Vorlesung-04

Anwendungen Tunneleffekt in Beispielen:
11.5.1. Alpha Zerfall von Kernen
11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop
11.5.1. Alpha Zerfall: Pollonium
212Po
-> a + 208Pb + 8.78 MeV
He
208Pb
Coulombabstossung
1012 Tunnelwahrscheinlichkeit
Coulomb versus Kasten!
Kernkräfte
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/alptun2.html#c1
11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop
siehe: 3.4.
•Verschiebung mit Piezos
3 Dimensional
•Dämpfung!!!
•Messung des Tunnelstroms
(wird konstant gehalten durch
Höhenvariation)
Elektronen in Metallspitze
quasi frei
Spitze
Wand: Potentialstufe
Zwischenraum: Potentialbarriere
Substrat
x
Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html
a
0
Zwischenraum
11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop
siehe: 3.4.
•Verschiebung mit Piezos
3 Dimensional
•Dämpfung!!!
•Messung des Tunnelstroms
(wird konstant gehalten durch
Höhenvariation)
Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html
11.6. Der Harmonische Oszillator
Potential:
Stationäre
Schrödingergleichung:
Klassische
Lösung: harmonische Schwingung
Oszillation zwischen Ekin und Epot
E(x)
Enn2
E0
11.6. Der Harmonische Oszillator
Potential:
Stationäre
Schrödingergleichung:
Klassische
Lösung: harmonische Schwingung
Oszillation zwischen Ekin und Epot
Substituiere:
|Y(x)|2
Y(x)
Lösung für C=1
E=1/2 ~ w
Gausskurve:
1. Tunnels in den klassich verbotenen Bereich
2. Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0
(Hier ist klassisch ein Minimum!)
11.6. Der Harmonische Oszillator
Potential:
Stationäre
Schrödingergleichung:
Klassische
Lösung: harmonische Schwingung
Oszillation zwischen Ekin und Epot
Substituiere:
Lösung für C=1
E=1/2 ~ w
Hermitesche Polynome
Harmonischer Oszillator:
1. Energieniveus äquidistant (~w)
2. Nullpunkstenergie 1/2 (~w)
Infinite Well
Kastenpotential:
En n2
Oscillator
E3= 9E1
E
H Atom
2
Vx
E3 = E1 /9
E2 = 5E0
E
E
E = 4E
E =2
3E
Bohrsche
Atom: En 1/n
2
1
E1
L
1
E2 = E1 /4
0
V  1/x
E0 = ½hf
x
L
x
E1
x
Plancksches Strahlungsgesetz
Rayleigh, Jeans
Strahlungsgesetzt
Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht
kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh  diskret
Vergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit
=20
=4
=0
Überlagerung von Zuständen 0,1
Ort
Merke:
Grosse Auslenkung
Kleiner Impuls!
Impuls
Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden
Gauss:
läuft NICHT ausseinander
(dank Potential)
Wellenpaket im Impuls und
Ortsraum

12. Das Wasserstoff Atom
12.1. Bewegung im Zentralfeld
Stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimensionen
D
„Breitengrade“
(x,y,z) ! ( R,q,f )
Sphärische Polarkoordinaten
Kugelkoordinaten:
x=r sinq cosf
y= r sinq sinf
Z=r cosq
Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten
Produktansatz: Y(r,q,f)= R(r) T(q) P(f)
Hängt nur
von f ab
Hängt nur von r,q ab
) Beide Seiten müssen konstant sein C1
Lösung:
Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(f)=P(f + np)
Teilen durch
Ganzzahlig (m)
m2Z
Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten
Produktansatz: Y(r,q,f)= R(r) T(q) P(f)
C1 = ml2
umsortieren, nach r und q
Hängt nur von r,q ab
Hängt nur
von f ab
) Beide Seiten müssen konstant sein C1
hängt nur von r ab
hängt nur von q ab
Lösung:
) Beide
Seiten müssen konstant sein C2
Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(f)=P(f Legendresche
+ np)
substituiere x=cosq !
Differentialgleichung
Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm
Teilen durch
T=Plm (cos(q))
C2 = l(l+1), l 2 N Ganzzahlig (m)
T(q) P(f) = Plm (cos(q)) eimf = Ylmm(q,f)
eZ
Kugelflächenfunktionen
Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik
Physikalische Größe
Operator
Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik
Physikalische Größe
Operator
l = 0,1,2,3 ....
-l<ml<l
Drehimpulsquantenzahl
Magnetische Quantenzahl
Unschärferelation im Drehimpuls:
D lz D lx > ~
D lz D ly > ~
D lx D lx > ~
z
m~
Beispiel l=2
x,y Komponente unbestimmt
m=-2,-1,0,1,2
2 dimensionale Welt?
1. Länge des Drehimpulsvektors ist quantisiert!
2. kann nicht beliebig im Raum stehen:
Richtung ist quantisiert!
Was ist die z (Quantisierungsachse)?
Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten
Produktansatz: Y(r,q,f)= R(r) T(q) P(f)
C1 = ml2
umsortieren, nach r und q
Hängt nur von r,q ab
C2 = l (l+1)
Hängt nur
von f ab
) Beide Seiten müssen konstant sein C1
hängt nur von r ab
hängt nur von q ab
Lösung:
) Beide
Seiten müssen konstant sein C2
Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(f)=P(f Legendresche
+ np)
substituiere x=cosq !
Differentialgleichung
Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm
Teilen durch
T=Plm (cos(q))
C2 = l(l+1), l 2 N Ganzzahlig (m)
T(q) P(f) = Plm (cos(q)) eimf = Ylmm(q,f)
eZ
Kugelflächenfunktionen
auflösen
negativ
Für r! 1 vernachlässige 1/r und 1/r2
Vollständige Lösung (Laguerre Polynome):
hängen von n&l ab
Wie Bohrmodel!
Beschränkung für l
l<0,1,2,... n
hängt
NICHT
von l ab
Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f)
Quantenzahlen:
Symbol
Hauptquantenzahl
n = 1,2,...
Drehimpuls
l = 0,1,2,3,4... (n-1)
s,p,d,f
magnetisch
(Projektion des
Drehimpulses)
Grundzustand n=1 l=0 m=0
n=2 l=0 m=0
l=1 m=-1
m=0
m=1
n2 Möglichkeiten
-l · m · l
keine Bohrsche Kreisbahn! KEIN Drehimpuls.
“Entartet” (gleiche Energie)
Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f)
|Rnl(r)|2
Wahrscheinlichkeit ein
Elektron
in einem Volumenelement
am Abstand r zu finden
r|Rnl(r)|2
Wahrscheinlichkeit ein
Elektron in einer
Kugelschale bei r zu
finden
Höchste Dichte am Kern!
Maximum beim
Bohrschen Radius
Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f)
|Rnl(r)|2
Wahrscheinlichkeit ein
Elektron
in einem Volumenelement
am Abstand r zu finden
r|Rnl(r)|2
Wahrscheinlichkeit ein
Elektron in einer
Kugelschale bei r zu
finden
1 Knoten!
klassisch
verbotener
Bereich
Tunneln
Fragen:
Wie kommen die e wieder zurück?
Sind sie dort schnell oder langsam?
Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f)
Y00 = C1
Y10= C2 cosq
Y11= C3 sinq eif
Y20=C4(2cos2q –sin2q)
Y21=C5(cosq –sinq eif
Y22=C6 sin2q e2if
Polardarstellung:
Abstand von (0,0)
ist Funktionswert
Z-Achse
(Quantizierungsachse)
Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f)
Y00 = C1
Y10= C2 cosq
Y11= C3 sinq eif
Y20=C4(2cos2q –sin2q)
Y21=C5(cosq –sinq eif
Y22=C6 sin2q e2if
Polardarstellung:
Abstand von (0,0)
ist Funktionswert
Z-Achse
(Quantizierungsachse)
Verbreitete Darstellung:
Form nur „Stilisiert“
Sind nicht
gleichzeitig
messbar
Vergleich Bohrsches Atommodell - Quantenmechanik
Quantenmechanik
r-Abhängigkeit
Radius
verschmiert
Bohr
Planetenbahnen
rn
rn=a0/Z n2
Dichte
Drehimpuls
kann bei r=0 maximal sein
0 bei r=0
L=n~