Geschichte der Mathematik

Marija Čuljak
Mario Mijić


Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik
Addition
 Subtraktion
 Multiplikation
 Division
 Bruchrechnung



Hieroglyphen und hieratische Schrift
Ägyptische Geometrie
1
10
100
1000
10 000
100 000
1000 000
1
2
3
4
5
6
7
Merkstrich oder Zählfinger
Henkel, Bügel
Spirale
„Lotosblume“
großer Finger, eine „große Eins“
„Kaulquappe“
Genius

Ziffernsystem beruht auf additivem Prinzip:


Zur Darstellung einer bestimmten Zahl mussten
Ziffern wiederholt werden
Identische Zeichen werden gruppiert


Additiver Charakter der ägyptischen
Mathematik an verwendeten Fachwörtern und
Methoden zu sehen
Bei Notation wird mit größten Zehnerpotenz
begonnen


Fachwort für addieren: „vereinigen“ oder
„hinzulegen“
Erhält Ergebnis durch Hinschreiben der zu
addierenden Zahlen und anschließendem
Anpassen der Symbole für Zehnerpotenzen
 Beispiel: 1 202 416 + 352 745
6 4 33 111 + 66 555 4 3333 22 111
7
2
6 4 33 111
6 55 4 333 22 11
„Berechnung“
=
Anpassung der
Zehnerpotenzen =
33333
11111
666 555 444
222
7
33333
11111
66 55 4
22
3
1
666 555 444 222
7
3
1
66 55 44 222
1 555 161


Fachwort für subtrahieren: „abbrechen“ oder
„ergänzen“ (als Addition umschrieben)
Erhält Ergebnis durch Wegstreichen
 Beispiel: 1 202 416 - 352 745
6 4 33 111 - 66 555 4 3333 22 111
7
2
6 4 33 111
6 55 4 333 22 11
Entbündelun
g von
1 202 416:
Ausrechnen
der Differenz
durch
Wegstreichen:
66666
44444 33333 22222
55555
111
66666
44444 33333 22222
5555
111
6
4 333
2
6666 55 44444 333 2222
1
6666 55 4444 333 222
849 671


Entstehung aus Addition deutlich
Fachwort für multiplizieren: „Hinzulegen“

Ist das gleiche wie bei Addition

Multiplikation mit 10 im Kopf




Bedeutet Veränderung des Individualzeichens
Einmaleins fehlt ihnen
Verdopplung ist als eigene Rechenoperation
bekannt
Berechnung einer schwierigeren Aufgabe
mittels Additionsschemas
Beispiel: 15 · 13
 Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten
In rechte Spalte Multiplikator 15 eintragen
 In linken Spalte Multiplikand 1 eintragen

1
15

In nachfolgenden Zeilen jeweils das
doppelte der vorhergehenden eintragen, bis
der errechnete Multiplikand nicht größer ist
als 13
1
15
2
4
8
30
60
120
 Markieren der Zeilen, die bei Addition
der linken Spalte 13 ergeben
/
/
/
1
2
4
8
 1 + 4 + 8 = 13
15
30
60
120
 Durch Addition der rechten Spalte der
markierten Zeilen erhält man das
gesuchte Ergebnis
/
/
/
1
2
4
15
30
60
8
120
 Also erhält man 15 · 13 durch:
15 + 60 + 120 = 195


Ist umgekehrte Multiplikation und sieht
gleich aus
Wird mit zwei „Fragen“ formuliert:
„Rechne mit x bis (zum) Finden (von) y“
oder „Rufe y hervor aus x“


Beispiel: „Rechne mit 15 bis (zum)
Finden (von) 195“ [195 : 15]
Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten



In rechte Spalte Divisor 15 eintragen
In linken Spalte 1 eintragen
In nachfolgenden Zeilen jeweils das
doppelte der vorhergehenden eintragen, bis
der errechnete Divisor nicht größer ist als
195

Markieren der Zeilen, die bei Addition
der rechten Spalte 195 ergeben
1
15
2
4
8
30
60
120
 15 + 60 + 120 = 195

/
Durch Addition der linken Spalte der
markierten Zeilen erhält man das
gesuchte Ergebnis
/
1
2
4
15
30
60
/
8
120
 Also erhält man 195 : 15 durch:
1 + 4 + 8 = 13

Wenn Dividend kleiner als Divisor,
muss mit Halbieren gerechnet werden


Hierzu sind Brüche erforderlich
Beispiel: 2 : 8
1
½
8
4
¼
2
 Also erhält man für 2 : 8 = ¼
Rechentechnik –
Bruchrechnung


Brüche werden wie ganze Zahlen
geschrieben, aber mit Hieroglyphe
„Mund“ darüber
Rechneten fast nur mit Stammbrüchen

Für ½, ⅔ und ¾ eigene Zeichen:
½
⅔
¾


Darstellung von Brüchen durch Summe
von Teilbrüchen
Keine Wiederholung des selben Bruchs
erlaubt

3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 keine zulässige
Aufteilung des Bruches


Bei der Übertragung schreibt man
für 1/n
Z.B. wird ⅔ in dieser Schreibweise
notiert
3
Addition von Stammbrüchen:
 Aufgabe aus Papyrus Rhind 37
2 4 8 16 32 64 72 576

36 18 9 8 1
Unter letzten 5 Stammbrüchen sind rote
Hilfszahlen notiert

Hilfszahlen geben den Faktor an, mit dem
die Brüche erweitert werden müssen
1
16
=
36
576
usw.
2 4 8 16 32 64 72 576
36 18 9 8



1
Durch Addition der Hilfszahlen erhält
man 72
72
Somit hat man
errechnet, was
576
sich
1
zu kürzen lässt
8
Zusammen mit den ersten drei Brüchen
kann man leicht das Gesamtergebnis 1
berechnen
Subtraktion von Stammbrüchen
 Aufgabe aus Papyrus Rhind 21
1- 3 15



10 1
Man errechnet das Ergebnis leicht,
indem man 15 - 11 = 4 bestimmt
4
Somit ergibt 1- 3 15
15
Dies können die Ägypter jedoch erst
nach der Division von 4 : 15 notieren


„Rechne mit 15 bis du 4 findest“
1
Zuerst wird 1 ½ als von 15 bestimmt
10
1
15
1½


1
von 15
5
Nun fehlt noch 1 bis zum gewünschten
1
Ergebnis, also
15
Anschließend ist dann 3
1
10
5
15
15
1½
3
1

Somit muss die dritte und die vierte
Zeile ergänzt werden, denn 3 + 1 = 4
10
5
15
4
 Die gesuchte Notation von
ist also:
15
1
1
+
5 15

Hieratische Schrift ist Vereinfachung
der Hieroglyphen


Durch Schematisierung und Reduzierung
auf das Wesentliche entstanden
Charakteristische Merkmale hinzugefügt,
um Verwechselungen zu vermeiden


Mit diesem System können Zahlen mit
wenigen Symbolen dargestellt werden. So lässt
sich die Zahl 9999 mit 4 hieratischen
Zahlzeichen anstatt mit 36 Hieroglyphen
schreiben.
Die Schreibweise mit Hieroglyphen und die
hieratische Schreibweise von Zahlen benutzten
die alten Ägypter 2000 Jahre lang
nebeneinander. Die Hieroglyphen wurden in
Stein gemeiselt und die Hieratische Schrift
verwendete man um auf Papyrus zu schreiben.
Ausschnitt aus dem ägyptischen
Rhind-Papyrus


Der Papyrus Rhind ist ein altägyptischer
Papyrus zu mathematischen Themen, die wir
heute als Algebra, Geometrie, Trigonometrie
und Bruchrechnung bezeichnen. Er ist eine der
wichtigsten Quellen für unser Wissen über die
Mathematik der alten Ägypter.
Der Papyrus ist benannt nach dem Schotten
Alexander Henry Rhind, der ihn 1858 in Luxor
kaufte. Die Rolle wurde bei illegalen
Grabungen beim Ramesseum entdeckt.


Viel von der Mathematik der Alten Ägypter zur
Zeit der Pyramiden kennen wir aus zwei
ausgegrabenen Papyrus-Rollen, dem Papyrus
RHIND und den Papyrus MOSKAU. Der Papyrus
MOSKAU heißt nach seinem Aufbewahrungsort,
dem Museum der Schönen Künste in Moskau.
Der Papyrus ist in hieratischer Schrift geschrieben
und die Rolle war ursprünglich 5,40 m lang und 32
cm breit. Er hat sogar einen richtigen Buchtitel:
"Genaues Rechnen. Einführung in die Kenntnis
aller existierenden Gegenstände und aller dunklen
Geheimnisse"



Eine Tabelle, die für die ungeraden Zahlen n
von 5 bis 101 die Darstellung von 2/n als
Summe von Stammbrüchen darstellt, nimmt
etwa ein Drittel des Papyrus ein.
Der Papyrus RHIND enthält 84 Aufgaben
sowie eine Tafel der Divisionen 2 : n.
Es finden sich auch sehr viele geometrische
Aufgaben z.B. Flächenberechnungen von
Dreiecken, Kreisen und Rechtecken




Ein Haufen und sein Siebtel sind 19
eines der Grundprobleme in der Mathematik
wie kann aus gegebenen bekannten Größen auf
gesuchte unbekannte Größen geschlossen werden?
In heutiger Schreibweise bedeutet das
y = 7x
x = (1/7)y
7x + 1x = 8x
8x = 19
x = 19/8
Veranschaulichung der
näherungsweisen Berechnung von
π durch Ahmes.
In der 48. Aufgabenstellung
beschreibt Ahmes, wie er die Fläche
eines Kreises berechnet, der einem
Quadrat mit einer Seitenlänge von 9
Einheiten eingeschrieben ist. Er liefert
damit eine Näherung der Zahl π.

Von Verfasser und
Schreiber Ahmose (auch
Ahmes)



Dazu dreiteilt Ahmes zuerst die Seiten des
Quadrats und erhält damit neun kleinere
Quadrate. Dann schneidet er von den vier
Eckzellen jeweils die Hälfte weg und erhält
damit ein unregelmäßiges Achteck
Dieses Achteck (mit der Gesamtfläche von 7
kleinen Quadraten zu je 32 Flächeneinheiten)
besitzt den Flächeninhalt von 63
Quadrateinheiten und ist - nach Ahmes
Meinung - etwas kleiner als der Flächeninhalt
des Kreises.
Der Kreis besitzt somit den Flächeninhalt von
64 (64 = 82) Quadrateinheiten

Somit ist die Fläche eines Kreises mit dem
Durchmesser 9 gleich der Fläche eines
Quadrats mit der Seitenlänge 8. Daraus ergibt
sich für π:
4,52π ~ 82
π ~ 82/4,52 ~ 3,16049
Fragen
…???
Ende
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit