand
2. Beispiel für Kontakt Gas mit der Wand
Gas Teilchen trifft ein entgegenkommendes Teilchen der Wand
Koordinaten der Geschwindigkeit
• Bei wiederholten Messungen einer
Koordinate erhält man Zufallswerte, deren
Histogramm einer Gauß Verteilung um
den Nullpunkt entspricht
Koordinaten der Geschwindigkeit eines Teilchens
X-Komponente der Geschwindigkeit
N
n
V
0
l
Y-Komponente der Geschwindigkeit
N
n
V
0
l
Gauß-Verteilung für eine Geschwindigkeitskomponente
F1
1,1
1,0
0,9
0,8
Y Axis Title
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-0,1
-18 -16 -14 -12 -10 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
X Axis Title
vx 2
 2
1
p(vx )dvx 
e 2 dvx
 2
1m/s
Wahrscheinlichkeit,
eine Geschwindigkeit
im Intervall zwischen
vx und vx+ dvx zu
finden
Gauß-Verteilung für eine Geschwindigkeitskomponente
F1
1,1
1,0
0,9
0,8
Y Axis Title
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-0,1
-18 -16 -14 -12 -10 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
X Axis Title
1
p (v x )dv x 
e
2kT / m
mvx 2

2 kT
dv x
1m/s
Wahrscheinlichkeit,
eine Komponente
der Geschwindigkeit
im Intervall zwischen
vx und vx+ dvx zu
finden
Wahrscheinlichkeitsdichte
Boltzmann-Verteilung für die Energie eines Freiheitsgrades
2,50E+020
T=300K
2,00E+020
1,50E+020
1,00E+020
5,00E+019
0,00E+000
0,00E+000
5,00E-021
1,50E-020
1,00E-020
2,00E-020
Energie [J]
E
1  kT
p( E )dE 
e dE
kT
1J
Wahrscheinlichkeit, die
Energie eines
Freiheitsgrads im
Intervall zwischen E und
E+ dE zu finden
Wahrscheinlichkeitsdichte
Erwartungswert der Energie
T=300K
2,50E+020
2,00E+020
1,50E+020
1,00E+020
5,00E+019
0,00E+000
0,00E+000
5,00E-021
1,00E-020
1,50E-020
2,00E-020
Energie [J]
1J
Mittlere Energie,
Erwartungswert der
Energie: Mittelwert aus
vielen Beobachtungen
1J
Wahrscheinlichkeitsdichte
der Energie

E   E p( E )dE  kT
0
E
1  kT
p( E )dE 
e dE
kT
Wahrscheinlichkeitsdichte
Temperatur und Energie
2,50E+020
Mittlere Energie eines
Freiheitsgrades bei 300 K
2,00E+020
1,50E+020
1,00E+020
5,00E+019
0,00E+000
0,00E+000
5,00E-021
T=300K
1,00E-020
1,50E-020
2,00E-020
Energie [J]
• Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere
Energie eines Freiheitsgrades
Eine Boltzmannverteilung für jede Geschwindigkeitskomponente
F1
1,1
1,0
vx
0,9
0,8
F1
0,6
1,1
0,5
0,4
1,0
0,3
0,9
0,2
0,8
0,1
0,7
0,0
0,6
vy
F1
1,1
1,0
0,5
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
0,4
X Axis Title
0,3
6
8
vz
0,9
10 12 14 16 18
0,8
0,7
0,2
Y Axis Title
-0,1
Y Axis Title
Y Axis Title
0,7
0,1
0,0
-0,1
-18 -16 -14 -12 -10 -8
-6
-4
0,6
0,5
0,4
-2 00,32 4
X Axis Title
0,2
6
8
10 12 14 16 18
0,1
0,0
-0,1
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
0
2
X Axis Title
4
6
8
10 12 14 16 18
Vorbereitung für „Maxwells Lotto“: Füllung der Urnen
1
4
8
10
• Drei Urnen, eine für jeden Freiheitsgrad, werden auf die
gleiche Weise gefüllt
Maxwells Lotto: Ziehung bei Wandkontakt
z
vx
vy
vz
1
1
x
8
y
Das Ergebnis der Ziehung ergibt die neue Geschwindigkeit
Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
F1
0,016
0,014
0,012
f(v)
0,010
0,008
0,006
0,004
0,002
0,000
-0,002
0
5
10
15
20
v
v2 =vx2
+vy2 +vz2
1
m/s2
Geschwindigkeit
im R3
Nicht alle drei Ziehungen für die Komponenten liefern die
kleinsten (wahrscheinlichsten) Werte
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung für ein
Gas aus Wasserstoff-Atomen
W ahrscheinlichkeitsdichte
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
Te
mp
era
tur
K
0,0000
100
200
300
Maxwellsche
Geschwindigkeitsverteilung
für Neutronen
400
500
600
1000
2000
3000
4000
Geschwindigkeit m/s
5000
6000
Das „ideale Gas“, makroskopisch: Die allgemeine Gasgleichung
p V  N  k  T
1J
p
1 N/m2
V
1 m3
N
1
Anzahl der Teilchen
T
1K
Temperatur in Kelvin
k
1 J/K
Boltzmannkonstante
Allgemeine Gasgleichung
Druck
Volumen
Das „ideale Gas“, makroskopisch: Die allgemeine Gasgleichung
p V    R  T
1J
p
1 N/m2
V
1 m3
ν
1
T
1K
R=8,315
Allgemeine Gasgleichung
Druck
Volumen
Anzahl der Mol (1 mol
enthält NA= 6,022 1023
Teilchen)
Temperatur in Kelvin
1 J/(mol·K) Allgemeine Gaskonstante
Zustandsfläche für ein Gas mit fester Teilchenzahl
100
80
60
40
20
10
8
0
10
6
8
4
6
4
2
2
Zustandsfläche für ein Gas mit fester Teilchenzahl
100
Isobar: 80
dU=dQ-p*dV
Isochor:
dU=dQ
dQ=Cp*dT
Isobar
60
40
dQ=Cv*dT
Isochor
Isotherm
20
10
8
0
10
6
8
4
6
4
2
dU=0 --> dQ=-dW dW=R*T*dV/V
2
Die thermische Ausdehnung (linear)
l (T )  l0  (1    T )
1 m Länge bei Temperatur T
l0
1 m Länge bei Temperatur T0
T  T  T0

  1,2 10
1K
Temperaturdifferenz
gegen T0
Linearer
1 1/K Ausdehnungskoeffizient
5
Linearer
1 1/K Ausdehnungskoeffizient
für Eisen
Die thermische Ausdehnung (Volumen)
V (T )  V0  (1    T )
V0
1 m3 Volumen bei Temperatur T0
T  T  T0

  6 10
1 m3 Volumen bei Temperatur T
1K
Temperaturdifferenz gegen
T0
Volumen1 1/K Ausdehnungskoeffizient
4
1 1/K Wert für Wasser bei 75°C
Versuche zur thermischen Ausdehnung
• Thermische Ausdehnung von
Flüssigkeiten
• Festkörpern: Bimetall
• Elektrische Eigenschaften: Heiß- und
Kaltleiter
Heiß- und Kaltleiter
• Heißleiter:
– Widerstand fällt mit zunehmender Temperatur.
Eigenschaft der Halbleiter, Energiezufuhr
durch Wärme hebt die Elektronen ins
Leitungsband
• Kaltleiter:
– Widerstand fällt mit zunehmender Temperatur.
Eigenschaft der metallischen Leiter,
„Gitterbewegung behindert den
Elektronenfluss“
Zusammenfassung
• Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere
Energie eines Freiheitsgrades
• Die Anzahl der Teilchen, Temperatur, Druck und
Volumen eines Gases sind durch die allgemeine
Gasgleichung aneinander gebunden
• Alle Freiheitsgrade sind im thermischen Gleichgewicht
mit der gleichen Energie E=kT angeregt.
• Die Energie eines Freiheitsgrades variiert zeitlich und
räumlich, die Häufigkeit der Werte entspricht der
Boltzmannverteilung ~exp(-E/kT)
• Jeder Freiheitsgrad eines Gases nimmt bei jedem
Kontakt mit der Wand einen Zufallswert der Energie aus
deren Boltzmannverteilung auf
• Die Maxwellverteilung ist die Verteilung des Betrags der
Geschwindigkeit eines Teilchens (Summe aus drei
quadrierten Beträgen zu einzelnen Freiheitsgraden)
Finis
z
vx
vy
vz
1
1
x
8
y