Präsentation

Planung einer Unterrichtsstunde mit DGS
Vorbereitungsseminar zum fachdidaktischen Blockpraktikum WS 2010/11
Referentin: Laura Kursatz
16.11.2010
Inhalt
 Präsentationsmodi nach Bruner
 Ortslinien







Thaleskreis
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Euklid DynaGeo
Entwicklung und Durchführung von Arbeitsaufträgen
Diskussion
Literatur
Präsentationsmodi nach Bruner (1)
Nach Bruner lassen sich drei Formen der
Repräsentation von Wissen unterscheiden:
1. enaktive Repräsentation (Handlungen)
2. ikonische Repräsentation (Bilder)
3. symbolische Repräsentation (Zeichen, Sprache)
Präsentationsmodi nach Bruner (2)
 Diese 3 Ebenen stehen nicht nur Kindern sondern
auch Erwachsenen zur Verfügung.
 Sie sind nicht zeitlich abgestuft, sondern die
verschiedenen Darstellungsebenen stehen in
starker Wechselbeziehung zueinander.
Präsentationsmodi nach Bruner (3)
 Die Denkentwicklung ist als eine immer bessere
Koordination zwischen den verschiedenen
Darstellungsebenen zu verstehen. Der intellektuelle
Erwachsene zeichnet sich durch die Fähigkeit aus,
flexibel zwischen den Darstellungsebenen zu
wechseln.
 Damit ein mathematischer Sachverhalt bestmöglich
erfasst werden kann, sollte er nach Möglichkeit alle
drei Darstellungsebenen durchlaufen.
Inhalt
 Präsentationsmodi nach Bruner
 Ortslinien







Thaleskreis
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Euklid DynaGeo
Entwicklung und Durchführung von Arbeitsaufträgen
Diskussion
Literatur
Ortslinien
Definition
Ortslinien
sind die Menge aller Punkte, die eine
bestimmte geometrische Eigenschaft besitzen.
Beispielsweise ist der Kreis die Ortslinie aller
Punkte, die von einem Punkt M den Abstand r
haben.
1. Der Thaleskreis
Alle Punkte C, von denen aus eine gegebene Strecke
AB unter dem Winkel 90° erscheint, liegen auf dem
Thaleskreis mit dem Durchmesser |AB|.
2. Die Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte ist der geometrische Ort, der
genau die Punkte P enthält, die jeweils von A und B
dieselbe Entfernung haben, also die Menge
{P | |AP| = |BP|}
m
3. Die Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende eines Winkels mit den
Schenkeln a und b enthält genau die Punkte P, die
jeweils von a und b denselben Abstand haben:
{P | Abstand (P, a) = Abstand (P, b) }
Bezug zum Lehrplan
Lernvoraussetzungen
 Parallele als Ortslinie (Klassenstufe: 5
Lagebeziehungen von Geraden, Strecken usw.)
 Kreis als Ortslinie (Klassenstufe: 5 Kreis)
 Kenntnisse über die verschiedenen Dreiecksarten:
spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig,
gleichschenklig usw. (Klassenstufe: 7 )
Inhalt
 Präsentationsmodi nach Bruner
 Ortslinien







Thaleskreis
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Euklid DynaGeo
Entwicklung und Durchführung von Arbeitsaufträgen
Diskussion
Literatur
Euklid DynaGeo
Unter der Rubrik „Konstruieren“ können Strecken, Geraden, Kreise usw.
gezeichnet werden
Unter „Messen & Rechnen“ kann mit dem Knopf
für einen Parameter eingesetzt werden.
ein Schieberegler
Mit einem solchen Schieberegler kann z.B. der Radius eines Kreises
schnell variiert werden:
Inhalt
 Präsentationsmodi nach Bruner
 Ortslinien







Thaleskreis
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Euklid DynaGeo
Entwicklung und Durchführung von Arbeitsaufträgen
Diskussion
Literatur
Arbeitsauftrag zur Entdeckung des
Thaleskreises
 Zeichne mit DynaGeo ein beliebiges Dreieck ABC.
Messe nun den Winkel in C und lasse ihn dir anzeigen.
 Verändere den Winkel γ, indem du an dem Punkt C
ziehst. An einer Stelle verändert sich die Markierung
des Winkels. Bei welchem Maß des Winkels ist dies
der Fall?
 Versuche C nun so zu bewegen, dass der Winkel
diesen speziellen Wert beibehält.
Markiere dazu in verschiedenen solcher Dreiecke
jeweils den Punkt C, indem du einen neuen Punkt an
seine Stelle setzt.
Auf welcher virtuellen Linie bewegt sich dabei der
Punkt C?
 Kannst du die gefundene Linie auch konstruieren?
Probiere es mit DynaGeo?
Verbesserungsvorschläge
 Zeichne mit DynaGeo ein beliebiges Dreieck ABC.
 verschieben des Dreiecks möglich
besser: Grundseite des Dreieckes durch Angabe zweier
Punkte mit Koordinaten festhalten
 An einer Stelle verändert sich die Markierung des
Winkels  unpräzise
Besser: In der Regel wird ein Winkel mit einem
Kreisbogen markiert. In einem Fall ist dies anders.
 Bearbeitet die ausgeteilten Aufgaben!
Zeit: 25 min
 Tauscht eure Ergebnisse untereinander aus! Löst die
gestellten Arbeitsaufträge und kommentiert diese im
Hinblick auf die Verwendung im Unterricht!
Zeit: 15 min
Arbeitsaufträge Gruppe A
1.
Konstruiert die Mittelsenkrechte als Ortslinie mit
Hilfe von DynaGeo!
(natürlich ohne die direkten Befehle zu verwenden )
2. Wie könnte die Mittelsenkrechte als Ortslinie von
Schülern entdeckt werden? Entwickelt eine
entsprechende Aufgabe mit schülergerechten
Anweisungen!
3. Erstellt eine Aufgabe zur Entdeckung des
Umkreismittelpunktes im Dreieck!
Ergebnisse der Gruppe 1
Arbeitsauftrag 1:
Wir entdecken eine neue Ortslinie!
1) Zeichne eine schräge Strecke AB mit beliebiger Länge.
2) Konstruiere um A und B einen Kreis mit gleichem
Radius.
3) Markiere die Schnittpunkte der Kreise.
4) Ändere den Radius der beiden Kreise um den gleichen
Wert so, dass weitere Schnittpunkte entstehen.
5) Was fällt dir auf? Welche gemeinsamen Eigenschaften
haben die Schnittpunkte?
6) Konstruiere die Ortslinie mit dem „Spur-Befehl“.
Def.: Die gefundene Ortslinie heißt Mittelsenkrechte.
Ergebnisse der Gruppe 1
Arbeitsauftrag 2:
1) Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC.
2) Konstruiere die Mittelsenkrechte zu jeder
Dreiecksseite.
Was auffallen soll steht
3) Was fällt dir auf?
in nächster Aufgabe
4) Markiere den Schnittpunkt und miss den Abstand zu
allen Eckpunkten.
5) Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt?
Rote Schrift  Verbesserungsvorschläge
Ergebnisse der Gruppe 2
Arbeitsauftrag 1:
Der Punkt A ist die Stadt „Augsburg“, der Punkt B ist die
Stadt „Berlin“. Die Strecke AB ist die Entfernung zwischen
A und B.
Die beiden Städte suchen mehrere Standorte für
Sendemasten, die von den beiden Städten gleich weit
entfernt sind, damit Augsburg und Berlin genau das gleiche
Sendesignal erhalten.
Zeichne den Punkt A mit (0|0) und den Punkt B mit (5|3).
Zeichne nun die Strecke! Du findest sicher direkt einen
Punkt, der von A und B gleich weit entfernt ist. Finde
weitere Punkte.
 Verbesserung:
- unrealistische Entfernung zwischen Augsburg & Berlin
- Fixieren der Punkte auch ohne Koordinatensystem
möglich
Ergebnisse der Gruppe 2
Arbeitsauftrag 2:
Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC .
Zeichne die drei Mittelsenkrechten.
Was fällt dir auf?
Ziehe am Punkt A und verschiebe ihn. Was fällt dir auf?
Ziehe am Punkt B und verschiebe ihn. Was fällt dir auf?
Ziehe am Punkt C und verschiebe ihn. Was fällt dir auf?
Verschiebe das Dreieck nun nicht mehr und miss die Strecken
zwischen
- A und dem Punkt,
Welcher Punkt ist
- B und dem Punkt,
gemeint?
- C und dem Punkt.
Was fällt dir auf?
Arbeitsaufträge Gruppe B
1.
Konstruiert die Winkelhalbierende als Ortslinie mit
Hilfe von DynaGeo!
(natürlich ohne die direkten Befehle zu verwenden )
2. Wie könnte die Winkelhalbierende als Ortslinie von
Schülern entdeckt werden? Entwickelt eine
entsprechende Aufgabe mit schülergerechten
Anweisungen!
3. Erstellt eine Aufgabe zur Entdeckung des
Inkreismittelpunktes im Dreieck!
Ergebnisse der Gruppenarbeit
Arbeitsauftrag :
 Zeichne mit DynaGeo einen Punkt M und von ihm
ausgehend zwei Halbgeraden mit beliebigem Winkel.
 Schlage einen Kreis mit beliebigem Radius um M und
markiere dessen Schnittpunkte mit den beiden
Halbgeraden und nenne sie S1 und S2
 Konstruiere eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte
 Füge einen Schieberegler ein mit Variable r
 Schlage jeweils einen Kreis um die Schnittpunkte mit
Radius r
 Markiere nun die Schnittpunkte der beiden Kreise und
nenne sie S3 und S4
 Zeichne jeweils die Ortslinie von S3 und S4, indem du
den Schieberegler verstellst
 Welche besondere Eigenschaft haben alle Punkte
dieser Ortslinie?
 Welche besondere Eigenschaft hat die Ortslinie?
Verbesserungsvorschläge
 Kennen die Schüler den Umgang mit dem
Schieberegler?
 Werte vorgeben/einstellen beim Schieberegler: r kann
nicht negativ sein!
 Zu Punkt 6: es gibt nicht immer Schnittpunkte zweier
Kreise z.B. wenn r kleiner als MS1
 Für den Anfang besser elementare Konstruktion:
mehrere Kreise
Inhalt
 Präsentationsmodi nach Bruner
 Ortslinien







Thaleskreis
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Euklid DynaGeo
Entwicklung und Durchführung von Arbeitsaufträgen
Diskussion
Literatur
Diskussion
 Stellt eure Ergebnisse vor und diskutiert diese
innerhalb der Gruppen, in der ihr eure Aufgaben
ausgetauscht habt.
?
Arbeitsauftrag zur Entdeckung der
Winkelhalbierenden & Mittelparallelen
Falte die folgende Karte so, dass der Dornenweg genau
über dem Steinweg liegt. Markiere die Faltkante farbig.
Nun falte so, dass der Dornenweg auf den Querweg
trifft. Färbe auch diese Falz ein.
Welche besondere Eigenschaft hat der Schnittpunkt?
Betrachte dazu zunächst welche Eigenschaft die
Punkte auf den einzelnen Faltkanten haben?
Kannst du die Faltmethode durch eine Konstruktion
ersetzen? Probiere mit DynaGeo aus!
Arbeitsauftrag zur Entdeckung des
Umkreismittelpunktes
 Wie können drei beliebige Geraden zueinander
liegen? Wie viele Schnittpunkte sind möglich?
Zeichne mit DynaGeo dazu drei Geraden und probiere
durch Ziehen an den Geraden aus!
 In einem Dreieck gibt es auch drei besondere Geraden:
die Mittelsenkrechten. Welche Besonderheit kannst
du feststellen?
 Zeichne einen Kreis um den Schnittpunkt, der durch
den Punkt A des Dreiecks geht. Was fällt dir auf? Ist
das immer so?
 Wo liegt der Schnittpunkt in Bezug auf das Dreieck?
Untersuche verschiedene Dreiecksarten!
Literatur
 Lehrplan Gymnasium des Saarlandes Klassenstufe 5
(http://www.saarland.de/dokumente/thema_bildung/MA5Feb2003.pdf)
 Lehrplan Gymnasium des Saarlandes Klassenstufe 6
(http://www.saarland.de/dokumente/thema_bildung/MA6Feb2002.pdf)
 Lehrplan Gymnasium des Saarlandes Klassenstufe 7
(http://www.saarland.de/dokumente/thema_bildung/mathematik7.pdf)
 Lergenmüller, Schmidt: Mathematik Neue Wege 7,
Saarland (2010). Schroedel-Verlag.
 Krauter: Erlebnis Elementargeometrie (2007). SpektrumVerlag.