Einführung in die Differenzialrechnung

mit dem „Freien Fall“ und der
Geschwindigkeit



Denken wir an Geschwindigkeit, so fällt uns
sofort Kilometer pro Stunde ein.
Das ist auch gleich die Formel der
Geschwindigkeit:
𝐺𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 =
𝑊𝑒𝑔𝑠𝑡𝑟𝑒𝑐𝑘𝑒
𝑍𝑒𝑖𝑡
𝑣=
𝑠
𝑡


Na, ganz einfach – man schaut hinaus und
sieht die Kilometersteine, die die Entfernung
(von z.B. Wien) anzeigen.
Dann muss man nur mehr die Zeit zwischen
dem Vorbeifahren an zwei Kilometersteinen
messen
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





Das ergibt zum Beispiel:
Kilometerstein 103 wird um 17:35 gesehen
Kilometerstein 104 wird um 17:36 gesehen
Die Geschwindigkeit ergibt sich daraus als
Bruch:
𝐺𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 =
104−103
17:36−17:35
Wie viel ist das in km/h ?
>
=
1
1
𝑘𝑚/𝑚𝑖𝑛
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

Das ergibt zum Beispiel:
Kilometerstein 103 wird um 17:35 gesehen
Kilometerstein 104 wird um 17:36 gesehen
Die Geschwindigkeit ergibt sich daraus als
Bruch:
𝐺𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 =
104−103
17:36−17:35
=
1
1
𝑘𝑚/𝑚𝑖𝑛
Wie viel ist das in km/h ?
60 km/h
zu langsam für die Autobahn!
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

Daraus folgt die Definition der mittleren
Geschwindigkeit – im Zeitintervall [ta; te]
für die Wegabschnitte s(ta) und s(te)
v [ta; te] =
𝑊𝑒𝑔𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧
𝑍𝑒𝑖𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧
=
𝑠 𝑡𝑒 −𝑠(𝑡𝑎 )
𝑡𝑒 −𝑡𝑎

eines Steins wird mit folgender Tabelle
gegeben:
Zeit Wegstrecke
1s
2s
3s
4s
5s
5m
20 m
45 m
80 m
125 m

eines Steins wird mit folgender Tabelle
gegeben:
Zeit Wegstrecke
1s
2s
3s
4s
5s

5m
20 m
45 m
80 m
125 m
Wie kann man eine Formel für die Wegstrecke
aufstellen?

eines Steins wird mit folgender Tabelle
gegeben:
Zeit Wegstrecke
1s
2s
3s
4s
5s


5m
20 m
45 m
80 m
125 m
Wie kann man eine Formel für die Wegstrecke
aufstellen?
Dazu dividieren wir die Zahlen der Wegstrecke durch 5

eines Steins wird mit folgender Tabelle
gegeben:
Zeit Wegstrecke durch 5
1s
2s
3s
4s
5s


5m
20 m
45 m
80 m
125 m
1
4
9
16
25
Wie kann man eine Formel für die Wegstrecke
aufstellen?
Dazu dividieren wir die Zahlen der Wegstrecke durch 5

eines Steins wird mit folgender Tabelle
gegeben:
Zeit Wegstrecke durch 5
1s
2s
3s
4s
5s

5m
20 m
45 m
80 m
125 m
1
4
9
16
25
Nun sieht man, dass die neuen Zahlen die
Quadrate der Zeiten (also t²) sind, daher
ergibt sich die Formel für die Wegstrecke:

eines Steins wird mit folgender Tabelle
gegeben:
Zeit Wegstrecke durch 5
1s
2s
3s
4s
5s

5m
20 m
45 m
80 m
125 m
1
4
9
16
25
Die Formel für die Wegstrecke ist: s(t) = 5*t²


Zeit
Wegstrecke
1s
2s
3s
4s
5s
5m
20 m
45 m
80 m
125 m
Wir wollen die mittlere Geschwindigkeit im
Zeitintervall [2;4] bestimmen.
Dazu müssen wir die Wegdifferenz durch die
Zeitdifferenz dividieren:
Zeit
1s
2s
3s
4s
5s


Wegstrecke durch 5
5m
20 m
45 m
80 m
125 m
1
4
9
16
25
Wir wollen die mittlere Geschwindigkeit im
Zeitintervall [2;4] bestimmen.
Dazu müssen wir die Wegdifferenz durch die
Zeitdifferenz dividieren:
𝑠 4 − 𝑠(2)
80 − 20
60
𝑣 2; 4 =
=
=
= 30 𝑚/𝑠
4−2
4−2
2


𝑣 2; 4 =
𝑠 4 −𝑠(2)
4−2
=
80−20
4−2
=
60
2
= 30 𝑚/𝑠
Dazu ersetzen wir nur die konkreten Zahlen für die Zeit
(2 und 4) durch die Buchstaben a und e (für Anfangszeit
und Endzeit)



𝑣 2; 4 =
𝑠 4 −𝑠(2)
4−2
=
80−20
4−2
=
60
2
= 30 𝑚/𝑠
Dazu ersetzen wir nur die konkreten Zahlen für die Zeit
(2 und 4) durch die Buchstaben a und e (für Anfangszeit
und Endzeit)
Und außerdem die Strecken durch die Formel s(t) = 5*t²




𝑣 2; 4 =
𝑠 4 −𝑠(2)
4−2
=
80−20
4−2
=
60
2
= 30 𝑚/𝑠
Dazu ersetzen wir nur die konkreten Zahlen für die Zeit
(2 und 4) durch die Buchstaben a und e (für Anfangszeit
und Endzeit)
Und außerdem die Strecken durch die Formel s(t) = 5*t²
𝑣 𝑎; 𝑒 =
𝑠 𝑒 −𝑠(𝑎)
𝑒−𝑎
=
5∗𝑒 2 −5∗𝑎²
𝑒−𝑎




𝑣 2; 4 =
𝑠 4 −𝑠(2)
4−2
=
80−20
4−2
=
60
2
= 30 𝑚/𝑠
Dazu ersetzen wir nur die konkreten Zahlen für die Zeit
(2 und 4) durch die Buchstaben a und e (für Anfangszeit
und Endzeit)
Und außerdem die Strecken durch die Formel s(t) = 5*t²
𝑣 𝑎; 𝑒 =
𝑠 𝑒 −𝑠(𝑎)
𝑒−𝑎
=
5∗𝑒 2 −5∗𝑎²
𝑒−𝑎
Wie können wir das noch vereinfachen?

𝑣 𝑎; 𝑒 =
𝑠 𝑒 −𝑠(𝑎)
𝑒−𝑎
=
5∗𝑒 2 −5∗𝑎²
𝑒−𝑎

𝑣 𝑎; 𝑒 =
𝑠 𝑒 −𝑠(𝑎)
𝑒−𝑎
=
5∗𝑒 2 −5∗𝑎²
𝑒−𝑎
Dazu werden wir 5 herausheben
5 ∗ (𝑒 2 − 𝑎2 )
𝑣 𝑎; 𝑒 =
𝑒−𝑎

𝑣 𝑎; 𝑒 =
𝑠 𝑒 −𝑠(𝑎)
𝑒−𝑎
=
5∗𝑒 2 −5∗𝑎²
𝑒−𝑎
Dazu werden wir 5 herausheben
5 ∗ (𝑒 2 − 𝑎2 ) 5 ∗ 𝑒 − 𝑎 ∗ (𝑒 + 𝑎)
𝑣 𝑎; 𝑒 =
=
𝑒−𝑎
(𝑒 − 𝑎)
und die Binomische Formel benutzen.

𝑣 𝑎; 𝑒 =
𝑠 𝑒 −𝑠(𝑎)
𝑒−𝑎
=
5∗𝑒 2 −5∗𝑎²
𝑒−𝑎
Dazu werden wir 5 herausheben
5 ∗ (𝑒 2 − 𝑎2 ) 5 ∗ 𝑒 − 𝑎 ∗ (𝑒 + 𝑎)
𝑣 𝑎; 𝑒 =
=
𝑒−𝑎
(𝑒 − 𝑎)
und die Binomische Formel benutzen.
Und dann kürzen:
𝑣 𝑎; 𝑒 = 5*(e+a)


Mit der Formel der mittleren Geschwindigkeit
 𝑣 𝑎; 𝑒 = 5*(e+a)
können wir nun auch die momentane
Geschwindigkeit berechnen.



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Mit der Formel der mittleren Geschwindigkeit
 𝑣 𝑎; 𝑒 = 5*(e+a)
können wir nun auch die momentane
Geschwindigkeit berechnen.
Dazu brauchen wir nur mehr den Wert des
Endzeitpunktes e immer näher an den
Anfangszeitpunkt a annähern
(in der Mathematik ist das der LIMES=Grenzwert)





Mit der Formel der mittleren Geschwindigkeit
 𝑣 𝑎; 𝑒 = 5*(e+a)
können wir nun auch die momentane
Geschwindigkeit berechnen.
Dazu brauchen wir nur mehr den Wert des
Endzeitpunktes e immer näher an den
Anfangszeitpunkt a annähern
(in der Mathematik ist das der LIMES=Grenzwert)
𝑣 𝑎 = lim 5 ∗ 𝑒 + 𝑎 = 5 ∗ 𝑎 + 𝑎 = 10 𝑎
𝑒→𝑎


𝑣 𝑎 =10 a
ist die Formel für die momentane
Fallgeschwindigkeit zum Zeitpunkt a





𝑣 𝑎 =10 a
ist die Formel für die momentane
Fallgeschwindigkeit zum Zeitpunkt a
Berechnet man damit die Geschwindigkeit des
fallenden Steins nach 2 Sekunden, so ergibt sich
v(2) = 10∙2 = 20 m/s
Mit 3,6 multipliziert ergibt das v(2) = 72 km/h


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𝑣 𝑎 =10 a
ist die Formel für die momentane
Fallgeschwindigkeit zum Zeitpunkt a
Berechnet man damit die Geschwindigkeit des
fallenden Steins nach 2 Sekunden, so ergibt sich
v(2) = 10∙2 = 20 m/s
Mit 3,6 multipliziert ergibt das v(2) = 72 km/h
Dasselbe für die Zeit t=4 ergibt
v(4) = 10∙4 = 40 m/s
=
1440 km/h


Wir haben aus der Formel der Fallbewegung
s(t) = 5*t² die Geschwindigkeit v(t) = 10*t
hergeleitet.
Können wir das jetzt auch für andere Formeln
machen?


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Wir haben aus der Formel der Fallbewegung
s(t) = 5*t² die Geschwindigkeit v(t) = 10*t
hergeleitet.
Können wir das jetzt auch für andere Formeln
machen?
Ja – dazu machen wir eine Tabelle:
Typ
Wegfunktion Geschwindigkeit
Stehen in 3m Entfernung
s(t) = 3
v(t) = 0
Gehen mit 2 m/s
s(t) = 2t
v(t) = 2
Fallen
s(t) = 5t²
v(t) = 10t
Beschleunigen
s(t) = t³
v(t) = 3t²
Allgemein
s(t) = a*tn
v(t) = a*n*tn−1



Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf
allgemeine Funktionen erweitern:
Dann sind die Funktionen
f(x) = x²





Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf
allgemeine Funktionen erweitern:
Dann sind die Funktionen
f(x) = x²
und die „Geschwindigkeiten“
f‘(x) = 2x






Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf
allgemeine Funktionen erweitern:
Dann sind die Funktionen
f(x) = x²
und die „Geschwindigkeiten“
f‘(x) = 2x
Und heißen: momentane Änderungsrate







Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf
allgemeine Funktionen erweitern:
Dann sind die Funktionen
f(x) = x²
und die „Geschwindigkeiten“
f‘(x) = 2x
Und heißen: momentane Änderungsrate
oder: 1.Ableitung


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




Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf
allgemeine Funktionen erweitern:
Dann sind die Funktionen
f(x) = x²
und die „Geschwindigkeiten“
f‘(x) = 2x
Und heißen: momentane Änderungsrate
oder: 1.Ableitung
oder: Differenzialquotient
𝑓 𝑒 −𝑓(𝑎)
lim
𝑒−𝑎
𝑒→𝑎

Dann kommen die Ableitungsregeln

Dann kommen die Ableitungsregeln

Und die grafische Betrachtung (Steigung)

Dann kommen die Ableitungsregeln

Und die grafische Betrachtung (Steigung)


Und viele viele Beispiele und Anwendungen
(Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben,
Wirtschaftsfunktionen, physikalische…)

Dann kommen die Ableitungsregeln

Und die grafische Betrachtung (Steigung)

Und viele viele Beispiele und Anwendungen
(Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben,
Wirtschaftsfunktionen, physikalische…)

UND DAS WAR ES!

(Liebe Grüße von Manfred)