Vektorrechnung 6. Klasse

Vektorrechnung (in R² und R³) – 6. Klasse AHS:
Folgendes sollten Sie – wenn nicht anders angegeben in der Ebene und im Raum – können:
-
Das vektorielle Produkt zwischen zwei Vektoren berechnen können (dieses heißt so,
weil das Ergebnis dieses Produkts ein Vektor ist) – in R³
-
Ebene aufstellen können: in der Parameterform und in der Normalvektorform (=
parameterfreie Form) – in R³
-
Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene bestimmen können – in R³
-
Die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen bestimmen können – in R³
-
Die Lagebeziehung zwischen drei Ebenen bestimmen können – in R³
-
Den Winkel zwischen zwei Vektoren bzw. zwei Geraden bzw. zwischen Gerade und
Ebene bzw. zwischen zwei Ebenen bestimmen können
-
Die vektorielle Projektion berechnen können
-
Den Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck berechnen können
-
Das Volumen von Pyramiden und Parallelepiped berechnen können – in R³
-
Den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen können
-
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen können– in R³
-
Den kleinsten Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen können – in R³
-
Geometrische Anwendungsbeispiele lösen können!
Das vektorielle Produkt zwischen zwei Vektoren berechnen können – in R³
Das skalare Produkt zwischen zwei Vektoren haben wir bereits beim 5.-Klasse-Stoff kennen
gelernt. Nun lernen wir das vektorielle Produkt zwischen zwei Vektoren kennen. Dieses heißt
so, weil das Ergebnis dieses Produkts ein Vektor ist! Manche sprechen auch von
Kreuzprodukt.
 bx 
 ax 
 
 
Die Formel für das vektorielle Produkt lautet: Seien a   a y  und b   b y  , so ist
 
 
 bz 
 az 

 a x   b x   a y .bz  a z .b y

    
a x b =  a y  x  b y  =   (a x .bz  a z .bx )  Die Formel wirkt kompliziert, aber in Worten

    
 a z   b z   a x .b y  a y .bx

lässt sie sich einfach merken. Um die erste Koordinate des Vektors zu erhalten, halten Sie
zunächst die 1. Zeile zu und rechnen Sie dann das „Kreuzprodukt“ aus 2. und 3. Zeile. Um die
zweite Koordinate des Vektors zu erhalten, halten Sie die 2. Zeile zu und rechnen Sie dann
das „Kreuzprodukt“ aus 1. und 3. Zeile. Nun setzen Sie noch ein MINUS vor das Ergebnis.
Um die dritte Koordinate des Vektors zu erhalten, halten Sie die 3. Zeile zu und rechnen Sie
dann das „Kreuzprodukt“ aus 1. und 2. Zeile.
Beispiel: A(-3/1/2), B(-1/0/4), C(2/5/2)
Ges.: AB x AC
Zunächst stelle ich die beiden Vektoren auf und dann berechne ich mittels Formel das
vektorielle Produkt.
 2   5    1.0  2.4    8 
  
    
AB x AC =   1 x  4  =   (2.0  2.5)   10 
 2   0   2.4  (1).5  13 
  
    
  8
 
Wenn Sie nun das Ergebnis 10  jeweils mit den beiden Vektoren AB und AC skalar
13 
 
multiplizieren, werden Sie sehen, dass das Skalarprodukt jeweils 0 ist.
  8  2 
   
10  .   1 = -16 – 10 + 26 = 0
13   2 
   
  8 5 
   
10  .  4  = -40 + 40 + 0 = 0
13   0 
   
Was bedeutet dass? Das heißt, dass der – über das vektorielle Produkt berechnete Vektor –
normal auf die beiden Vektoren besteht, aus denen er berechnet wurde.
WICHTIG: Allgemein gilt, dass der Vektor, der aus dem Vektorprodukt zweier Vektoren
berechnet wird, ein Normalvektor auf diese beiden Vektoren ist.
na x b
Dieses Wissen können wir im nächsten Unterkapitel gut gebrauchen.
Ebene aufstellen können: in der Parameterform und in der Normalvektorform (= parameterfreie Form) – in R³
Eine Ebene  im Raum ist durch einen Punkt P und zwei
Richtungsvektoren a und b bestimmt (die Vektoren dürfen nicht
parallel sein).
Die Gleichung der Ebene enthält zwei Parameter, z.B. s und t.
: X  P  s.a  t.b
Diese Form der Ebenengleichung wird
Parameterform genannt.
Beispiel: Stellen Sie die Gleichung der Ebene  durch die Punkte P(1/1/3), Q(2/2/-2) und
R(4/1/-3) in Paramterform auf!
1 
 
PQ  1 
  5
 
3 
 
PR   0 
  6
 
1  1 
3 
   
 
 : X  1   t.1   s. 0 
 3   5 
  6
   
 
Wenn man die Gleichung parameterfrei macht, erhält man die Normalvektorform der
Ebenengleichung.
In diesem Beispiel ginge das so:
x = 1 + t + 3s | ·2
y=1+t
z = 3 – 5t – 6s
2x + z = 5 – 3t
y=1+ t
| ·3
Ich multipliziere die 1. Gleichung mit 2 und
addiere die 3. Gleichung, damit das s verschwindet 
Nun schreibe ich die 2. Gleichung darunter,
multipliziere diese mit 3 und addiere 
: 2x + 3y + z = 8
Dies ist die Normalvektorform der Ebene. Warum diese Darstellung der
Ebene Normalvektorform heißt, klärt sich aus dem vorigen Unterkapitel.
Um die Normalvektorform der Ebene zu bekommen, hätten wir den Normalvektor auch
mittels des vektoriellen Produkts der beiden gegebenen Richtungsvektoren berechnen können.
Als nächstes wird der berechnete Normalvektor und ein Punkt P der Ebene, den wir kennen,
in die Normalvektorform der Ebene : n. X  n.P eingesetzt und so erhalten wir direkt die
Ebenengleichung.
Ich rechne diese zweite Variante hier vor:
1   3    6 
     
PQ x PR = 1  x  0  =   9  Nun habe ich den Normalvektor der Ebene erhalten.
  5   6   3
     
Bevor ich ihn in die Ebenengleichung einsetze, darf ich ihn noch „verschönern“ 
  6  2
   
  9  ||  3   : 2x + 3y + z = ??
  3  1 
   
Um die Zahl recht zu erhalten, setze ich einen gegebenen Punkt der Ebene, hier z.B. P(1/1/3)
ein  : 2x + 3y + z = 2.1 + 3.1 + 1.3  : 2x + 3y + z = 8 Wie Sie sehen, erhalten wir das
gleiche Ergebnis. Sie können also aus der Parameterform die Normalvektorform der Ebene
über Gleichungssystemlösen berechnen oder mittels vektoriellem Produkt. Wählen Sie die
Variante, die Ihnen lieber ist.
Versuchen Sie es doch mit folgendem Beispiel selbst:
Gegeben: A(-1/0/2), B(-3/0/4), C(2/2/2)
Gesucht: Gleichung der Ebene durch A, B und C in Parameter- und in Normalvektorform
Hier kommen Sie zur Lösung.
Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene bestimmen können – in R³
Im Raum können eine Gerade und eine Ebene einander schneiden, sie können parallel liegen
oder die Gerade kann in der Ebene liegen.
Wie kann dies rechnerisch nachgewiesen werden? Dazu drei Beispiele:
5  3 
   
a) Gesucht ist die Lagebeziehung zwischen g: X    9   t.  5  und : 2x – 3y + 7z = 2
15   7 
   
Wir spalten g auf und setzen in  ein  2.(5 + 3t) – 3.(-9 – 5t) + 7.(15 + 7t) = 2
Wir lösen die Gleichung und berechnen t  10 + 6t +27 + 15t + 105 + 49t = 2  t=-2
Nun wissen wir bereits, dass die Gerade und die Ebene einander schneiden. Um S zu
berechnen, setzen wir in die Geradengleichung t=-2 ein  S(-1/1/1)
 0    2
   
b) Gesucht ist die Lagebeziehung zwischen g: X    3   t.1  und : 2x – 3y + 7z = 2
  1  1 
   
Ich gehe wie oben vor  2.(0 – 2t) -3.(-3 + t) + 7.(-1 + t) = 2  -4t + 9 – 3t -7 + 7t = 2
Da hier der Parameter t weg fällt, weiß ich schon, dass nur mehr in Frage kommt, dass die
Gerade in der Ebene liegt oder, dass Gerade und Ebene parallel liegen. Wenn ich – wie bei
diesem Beispiel – beim Lösen der Gleichung eine wahre Aussage erhalte (hier: 2 = 2), weiß
ich, dass die Gerade in der Ebene liegt. Wenn ich eine f. A. erhalten hätte, hätte ich gewusst,
dass die Ebene und die Gerade parallel sind.
2 
5 
 
 
c) Gesucht ist die Lagebeziehung zwischen g: X  1   c.  1  und der Ebene
  3
  2
 
 
4  7 
3
   
 
: X    1  t.1   s.1 
 0    1
 0
   
 
Im Unterschied zu den zwei Beispielen zuvor, ist nun die Ebene in der Parameterform
gegeben. Nun gibt es 2 Möglichkeiten, dass Beispiel zu lösen:
1) Ich könnte die Geraden- und die Ebenengleichung „gleich setzen“ und zeilenweise
aufspalten. Das führt zu einem Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten
(hier: c, t und s). Wenn das Lösen des Gleichungssystems zu einer falschen Aussage führt,
weiß ich, dass die Gerade und die Ebene parallel sind. Wenn das Lösen des Gleichungssystems zu einer w. A. führt, weiß ich, dass die Gerade und die Ebene zusammen fallen.
Wenn ich für meine Parameter Zahlen erhalte, kann ich mir den Schnittpunkt ausrechnen.
2) Ich bevorzuge die Variante, die Ebene erst parameterfrei zu machen und dann mit der
Geraden zu schneiden. Zum Parameterfreimachen der Ebene berechne ich den
Normalvektor und setze den Punkt der Ebene (hier (4/-1/0)) ein, um die
Normalvektorform der Ebene zu erhalten.
 7   3  1 
     
n  1  x1     3   : x – 3y + 4z = 1.4 -3.(-1) + 4.0  : x – 3y + 4z = 7
  1  0   4 
     
Als nächstes schneide ich die Gerade und die Ebene wie in den vorigen zwei Beispielen
 (2 + 5c) -3.(1 – c) + 4.(-3 – 2c) = 7  -13 = 7 Mein Parameter c ist weggefallen und
ich habe eine f. A. erhalten  Die Ebene und die Gerade sind parallel.
Beispiele zum Selberrechnen:
1) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden und der Ebene:
 1  8
   
g : X   3   t. 4   : x  6 y  18 z  65
  1  1 
   
2) Die Gerade g hat welche Lage zur gegebenen Ebene ?
1 
 2
1  1 
1 
 
 
   
 
g: X    3   c. 2  : X    3   t.1   s.1 
2 
1 
5   0
  5
 
 
   
 
3) Die Gerade g hat welche Lage zur gegebenen Ebene ?
 2
3 
 
 
g: X   0   s. 2  : y + z = 9
7
  2
 
 
Hier kommen Sie zu den Lösungen.
Die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen bestimmen können – in R³
Zwei Ebenen können
a) einander in einer Geraden schneiden
b) zusammen fallen
c) parallel liegen
Wenn beide Ebenen in der Normalvektorform gegeben sind, ist leicht zu sehen, wie sie
zueinander liegen:
: 5x + 3y – 4z = 7 und : -10x – 6y + 8z = 3 liegen parallel zueinander (die Normalvektoren
sind Vielfache voneinander, die Zahlen auf der rechten Seite sind aber nicht das gleiche
Vielfache).
: 5x + 3y – 4z = 7 und : -10x – 6y + 8z = -14 fallen zusammen, da sie auf der rechten und
der linken Seite das gleiche Vielfache voneinander sind (nämlich das – 2-fache).
: 5x + 11y – 4z = 7 und : x + 2y – 3z = 2 schneiden einander. Wie kann die Schnittgerade
bestimmt werden? Zunächst eliminiere ich eine Variable, z.B. x:
5x + 11y – 4z = 7
x + 2y – 3z = 2 | .5 und subtrahiere 
y +11z = -3
Nun setze ich eine Variable (hier z.B. z) gleich einem Parameter (z.B. t) und rechne die
andere Variable aus.
z = t  y = -3 – 11t
Nun setze ich in die 2. Gleichung ein (ist hier besser, ich kann aber auch die 1. Gleichung
nehmen) und berechne x
 x + 2.(-3 – 11t) – 3.t = 2  x = 2 + 6 +22t + 3t  x = 8 + 25t
Nun schreibe ich die drei Gleichungen untereinander
x = 8 + 25t Darauf achten, dass die Zahlen mit bzw. ohne t untereinander stehen !
y = -3 – 11t
z=
t Das schaut doch sehr nach der Parameterdarstellung einer Geraden aus
 8   25 
  

 g: X    3   t.  11 … das ist nun die gesuchte Schnittgerade
 0  1 
  

Aber was tue ich, wenn eine Ebene oder beide Ebenen in Parameterform gegeben sind?
Ich würde beide in Normalvektorform bringen (mit Hilfe des vektoriellen Produkts) und dann
so vorgehen wie oben.
Beispiele zum Selberrechnen:
Wie liegen die beiden Ebene zueinander? Berechnen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade:
1) : 2x – 3y + 5z = 0
: x + 2y – z = 7
1  1 
1 
   
 
2) : X    3   t.1   s.1 
5   0
  5
   
 
: x – y = 3
3) : x – 5y + 2z = 5
: -3x + 15y – 6z = -15
Hier kommen Sie zu den Lösungen.
Die Lagebeziehung zwischen drei Ebenen bestimmen können – in R³
Hier gibt es insgesamt acht Möglichkeiten. Die ersten fünf sind leicht zu erkennen (dafür
müssen die Ebenen in der Normalvektorform gegeben sein):
a) Die drei Ebenen sind ident. Ist daraus ersichtlich, dass ihre Gleichungen proportional sind
(also Vielfache voneinander).
b) Zwei Ebenen sind ident, die dritte ist parallel dazu. Ist daraus ersichtlich, dass zwei
Gleichungen proportional sind, bei der 3. Gleichung ist nur der Normalvektor
proportional.
c) Alle drei Ebenen sind parallel. Ist daraus ersichtlich, dass nur die Normalvektoren
proportional sind.
d) Zwei Ebenen sind identisch (d.h.: ihre Gleichungen sind proportional), die dritte Ebene
schneidet die „beiden“ anderen Ebenen in einer Geraden. D.h., wir haben es eigentlich mit
dem Schnitt zweier Ebenen zu tun. Das ergibt eine Gerade und wie diese berechnet wird,
haben wir im vorigen Unterkapitel behandelt.
e) Zwei Ebenen sind parallel (d.h.: nur ihre Normalvektoren sind proportional), die dritte
Ebene schneidet die beiden anderen Ebenen jeweils in einer Geraden. Berechnung der
Schnittgeraden siehe voriges Unterkapitel.
3 Fälle lassen sich nicht direkt aus der Angabe der Ebenengleichungen erkennen:
f) Die drei Ebenen schneiden einander in einem Schnittpunkt S. Das entspricht dem Lösen
von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Wird gleich vorgerechnet.
g) Die drei Ebenen schneiden einander in einer Geraden. Wird gleich vorgerechnet.
h) Je zwei Ebenen schneiden einander in einer Geraden. Beim Lösen des Gleichungssystems
kommt es zu einer falschen Aussage. Um die jeweiligen Schnittgeraden zu bekommen,
würden wir jeweils 2 Ebenen schneiden und dabei wie im vorigen Unterkapitel vorgehen.
Gesucht ist die Lagebeziehung der drei Ebenen.
1: x – 3y + z = 7
2: 2x
-z = 11
3:
4y – 3z = 1
Bei den folgenden Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander
sind  es kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln. Ich bringe, indem ich die 1. Gleichung
mal 2 nehme und davon die 2. Gleichung subtrahiere, die Variable x zum Verschwinden:
1: 2x – 6y + 2z = 14
2: 2x
-z = 11
– 6y + 3z = 3
Nun „verquicke“ ich diese Gleichung mit der noch nicht verwendeten 3. Gleichung und
eliminiere z:
3:
– 6y + 3z = 3
4y – 3z = 1
-2y = 4  y = -2
Aus 3 berechne ich z:
4.(-2) – 3z = 1  z = -3
Aus 2 berechne ich x:
2x –(-3) = 11  x = 4
Ich weiß, dass die drei Ebenen einander in einem Punkt S(4/-2/-3) schneiden.
Gesucht ist die Lagebeziehung der drei Ebenen.
1:
x – 8y – 14z = 3
2: 2x – 6y – 3z = 1
3: -3x + 4y – 8z = 1
Bei den folgenden Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander
sind  es kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln. Ich bringe, indem ich die 1. Gleichung
mal 2 nehme und davon die 2. Gleichung subtrahiere, die Variable x zum Verschwinden:
1: 2x – 16y – 28z = 6
2: 2x – 6y – 3z = 1
-10y – 25z = 5
Indem ich die 2. Gleichung mit 3 multipliziere und die 3. Gleichung mit 2 multipliziere und
die beiden neuen Gleichungen addiere, eliminiere ich ebenfalls x.
2: 6x – 18y – 9z = 3
3: -6x + 8y – 16z = 2
-10y – 25z = 5 Damit habe ich dieselbe Gleichung wie oben erhalten 
Die drei Ebenen schneiden einander daher in einer Geraden. Diese berechne ich wieder,
indem ich in -10y – 25z = 5 z.B. z = t setze  y = -0,5 – 2,5t
Eingesetz in 1: 2x – 16y – 28z = 6 ergibt das 2x – 16.(-0,5 – 2,5t) – 28. t = 6 
x = -1 – 6t
Untereinander geschrieben lässt sich die Geradengleichung leicht ablesen:
x = -1 – 6t
y = -0,5 – 2,5t
z=
t
 1    6 

 

 Schnittgerade g: X    0,5   t.  2,5 
 0  1


 

Nun wieder ein paar Beispiele zum Selberrechnen: Bestimmen Sie die Lagebeziehung der
folgenden Ebenen:
1)
1:
3y – z = 7
2: 2x – 3y + 2z = -21
3: 3x + y
= -21
2)
1: x + y + z = 1
2: 17x + y – 7z = 9
3: 4x + 2y + z = 3
3)
1: x + 2y – z = 2
2: 3x + 6y – 3z = 6
3: -x – 2y + z = 2
4)
1: 2x + 3y – 4z = -5
2: 5x – y + 3z = 7
3: x – 7y + 11z = 9
Hier kommen Sie zu den Lösungen.
Den Winkel zwischen zwei Vektoren bzw. zwei Geraden bzw. zwischen Gerade und Ebene
bzw. zwischen zwei Ebenen bestimmen können
Die Formel für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren lautet:
 
cos  
a.b


| a |.| b |




a . b bedeutet, dass Sie die beiden Vektoren skalar multiplizieren sollen, | a | . | b | bedeutet,


dass Sie zunächst den Betrag von a berechnen sollen, dann den Betrag von b (ergibt jedes
Mal eine Zahl) und diese beiden Zahlen miteinander multiplizieren.


Wollen Sie den Winkel zwischen zwei Geraden berechnen, müssen Sie für a bzw. für b die
Richtungs- (oder die Normal)-Vektoren einsetzen.
Vorgerechnetes Beispiel:
  2
 5
Gesucht ist der Winkel zwischen der Geraden g: X     s.  und der Geraden h:
3 
 3
1    3 
X     t.  .
  2  2 


Berechnung: Setzen Sie für a und b die beiden Richtungsvektoren der Geraden ein.
 5    3
 . 
5.(3)  3.2
9
 3  2 
cos  


 0,428086345  =115,35° oder
5²  3² . (3)²  2²
34 . 13
 5    3
  .  
 3  2 
als spitzer Winkel (180°-115,35°): 64,65°.
Auf der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/analygeo/index.htm „Rechner
zur analytischen Geometrie des Raumes“ gibt es die Möglichkeit, Winkel zwischen Vektoren
berechnen zu lassen. Wenn Sie einen Vektor in R² gegeben haben, geben Sie dort als die 3.
Koordinate jeweils 0 ein. Probieren Sie es doch mit dem bereits durchgerechneten Beispiel!
Wollen Sie den Winkel zwischen Gerade und Ebene berechnen, dann nehmen Sie den



Richtungsvektor a der Geraden und statt b den Normalvektor n der Ebene und ziehen Sie
den Winkel, den Sie erhalten von 90° ab.
Vorgerechnetes Beispiel:
Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene : 4x + y - 6z = 8 und der Gerade g:
1   0 
   
X    2   t.  3 
3   2 
   
4  0 
  
1 .  3 
  6  2 
cos       
4  0 
   
1  .   3 
  6  2 
   
4.0  1.(3)  (6).2
4²  1²  (6)² . 0²  (3)²  2²

 15
53. 13
 0,57  =124,85°
Der gesucht Winkel ist ja nicht jener zwischen Richtungsvektor der Geraden und
Normalvektor der Ebene, sondern zwischen Ebene und Gerade  Vom berechneten Winkel
müssen noch 90° subtrahiert werden  Der gesuchte Winkel beträgt ca. 34,85°


Wollen Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen erhalten, setzen Sie für a bzw. für b die
Normalvektoren der Ebenen ein.
Vorgerechnetes Beispiel:
Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene : 4x + y - 6z = 8 und der Ebene :
1   0 
1 
   
 
X    2   t.  3   s. 2 
3   2 
3 
   
 
Für die Formel brauchen wir die die beiden Normalvektoren der Ebene, d.h. aus den beiden
Richtungsvektoren der 2. Ebene berechne ich (mittels vektoriellem Produkt) den
Normalvektor 
 0  1    3.3  2.2    13 
    
 

  3  x  2  =   (0.3  2.1)    2 
 2   3   0.2  (3).1   3 
    
 

Nun berechne ich mittels Formel den Winkel zwischen den beiden Normalvektoren:
cos  
 4    13 
 

1 . 2 
  6 3 
 

 4    13 
  

1  .  2 
  6 3 
  


4.(13)  1.2  (6).3
4²  1²  (6)² . (13)²  2²  3²

 68
53. 182
 0,692 
133,82° bzw. als spitzer Winkel (180° - 133,82°)  46,18°
Die vektorielle Projektion berechnen können
Formel für die Projektion des Vektors b auf a (hier b1 genannt):
 
b1 
Der Vektor im Nenner, von dem der
Betrag zu bestimmen ist, ist jener Vektor,
auf den projiziert wird!
a .b

|a|
b
b1
a
Vorgerechnetes Beispiel:
Geg.: A(2/1/-3), B(5/2/1), C(1/3/-2). Gesucht ist die Normalprojektion des Vektors AB auf
AC !
  1
 
AC   2 
1 
 
3 
 
AB = 1 
 4
 
a1=
 3    1
  
1 . 2 
 4  1 
  
6

3 2 4
6
AC  6

3
6
 1,22
D.h.: Eine Normalprojektion des Vektors AB auf den Vektor AC hätte die Länge 1,22.
Den Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck berechnen können
Eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms lautet:
AParallelogramm  AB  AD
D.h. : Die beiden Vektoren AB und AD werden vektoriell multipliziert. Vom Ergebnis,
einem Vektor, wird der Betrag bestimmt (= Wurzel aus der Summe der Quadrate der
Koordinaten).
Den Flächeninhalt des Dreiecks erhält man, wenn man den Flächeninhalt des Parallelogramms halbiert. Die Formel würde daher lauten:
1
ADreieck  . AB  AC
2
Vorgerechnetes Beispiel:
Gegeben: A(2/1/-3), B(5/2/1), C(1/3/-2). Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
 3    1   7 
     
ABx AC  1  x 2     7 
 4  1   7 
     

1
1
1
ADreieck  . AB  AC = . (7)²  (7)²  7²  . 147  6,06
2
2
2
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ca. 6,06 AE.
Das Volumen von Pyramiden und Parallelepiped berechnen können – in R³
Formel zur Berechnung des Volumens
a) des Parallelepipedes (denken Sie an einen Quader, nur dass die Flächen Parallelogramme
sind und der Körper schief sein darf):
V  c.(a  b) wobei:
a  AB, b  AD, c  AE
a und b werden vektoriell multipliziert. Das Ergebnis (= ein Vektor) wird mit c skalar
mulitpliziert. Dadurch erhalten Sie eine Zahl. Wenn diese positiv ist, sind Sie fertig. Wenn die
Zahl negativ ist, müssen Sie sie noch positiv machen (das bedeuten die Betragstriche), da eine
Länge nicht negativ sein kann.
b) der Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche:
1
V  . c.(a  b) wobei:
3
a  AB, b  AD, c  AS
c) des Tetraeders (besteht aus 4 Dreiecken):
1
V  . c.(a  b) wobei:
6
a  AB, b  AD, c  AS
Vorgerechnetes Beispiel:
Pyramide mit Grundfläche = Parallelogramm A(-5/2/3), B(-1/-2/1), C(3/5/0), D,
S(13/0,5/20,5). Gesucht ist das Volumen der Pyramide.
4 
4 
18 
 
 


a  AB    4  b  AD  BC   7  c  AS    1,5 
  1
  2
17,5 
 
 


 4   4  18 
     
axb    4  x 7     4  
  2    1  44 
     
18  18 
  1
1 
1
V= .   1,5 .  4   .18.18  (1,5).( 4)  17,5.44  .1100  366,67
3 
3
  3
17,5   44 
Das Volumen der Pyramide beträgt ca. 366,67 VE.
Den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen können
Formel für R²:
d  X 1 P.n0
Hessesche Normalvektorform (kurz HNF)
X1 ist ein Punkt der Geraden, P ist jener Punkt, dessen Abstand von der Geraden ich wissen
will und n0 ist der Einheitsvektor des Normalvektors auf die Gerade
Vorgerechnetes Beispiel:
Geg.: A(4/3), g: y= ½ x + 3
Gesucht ist der Normalabstand des Punktes von der Geraden
Um den Normalvektor der Geraden ablesen zu können, bringe ich sie auf die implizite Form:
1 
½ x –y = -3 bzw. (damit ich mir die Brüche „erspare“) x – 2y = -6  n   
  2
n0 
1  1 1 
.  
. 
1²  (2)²   2 
5   2
1
Für die Formel brauche ich auch einen Punkt der Geraden. X1(0/3) wäre ein möglicher Punkt
(Sie können aber auch jeden anderen Punkt wählen, so lange er auf der Geraden liegt).
Der Punkt, der in der Formel P heißt, ist bei mir A (da ich den Abstand von A von der
Geraden wissen will):
  4
X 1 A   
0 
  4  1 1 
1
1
4
 d=  .
.  
.[( 4).1  0.(2)] 
(4) 
 1,8
5
5
5
 0  5   2
A ist von der Geraden g ca. 1,8 LE entfernt.
Formel für R³:
d  X 1 P . sin 
X1 ist ein Punkt der Geraden, P ist jener Punkt, dessen Abstand von der Geraden ich wissen
will und  kann ich mit Hilfe der Formel
 
cos  
a.b


(s. vorne) berechnen.
| a |.| b |
Vorgerechnetes Beispiel:
Geg: Dreieck A(-1/2/-1), B(0/3/-2), C(-4/2/1)
Gesucht ist die Länge der Höhe hc
Wenn ich die Länge der Höhe hc suche, brauche ich den Abstand des Punkes C von der
  4
 
Geraden durch A und B. Ich brauche daher z.B. BC    1 
3 
 
Außerdem kommt in der Formel der Winkel  vor, in diesem Fall würde ich den Winkel
zwischen BA und BC suchen. Mit der cos  –Formel ergibt sich:
cos  
  1   4 
  
  1.  1 
1   3 
  
3. 26

8
78
 0,9058  
Nun kann ich endlich in die Formel zur Abstandsberechnung einsetzen 
  4
 
d    1  . sin 25,07  16  1  9 . sin 25,07  2,16
3 
 
Die Höhe hc ist also ca. 2,16 LE lang.
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen können – in R³
Formel:
d  X 1 P.n0
Hessesche Normalvektorform (kurz HNF)
X1 ist ein Punkt der Ebene, P ist jener Punkt, dessen Abstand von der Ebene ich wissen will
und n0 ist der Einheitsvektor des Normalvektors auf die Ebene
Vorgerechnetes Beispiel:
Geg: Pyramide A(-1/2/-1), B(0/3/-2), C(4/2/1), S(0/2/3)
Gesucht ist die Länge der Höhe h
Um den Normalvektor der Ebene zu bekommen, bilde ich wieder das vektorielle Produkt von
1   5   2 
     
ABx AC  1  x 0     7   n
  1  2    5 
     
 n0 
2 
2 
 
1  
.  7  
.  7 
2²  (7)²  (5)²  
78  
 5
 5
1
1 
 
Statt X 1 P setze ich in die Formel z.B. AS   0  ein 
 4
 
1 
2 
  1   1.2  0.(7)  4.(5)
18
.  7  

 2,04
h=  0 .
78
78
78
 4
 5
 
 
Die Pyramidenhöhe ist ca. 2,04 LE lang.
Den kleinsten Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen können – in R³
Formel:
d  X 1 X 2 .(a  b) 0
X1 und X2 sind Punkte der beiden Geraden; der Vektor von X1 nach X2 ist zu bilden.
a und b sind Richtungsvektoren der beiden Geraden, die zunächst vektoriell multipliziert
werden. Das Ergebnis (ein Vektor) wird auf die Länge 1 gebracht.
Nun werden die beiden berechneten Vektoren skalar mulitpliziert. Der Betrag steht in diesem
Fall nur, damit das Ergebnis auf jeden Fall positiv ist.
Vorgerechnetes Beispiel:
 2
2 
 0   2
 
 
   
Ges. ist der (kürzeste) Abstand der Geraden g1: X   2   s. 3  und g2: X   0   t. 2  .
1 
  1
  1  3 
 
 
   
  2
 
Ich bilde den Vektor zwischen den beiden Punkten der beiden Geraden X 1 X 2    2  und
  2
 
 2   2  11 
     
berechne das vektorielle Produkt der beiden Richtungsvektoren  3  x 2     8 
  1  3    2 
     
Der normierte Vektor lautet

11 
11 
 
1  
.  8  
.  8 
11²  (8)²  (2)²  
189  
  2
  2
1
Nun setze ich in die Formel ein 
  2
11 
  1    2.11  (2).( 8)  (2).( 2)
2
.  8  

 0,145
d=   2 .
189
189
189
  2
  2
 
 
Der kürzeste Abstand der beiden gegebenen Geraden beträgt ca. 0,145 LE.
Das war jetzt ein langer Teil. Ein paar Beispiele zum Selberrechnen:
 2   6
   
1) Wo und unter welchem Winkel schneidet die Gerade g: X   0   t  2  die Ebene
  5  3 
   
: 3x  12 y  4 z  4
2) Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit A(1/5/-2), B(4/1/4) und C(4/2/2) als Grundfläche und S(3/-3/1) als Spitze. Berechnen Sie
a) die Pyramidenhöhe
b) das Volumen der Pyramide
c) die Koordinaten des Fußpunktes der Höhe (TIPP: stellen Sie die Grundfläche [= Ebene] und
die Höhe [= Gerade] auf und schneiden Sie die beiden!)
d) die Koordinaten des an der Grundfläche gespiegelten Punktes S
e) den Winkel zwischen Grundfläche und Seitenkante AS .
3) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden g: 3x + 2y = 7 und h: 3x + 2y = 5.
Hier kommen Sie zu den Lösungen.
Lernzielüberprüfung „Vektorrechnung 6. Klasse“
Sie haben für die Beispiele 2 ½ Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung
verwenden.
1) Wie liegen die beiden Geraden zueinander? Falls sie einander schneiden, berechnen Sie
den Schnittpunkt; falls sie windschief sind, berechnen Sie den kürzesten Abstand der
beiden Geraden:
1 
3 
1 
6 
 
 
 
 
a) g: X =   4  + t.  3 
h: X =  3  + s.   1 
  5
6 
0
  4
 
 
 
 
5 
4 
6 
4 
 
 
 
 
b) g: X =   2  + t.   1
h: X = 10  + s.  7 
 3
0 
1 
  4
 
 
 
 
c) Welche weiteren Möglichkeiten gibt es, wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen
können ? ______________________________________________________________
2) Die zwei Ebenen 1: 3x – 2y + 5z 0 7 und 2: 2x + 3y – 7z = 1 schneiden einander in einer
Geraden. Geben Sie die Gleichung der Schnittgeraden an.
3) Berechnen Sie den Schnittpunkt der drei Ebenen:
1: 3x – 2y + 4z = 11
2: 2x – y – 3z = -9
3: -x + 3y + 2z = 11
4) A (-1/y/3), B(-2/-2/0), C, D(x/y/1) und S sind die Eckpunkte einer Pyramide mit
rechteckiger Grundfläche ABCD und mit gleich langen Seitenkanten (d.h.: die Spitze
befindet sich direkt über dem Mittelpunkt des Rechtecks), wobei das Rechteck in der
Ebene : 2x – 5y + 6z = d liegt. Die Spitze der Pyramide liegt auf der Geraden g:
1 
3 
 
 
X =   4  + t.  3  .
  5
6 
 
 
a) Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten von A, C, D und S.
b) Welchen Winkel schließt die Grundfläche mit der Seitenfläche ADS ein?
c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
[Hilfe: Falls Sie a) nicht geschafft haben, rechnen Sie b) und c) mit folgenden Angaben
weiter. Es sei A(-1/2/3), B(-2/-2/0), C(4/-2/-2), D(5/2/1) und S(2,5/-2,5/3,5)]
Auswertung:
Bsp. 
1a
1b
1c
2
3
4a
4b
4c
Ges.
Punkte 
4
7
2
4
4
8
4
5
38
Notenschlüssel: Ab 19 Punkten Bestanden
19 – 23 P.: Genügend
24 – 28 P.: Befriedigend
29 – 33 P.: Gut
Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.
34 – 38 P.: Sehr Gut
Lösung zum Beispiel „Ebenengleichung“
Gegeben: A(-1/0/2), B(-3/0/4), C(2/2/2)
Gesucht: Gleichung der Ebene durch A, B und C in Parameter- und in Normalvektorform
  2
 
AB   0  ||
2 
 
  1
 
0 
1 
 
3 
 
AC   2 
0
 
  1   1
3
   
 
 : X   0   t. 0   s. 2  ist die Parameterform der Ebene
 2  1 
0
   
 
Um zur Normalvektorform zu kommen, verwende ich das vektorielle Produkt und die Formel
: n. X  n.P - Sie können aber auch die Ebene „aufspalten“ und die Parameter s und t zum
Verschwinden bringen.
  1  3 
  2
   
 
AB x AC =  0  x  2  =  3   -2x + 3y – 2z = -2 [Die Zahl recht habe ich erhalten,
1   0 
  2
   
 
indem ich einen Punkt der Ebene, z.B. A für x, y und z in die linke Seite der Gleichung
eingesetzt habe  -2.(-1) + 3.0 – 2.2 = -2)
Somit erhalte ich die Normalvektorform der Ebene : -2x + 3y – 2z = -2
Lösungen zu den Beispielen „Lagebeziehung Gerade - Ebene“
1) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden und der Ebene:
 1  8
   
g : X   3   t  4   : x  6 y  18z  65
  1  1 
   
Ich spalte die Gerade auf und setze in die Ebene ein 
1 + 8t + 6.(3 + 4t) – 18.(-1 + t) = 65
1 + 8t + 18 + 24t + 18 – 18t = 65
14 t = 28  t = 2
Nun setze ich t=2 in g ein und erhalte den Schnittpunkt S(17/11/1)
2) Die Gerade g hat welche Lage zur gegebenen Ebene ?
1 
 2
1  1 
1 
 
 
   
 
g: X    3   c. 2  : X    3   t.1   s.1 
2 
1 
5   0
  5
 
 
   
 
Ich mache die Ebene parameterfrei
1  1 
  15    1
   

  
1  x 1  = 15  || 1   : -x + y = -4
10    5 
0  0 
   

  
Nun spalte ich die Gerade auf und setze in die Ebene ein 
-(1 + 2c) + (-3 + 2c) = -4
-1 – 2c -3 + 2c = -4
-4 = -4
w. A.  Die Gerade liegt in der Ebene.
3) Die Gerade g hat welche Lage zur gegebenen Ebene ?
 2
3 
 
 
g: X   0   s. 2  : y + z = 9
7
  2
 
 
Ich spalte die Gerade auf und setze in die Ebene ein 
0 + 2s + 7 – 2s = 9
7=9
f. A.  die Gerade und die Ebene liegen parallel.
Lösungen zu den Beispielen „Lagebeziehung Ebene - Ebene“
1) : 2x – 3y + 5z = 0
: x + 2y – z = 7
Ich eliminiere eine Variable:
: 2x – 3y + 5z = 0
: x + 2y – z = 7
-y + 7z = -14
7z = 7t – 14  z = -2 + t
| .2 und die beiden Zeilen subtrahieren
Ich setze y=t und berechne z 
Ich setze z und y in die 2. Gleichung ein 
x + 2.t – (-2 + t) = 7  x = 5 – t Nun schreibe ich alle drei Gleichungen untereinander 
x=5– t
y=
t
z = -2 + t
Nun kann ich meine Gerade „ablesen“ 
 5    1
   
X   0   t.1  … Schnittgerade
  2  1 
   
1  1 
1 
   
 
2) : X    3   t.1   s.1 
5   0
  5
   
 
: x – y = 3
Ich mache parameterfrei (siehe bei den Lösungen „Lagebeziehung Gerade – Ebene“ das
2. Beispiel)  : -x + y = -4
Wenn ich die beiden Ebenen vergleiche, sehe ich:
: -x + y = -4 | .(-1)
: x – y = 4
: x – y = 3  Die linken Seiten sind gleich, die rechten verschieden  Die beiden
Ebenen sind parallel.
3) : x – 5y + 2z = 5
: -3x + 15y – 6z = -15
 ist das -3fache von   Die beiden Ebenen fallen zusammen (sind identisch).
Lösungen zu den Beispielen „Lagebeziehung 3 Ebenen“
Bestimmen Sie die Lagebeziehung der folgenden Ebenen:
1)
1:
3y – z = 7
2: 2x – 3y + 2z = -21
3: 3x + y
= -21
Bei den Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander sind  es
kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln.
2.1 + 2:
2x + 3y = -7
3.3:
9x + 3y = -63
-7x
= 56  x = -8
3  y = -21 – 3.(-8)  y = 3
1  z = 3.3 – 7  z = 2
Die drei Ebenen schneiden einander in S(-8/3/2).
2)
1: x + y + z = 1
2: 17x + y – 7z = 9
3: 4x + 2y + z = 3
Bei den Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander sind  es
kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln.
1 – 2:
2.2 – 3:
-16x + 8z = -8
30x – 15y = 15
Das kann ich vereinfachen zu 2x – z = 1
Das kann ich vereinfachen zu 2x – z = 1
Da ich zwei identische Gleichungen erhalten habe, weiß ich, dass sich die drei Ebenen in
einer Geraden schneiden. Um diese zu erhalten, setze ich x = t  z = 2t – 1 
y = 1 – t – (2t – 1) = 2 – 3t
Ich schreibe die neuen Gleichungen untereinander 
x=
t
y = 2 – 3t
z = -1 + 2t
 0  1 
   
 X   2   t.  3  … Schnittgerade
  1  2 
   
3)
1: x + 2y – z = 2
2: 3x + 6y – 3z = 6
3: -x – 2y + z = 2
Die Gleichungen der 1. und der 2. Ebene sind proportional, d.h. die Ebenen 1 und 2 sind
identisch. Bei der 3. Ebene ist nur der Normalvektor proportional zu den beiden anderen
Vektoren, nicht aber die ganze Gleichung  Die Ebene 3 ist parallel zu den beiden anderen –
identischen – Ebenen.
4)
1: 2x + 3y – 4z = -5
2: 5x – y + 3z = 7
3: x – 7y + 11z = 9
Bei den Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander sind  es
kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln.
1 – 2.3:
I 17y – 26z = -23
2 – 5.3:
II 34x – 52y = -38
Das kann ich vereinfachen zu 17y – 26z = -19
Wenn ich die I. und die vereinfachte II. Gleichung miteinander vergleiche, sehe ich, dass die
linken Seiten proportional sind, die rechten Seiten aber nicht das entsprechende Vielfache 
die drei Ebenen schneiden einander in drei (parallelen) Schnittgeraden. Diese müsste ich jetzt
noch ausrechnen, falls diese gefragt sind. Wenn nicht, reicht die obige Antwort.
Lösungen zu den Beispielen „Winkel, Abstand, Fläche, Volumen etc.“
 2   6
   
1) Wo und unter welchem Winkel schneidet die Gerade g: X   0   t  2  die Ebene
  5  3 
   
 : 3x + 12y – 4z = -4 ?
Zur Schnittpunktberechnung „spalte ich g auf und setze in  ein“ 
3.(2 + 6t) + 12.(0 + 2t) – 4.(-5 + 3t) = -4
30t = -30
t = -1  Für t in die Gerade -1 einsetzen  S(-4/-2/-8)
 
Für die Winkelberechnung setze ich in die Formel cos  
a.b


ein, wobei a der
| a |.| b |
Richtungsvektor der Geraden ist und statt b der Normalvektor n der Ebene eingesetzt wird
6 3 
  
 2 .12 
3    4
18  24  12 30
  
 cos  
 70,75°


 0,32967
7.13
91
6²  2²  3² . 3²  12²  (4)²
Der gesuchte Winkel ist aber nicht jener zwischen Normalvektor der Ebene und
Richtungsvektor der Geraden, sondern jener der Geraden und der Ebene, daher muss ich
den erhaltenen Winkel noch von 90° abziehen. Der gesuchte Winkel lautet daher 19,25°.
2) Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit A(1/5/-2), B(4/1/4) und C(4/2/2) als Grundfläche und S(3/-3/1) als Spitze. Berechnen Sie
a) die Pyramidenhöhe
Zur Bestimmung der Pyramidenhöhe nehme ich die Formel „Abstand eines Punktes
von einer Ebene“: d  X 1 P.n0
2 
 
Statt X 1 P setze ich AS    8  . Zur Bestimmung des Normalvektors der Ebene
3 
 
3  3   2
     
berechne ich ABx AC    4  x  3    6  = n
6   4  3 
     
 2
 
6
3
 
 2
1 
 n0 =
 . 6 
49 7  
3
 2   2
   1
4  48  9
 35

5
In die Formel eingesetzt ergibt das: h    8 . 6 . 
7
7
3  3 7
  
Die Pyramidenhöhe beträgt 5 LE.
b) das Volumen der Pyramide
Die Formel für eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche (= Tetraeder) lautet:
1
V  . c.(a  b) wobei a  AB, b  AC, c  AS . Bei a) haben wir bereits alles
6
 2   2
1    1
35
 5,83
ausgerechnet, was wir brauchen  V  .   8 . 6   .  35 
6    6
6
3  3
Das Volumen der Pyramide ist daher 5,83 VE groß.
c) die Koordinaten des Fußpunktes der Höhe (TIPP: stellen Sie die Grundfläche [= Ebene] und
die Höhe [= Gerade] auf und schneiden Sie die beiden!)
Die Ebene, in der das Dreieck ABC liegt, lautet: 2x + 6y + 3z = 26 [den Normalvektor
der Ebene habe ich ja in a) schon berechnet, um die Zahl rechts zu bekommen, habe
ich A eingesetzt; ich hätte natürlich auch B oder C nehmen können, da ja alle drei
Punkte in der Ebene liegen]. Die Gerade besteht aus dem Punkt S und der
Normalvektor der Ebene ist gleichzeitig der Richtungsvektor der Geraden, auf der die
3 
 2
 
 
Höhe liegt  h: X    3   s. 6  .
1 
3
 
 
Als nächstes schneide ich die Gerade mit der Ebene 
2.(3 + 2s) + 6.(-3 + 6s) +3.(1 + 3s) = 26
49s = 35  s=
5
 31 9 22 
setze ich in h ein  F  / / 
7
7 7 7 
Hinweis I: Zur Probe könnte ich noch kontrollieren, ob der von mir berechnete
Fußpunkt F wirklich in der Ebene liegt.
Hinweis II: Wenn ich sowieso den Fußpunkt berechnen muss, hätte ich dies als erstes
tun können und die Länge der Höhe nicht mittels der Formel wie in a), sondern indem
ich den Vektor FS aufstellen und die Länge des Vektors berechne.
 10 
 
 7 
 30 
100 900 225
1225 35
FS      h=




 5 Wir erhalten auch hier die
7
49
49
49
49
7


 15 
 
 7 
Länge der Pyramidenhöhe mit 5 LE.
d) die Koordinaten des an der Grundfläche gespiegelten Punktes S
Die an der Ebene gespiegelte Spitze, liegt auf der in die andere Richtung verlängerte
Höhe und zwar in der gleichen Entfernung wie die Spitze von der Ebene entfernt ist
oder m.a.W.: Der Vektor von der Spitze zum Fußpunkt ist der gleiche Vektor wie
jener vom Fuß´punkt zum gespiegelten Punkt  0S *  0 F  SF
 31   10   41 
     
7  7  7 
 9   30   39 
 41 39 37 
0S *           S*  / / 
7 7 7 
7   7   7 
 22   15   37 
     
 7  7   7 
e) den Winkel zwischen Grundfläche und Seitenkante AS .
 
Für die Winkelberechnung setze ich in die Formel cos  
a.b


ein, wobei a der
| a |.| b |
Richtungsvektor der Seitenkante ist und statt b der Normalvektor n der Ebene
eingesetzt wird 
 2   2
  
  8 . 6 
3  3
4  48  9
 35
  
cos  


 0,5698 
2²  (8)²  3² . 2²  6²  3²
77 . 49
77 .7
124,74°
Der gesuchte Winkel ist aber nicht jener zwischen Normalvektor der Ebene und
Richtungsvektor der Geraden, sondern jener der Geraden und der Ebene, daher muss
ich vom erhaltenen Winkel noch 90° abziehen (wenn  ein spitzer Winkel, also
kleiner als 90° wäre, müsste ich 90° minus dem berechneten Winkel rechnen, wenn 
ein stumpfer Winkel ist, also zwischen 90° und 180° liegt, muss ich den berechneten
Winkel minus 90° rechnen). Der gesuchte Winkel lautet daher 34,74°.
3) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden g: 3x + 2y = 7 und h: 3x + 2y = 5.
Die beiden Geraden sind parallel (haben den gleichen Normalvektor). Ich kann daher die
Frage auch so lesen: Wenn ich einen beliebigen Punkt der einen Geraden nehme, welchen
(Normal-)Abstand hat dieser dann von der anderen Geraden? Zur Berechnung „Abstand
eines Punktes von einer Geraden in R²“ kenne ich die Formel: d  X 1 P.n0 - wobei X1
ein Punkt der Geraden ist, P jener Punkt, dessen Abstand von der Geraden ich wissen will
und n0 ist der Einheitsvektor des Normalvektors auf die Gerade.
Ich berechne also zunächst einen Punkt der Geraden g, z.B. liegt P(1/2) auf g !
 0
Als nächstes brauche ich einen Punkt von h, ich nehme z.B. X1(1/1)  X 1 P   
1 
3 
Der n von h lautet   ,
 2
3 
 
2
n0 (= der Normalvektor dividiert durch seine Länge)=   .
13
 0 3  1
0.3  1.2
2
All dies in die Formal eingesetzt ergibt: d   . .


 0,55
13
13
1   2  13
Der Abstand der beiden Geraden ist also ca. 0,55 LE.
Lösung zur Lernzielüberprüfung „Vektorrechnung 6. Klasse“
1) Wie liegen die beiden Geraden zueinander? Falls sie einander schneiden, berechnen Sie
den Schnittpunkt; falls sie windschief sind, berechnen Sie den kürzesten Abstand der
beiden Geraden:
1 
3 
1 
6 
 
 
 
 
a) g: X =   4  + t.  3 
h: X =  3  + s.   1 
Ich schneide g und h.
  5
6 
0
  4
 
 
 
 
1 + 3t = 1 + 6s
-4 + 3t = 3 – s
6 – 5t = -4s
Aus den ersten beiden Gleichungen berechne ich s und t.
Ich erhalte s=1 und t=2.
Nun setze ich s=1 und t=2 in die nicht verwendete Gleichung ein 
-4 = -4 w.A.  Die beiden Geraden schneiden einander.
Um S zu erhalten, setze ich s oder t in die Geradengleichung ein  S(7/2/-4)
5 
4 
 
 
b) g: X =   2  + t.   1
 3
0 
 
 
5 + 4t = 6 + 4s
-2 – t = 10 + 7s
6 
4 
 
 
h: X = 10  + s.  7 
1 
  4
 
 
Ich schneide g und h.
-3
= 1 – 4s
Hier kann ich s gleich berechnen  s=1. Nun setze ich s z.B. in
die 2. Gleichung ein  t= -19. Wenn ich s und t nun in die nicht verwendete 1. Gleichung
einsetze, erhalte ich -71 = 10, also eine offensichtlich falsche Aussage
 Die beiden Geraden sind windschief.
Zur Berechnung ihres kürzesten Abstandes verwende ich die Formel: d  X 1 X 2 .(a  b) 0
1 
 
Ich bilde den Vektor zwischen den beiden Punkten der beiden Geraden X 1 X 2  12  und
4 
 
4  4  4 
     
berechne das vektorielle Produkt der beiden Richtungsvektoren   1 x 7   16  
 0    4   32 
     
Der normierte Vektor lautet
4 
4 
  1  
.16   .16 
4²  16²  32²   36  
 32 
 32 
1
1 
4 
  1   324
9
Nun setze ich in die Formel ein  d= 12 . .16  
36
 4  36  32 
 
 
Der kürzeste Abstand der beiden gegebenen Geraden beträgt 9 LE.
c) Zwei Geraden im Raum können außerdem noch parallel sein oder zusammen fallen.
2) Die zwei Ebenen 1: 3x – 2y + 5z = 7 und 2: 2x + 3y – 7z = 1 schneiden einander in einer
Geraden. Geben Sie die Gleichung der Schnittgeraden an.
1: 3x – 2y + 5z = 7
.3
2: 2x + 3y – 7z = 1
.2
13x
+ z = 23  z = 23 – 13 x Nun setze ich x=t  z = 23 – 13t
Nun setze ich in die 1. (oder 2.) Gleichung ein  3t – 2y +5.( 23 – 13t) = 7  y=54 – 31t
Dann schreibe ich die drei Gleichungen untereinander:
x = + 1t
y = 54 – 31t
z = 23 – 13t
0 
1 
 


 Schnittgerade: X =  54  + t.   31 [Wenn Sie eine andere Schnittgeradengleichung
 23 
  13 
 


erhalten, muss Ihr Ergebnis nicht falsch sein; sie haben ja vielleicht andere Variablen
ersetzt. Überprüfen Sie doch sicherheitshalber, ob der von Ihnen errechnete Punkt der
Geraden auf den beiden Ebenen liegt. Wenn ja, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie ein
richtiges Ergebnis haben, recht groß].
3) Berechnen Sie den Schnittpunkt der drei Ebenen:
1: 3x – 2y + 4z = 11
2:
2x – y – 3z = -9
3:
-x + 3y + 2z = 11
Ich rechne die 3. Gleichung mal 2 und addiere sie zur 2. Gleichung  5y + z = 13
Ich rechne die 3. Gleichung mal 3 und addiere sie zur 1. Gleichung  7y + 10z = 44
Nun rechne ich die 1. neue Gleichung mal 10 und subtrahiere davon die 2. neue Gleichung
 43y = 86  y = 2
Nun setze ich in die 1. neue Gleichung ein  z=3
Wenn ich y=2 und z=3 (z.B.) in die 3. Gleichung einsetze, erhalten ich x=1  S(1/2/3)
[Zur Probe kann ich den berechneten Punkt in alle Ebenengleichungen einsetzen und
überprüfen, ob ich immer eine w.A. erhalte]
4) A (-1/y/3), B(-2/-2/0), C, D(x/y/1) und S sind die Eckpunkte einer Pyramide mit
rechteckiger Grundfläche ABCD und mit gleich langen Seitenkanten (d.h.: die Spitze
befindet sich direkt über dem Mittelpunkt des Rechtecks), wobei das Rechteck in der
Ebene : 2x – 5y + 6z = d liegt. Die Spitze der Pyramide liegt auf der Geraden g:
1 
3 
 
 
X =   4  + t.  3  .
  5
6 
 
 
Das Beispiel ist zugegebenermaßen etwas schwieriger, es war aber Beispiel bei einer
Zulassungsprüfung an einer AHS.
a) Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten von A, C, D und S.
Zunächst berechne ich das fehlende d der Ebene. Ich weiß ja, dass B in der Ebene liegt,
also setze ich den Punkt in die Ebene ein  2.(-2) – 5.(-2) + 6.0 = d  d=6
 Die Ebenengleichung lautet vollständig: : 2x – 5y + 6z = 6
Nun kann ich A einsetzen und die fehlende Koordinate berechnen:
2.(-1) – 5y + 6.3 = 6  y=2  A(-1/2/3)
Nun setze ich D in die Ebenengleichung ein  2x – 5y + 6.1 = 6 Da ich hiermit eine
Gleichung mit 2 Unbekannten habe, kann ich x und y noch nicht berechnen. Ich weiß aber
5
5
(wenn ich die Gleichung umforme), dass x= y ist  D( y/y/1)
2
2
Ein möglicher Weg zu D zu kommen, ist, daran zu denken, dass die Vektoren AB und
AD aufeinander normal stehen, ihr Skalarprodukt daher 0 sein muss.
5

 y  1
1   2

 
5
13
AB . AD =   4 . y  2  = -1.( y+1) -4.(y-2) – 3.(-2) = - y +13
2
2
 3  2 
 





13
Wenn ich nun - y +13 = 0 setze  y=2  x=5  D(5/2/1)
2
Da der Mittelpunkt des Rechtecks über BD bzw. über AC bestimmt werden kann, kann
ich damit die Koordinaten von C berechnen:
3
1
1 x 2  y 3 z
MBD( /0/ )
MAC(
/
/
)
2
2
2
2
2
1 x 3
=
2
2
2 y
0=
2
1
3 z
=
2
2
 x=4
 y= -2
 z = -2
 C(4/-2/-2)
Leider sind wir immer noch nicht fertig. Wir wollen ja auch noch die Koordinaten der
Spitze berechnen. Von der Spitze wissen wir, dass sie auf der Höhe liegt (also auf jener
Geraden, die – weil es sich hier um eine gerade Pyramide handelt – durch M durchgeht
und deren Richtungsvektor dem Normalvektor der Grundfläche entspricht). Wir stellen
daher die Geradengleichung der Höhe auf und schneiden diese dann mit der gegebenen
Geraden, da ja laut Angabe die Spitze auch auf dieser Geraden liegen soll.
3
 
2 
1 
3 
2
 
 
 
Höhe h: X =  0  + s.   5  Nun schneide ich h mit g: X =   4  + t.  3  .
 
6 
  5
6 
 
 
 
 1 
2
3
1
1

+ 2s = 1 + 3t
Aus der 1. und der 2. Gleichung berechne ich s= und t=
2
2
2
0 – 5s = -4 + 3t
1
+ 6s = 6 – 5t
Zur Kontrolle kann ich s und t in die 3. Gl. einsetzen  w.A.
2
Um den Schnittpunkt (= die Spitze) zu erhalten, kann ich entweder s in die Höhe oder t in
5 5 7
die andere Geradengleichung einsetzen  S( /- / )
2 2 2
b) Welchen Winkel schließt die Grundfläche mit der Seitenfläche ADS ein?
 
Ich verwende die Formel cos  
a.b


, wobei ich statt der beiden Vektoren a und
| a |.| b |
b die Normalvektoren der beiden Ebenen einsetze. Den Normalvektor der Grundfläche
2 
 
kenne ich: n1    5  . Den Normalvektor der Seitenfläche ADS muss ich mir erst
6 
 
berechnen. Am leichtesten geht dies über das vektorielle Produkt. Ich stelle daher AD
7 


6  2   9 
   9 

und AS auf und bilde AD x AS =  0  x     4 
 2   2    27 
  1  



2 
Nun setze ich die beiden Normalvektoren in die cos-Formel ein 
2  9 
 

  5 . 4 
 6    27 
   200  0,863
   149,67° bzw. (als spitzer Winkel)
cos     
65. 826
53690
Der Winkel zwischen der Grundfläche und der Seitenfläche ADS beträgt ca. 30,33°.
c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
Sie können entweder die „Vektorrechnungs-Formeln“ für die Pyramide verwenden (s.
gleich unten) oder auch die Formel für das Volumen einer Pyramide mit einem Rechteck
G.h a.b.h

als Grundfläche, die lautet V=
wobei a die Länge des Vektors AB und b die
3
3
Länge des Vektors AD ist. h kann ich aus der Länge des Vektors MS berechnen (da es
sich um eine gerade Pyramide handelt). Probieren Sie das doch!
Mittels „neuer“ Formel, ginge die Berechnung folgendermaßen:
1
V  . c.(a  b) wobei a  AB, b  AD, c  AS
3
 7 

7 






 2    1   6 
 2   8 
.

1  9      1  9  
28  90  12 130
 V  .   .  4  x 0   .  .  20  

 43, 3

3  2    
3  2  
3
3
  3    2 

24 

1
1











2 
 2 
Das Pyramidenvolumen beträgt ca. 43,33 VE.
Ende des Lernpfades „Vektoren 6. Klasse“.
http://www.2bw.eu/workroom/inhalte/mathematik.htm führt zurück auf die LernpfadÜbersicht-Seite.