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Wahrscheinlichkeitsverteilung
Lernziele:
• Wahrscheinlichkeitsverteilung und der
Wahrscheinlichkeitsdichte verstehen.
• Mittelwert und Streuungsmass kennen.
• Mit der Binomialverteilung, der PoissonVerteilung und der Normalverteilung
angemessene Probleme lösen können.
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Wahrscheinlichkeitsverteilungen
•
•
•
•
•
•
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
Poisson-Verteilung
Normalverteilung
Exponentialverteilung
...
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Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable (Zufallsgrösse) ist eine
Funktion, die jedem Elementarereignis  aus
der Ergebnismenge Ω genau eine reele Zahl
X() zuordnet.
Beispiele:
• X = Anzahl Würfe mit Augenzahl 1
• X = Messwert in einer Messserie
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Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion F(X) einer
Zufallsvariablen X ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt,
der kleiner oder gleich einer vorgegebenen
reellen Zahl x ist:
F(x) = P(X ≤ x)
Es gilt: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
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Diskrete Verteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten
Zufallsvarfiablen X lässt sich durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion
pi
x  x i (i  1, 2, 3, ...)
f (x)  
für
alle übrigen x
0
oder durch die zugehörige Verteilungsfunktion

F(x)  P(X  x)   f (x i )
vollständig beschreiben.
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x i x
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Diskrete Verteilung
Es gilt:
1. f (x i )  0
2. f (x) ist normiert

 f (x )  1
i
i1
3. F(x) ist monoton wachsend mit
0  F(x)  1
4. P(a  X  b)  F(b)  F(a)
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Stetige Verteilung
Bei einer stetigen Zufallsvariablen X mit dem
Wertebereich –∞ < X < ∞ wird die Verteilungsfunktion F(x) in der Integralform dargestellt:
F(x)  P(X  x) 
x

f (u)du

f(x) heisst Dichtefunktion

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Stetige Verteilung
Es gilt:
1. f (x)  0
2. f (x) ist normiert


f (x)dx  1

3. F(x) ist monoton wachsend und ist
eine Stammfunktion von f(x),
4. P(a  X  b) 
b

also : F'(x) = f (x)
f (x)dx  F(b)  F(a)
a
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Erwartungswert einer
Zufallsvariablen
E(X) 
n
 x f (x )
i
i
(diskrete Zufallsgrösse x)
i1
E(X) 

 x  f (x)dx
(stetige Zufallsgrösse x)

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Diskrete Zufallsvariable X
Mittelwert   E(X)   x i f (x i )
i
Varianz
  Var(X)   x i    f (x i )
2
2
i
Standardabweichung
  Var(X)

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Stetige Zufallsvariable X
Mittelwert   E(X) 

 x  f (x)dx

Varianz
 2  Var(X) 

 (x )
2
 f (x)dx

Standardabweichung
  Var(X)

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Binomialverteilung (diskret)
Beispiel:
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei
Würfel in 10 Versuchen 4-mal die Augensumme 6 zu werfen?
P(X = 4) =
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Binomialverteilung
allgemein: Ziehen mit Zurücklegen
Die Wahrscheinlichkeit, dass in n Zufallsversuchen das Ereignis E x-mal eintritt, ist:
P(X = x) 

n
x
Erwartungswert
(q  1 p)
p x q nx
  np
Varianz  2  npq  np(1 p)
Standardabweichung
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  npq  np(1 p)
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Poisson-Verteilung
Anzahl der Zufallsversuche ist sehr gross und die
Wahrscheinlichkeit p ist sehr klein
(d.h. es wird q = 1 - p  1)
Grenzwert der Binomialverteilung mit n  ∞.
Es gilt:
n x nx
x

lim

n  x
p q

x!
e
Erwartungswert  = np
Varianz 2 = npq = 
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Poisson: Relativer Fehler
Für eine Messunsicherheit von 10% müssen im
Mittel pro Messintervall wenigstens µ = 102
Ereignisse registriert werden.
Für höhere Genauigkeiten gilt:
1%
µ = 104
1‰
µ = 106
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Poisson: Beispiel
Ein Gramm Radium (Ra) enthält etwa 1022 Atome.
Diese können zerfallen. Der Zerfall eines Kerns ist
unabhängig von anderen kernen. Ferner ist bekannt, dass die mittler Anzahl a-Teilchen, welche 1
Gramm Radium pro Sekunde aussendet, 1010 ist.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem
Messintervall ∆t (z.B. ∆t = 1s) von 1 Gramm
Radium x a-Teilchen ausgesandt werden?
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Poisson: Lösung
Erwartungswert
 = np = 1022p ≈ 1010
12
p  10
P(X = x) 

x
x!
e


Mittlerer Fehler :


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(mit   10 )
10



1

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Normalverteilung
• Die Zufallsvariable X kann jeden reellen Wert
einnehmen.
• Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche
Verteilung.
• glockenförmige Verteilungskurve
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Gauss'sche Glockenkurve:
Dichtefunktion
f (x)  
1
2

e
(x  )2
2
2
0.5
0.4
0.3

0.2
0.1
0
-20
-10
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0
10
20
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Gauss'sche Glockenkurve:
Verteilungsfunktion
F(x) 
x


1
2

e
(t  )2
2
2
dt
µ = Mittelwert
 = Standardabweichung

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Gauss'sche Glockenkurve
Die Koeffizienten sind so festgelegt, dass die
Fläche zwischen Kurve und Achse für alle  und
 immer 1 ergibt. Es gilt:


1
2

e
(x  ) 2
2
2
dx  1

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 = 0,  variiert
f (x)  

1
2
e
x2
2
2
=1
0.5
0.4
=2
0.3

=5
0.2
0.1
0
-20
-10
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0
10
20
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 variiert,  = 1
(x -  )2

2
1
f (x) 
e
2
=0
0.5
 = -5

0.4
 = 10
0.3
0.2
0.1
0
-20
-10
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0
10
20
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Wahrscheinlichkeit,
dass der Wert der Zufallsvariablen x
zwischen x1 und x2 liegt:
P(x1  x  x 2 ) 
x2

1
0.5
x1
2
0.4

e
(x  )2
2
2
dx
0.3
0.2
0.1
0
-20
-10
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0
x1
10
x2
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Exponentialverteilung
Dichtefunktion f(x)
  e x (für x  0)
Erwartungswert m =
Streuungsparameter s
Verteilungsfunktion F(x)
1


0.5
1
0.4


0.3
0.2
x
x
  f(x)dx   e
0
 x
dx  1  e
0
 x
0.1
0
0
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5
10
15
20
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