Grundaufgaben zur Wahrscheinlichkeit I. Permutation und Kombination - Zählverfahren … nur unterschiedliche Elemente Permutationen behandeln mögliche ANORDNUNGEN Kombinationen behandeln mögliche AUSWAHLEN nPr Reihenfolge ist wichtig AB ≠ BA nCr Reihenfolge unwichtig, beliebig AB = BA 1) Aufgaben zum Modellieren und sicheren Berechnen AB Sitzplan Eine Klasse hat 21 Schüler. Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Sitzplan mit 21 Plätzen zu entwerfen. Lösung: Für die Besetzung jedes Platzes gibt es 21 Möglichkeiten. Ist der 1. Platz besetzt, dann gibt es nur mehr 20 etc. n = r …die gesamte Klasse 21∙20∙19∙ …. = 21! oder 21P21 = 5,1 ∙ 1019 AB Bilder Berechnen Sie die Anzahl, wie oft 10 Bilder B1 bis B10 unterschiedlich aufgehängt werden. Lösung: 10P10 = 3628800 AB Positionen In der Klasse mit 21 Schülern sollen drei Positionen besetzt werden. Klassensprecher, 1. Stellvertreter, 2. Stellvertreter. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Lösung: Permutation von n = 21 Elementen zur Klasse r = 3. Die 1. Position zu besetzen gibt es 21 Möglichkeiten, die 2. hat nur mehr 20, die 3. Position 19. Daher 21 ∙ 20 ∙ 19 = 7 980. oder 21 P3 = 7 980 oder mit der Formel 21! n! = 7 980 nPr = n -r ! 18! AB Gruppenleiter Man soll aus 30 Personen 4 zufällig auswählen als Gruppenleiter, 1. Assistent, 2. Assistent, 3. Assistent. Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten der Auswahl gibt es. 30P4 = 657 720 AB Gruppe auswählen 3 Schülerinnen einer Klasse sollen in die Direktion kommen. Wie viele Auswahlmöglichkeiten gibt es? Lösung: Kombination von n = 21 Elementen zur Klasse r = 3 21C3 = 1 330 1 Oder man versteht es als abgespeckte Permutation, aus der man die Reihenfolgemöglichkeiten r! entfernt: 21P3 =1 330 3! oder als Formel: n! = 1 330 21C3 = n - r ! r! AB Nachtschicht Aus 50 Fahrern einer Firma werden 10 nach Zufallsprinzip für einen Sondertransport ausgewählt. Berechne, wie viele Möglichkeiten es gibt, unterschiedliche Fahrer zu wählen? Lösung 10 50 C 10 = 1,027 ∙ 10 AB Fußball Eine Fußballmannschaft besteht bekanntlich aus 11 Spielern Der Trainer will für Elfmeterschießen 4 Spieler aus seiner Mannschaft auswählen. Wie viele Möglichkeiten hierfür gibt es? Lösung: Kombination 4 aus 11 11C4 =330 AB Rennen Aus einer Menge von 20 Personen sollen 8 Personen ausgewählt werden, die an einem Rennen teilnehmen. Wie viele Möglichkeiten der Auswahl gibt es? Lösung: 20C8 = 125 970 AB Komitee In einer Organisation arbeiten 6 Männer und 9 Frauen. Es soll ein Komitee bestehend aus 2 Männern und 3 Frauen gebildet werden. Berechne die Zahl der Möglichkeiten. Lösung: 2 aus 6 UND 3 aus 9 6C2 ∙ 9C 3 = 15 ∙ 84 = 1260 ABD Hotelgäste In einem Hotel sind 10 freie Einzelzimmer. 5 Hotelgäste sollen untergebracht werden. Berechnen Sie, auf wie viele Arten das möglich ist. Erklären Sie Ihren Ansatz. Lösung: Der 1. Gast hätte 10 Möglichkeiten, der 2. 9. der 3. 8 usw. der 4. 7, der 5. 6 daher Zahl der Möglichkeiten: 10∙9∙8∙7∙6 Dies entspricht 10! / 5! = 30 240 Möglichkeiten 2 2) Vermischte Aufgaben A,B,D Lotto Im Lotto-Spiel „6 aus 45“ werden bei jeder Ziehung aus den Zahlen 1 bis 45 sechs Zahlen zufällig ausgewählt. Angenommen, jemand kreuzt auf dem Spielschein 6 Zahlen an. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für diesen Spieler bei der Ziehung 6 Richtige zu tippen. b) In Deutschland werden beim Lotto 6 aus 49 Zahlen gezogen. Argumentieren Sie, wo die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige größer, in Deutschland oder in Österreich. Lösung: 6 5 4 3 2 1 1 0,00000012 1,2 10 7 45 44 43 42 41 40 8145060 a) 5 ebenfalls richtige Lösungen: 1,2 10 % oder ~ 0,12 ppm b) Begründung durch Rechnung: 6 aus 49: 6 5 4 3 2 1 1 P(6) 0,00000007 7 10 8 1,2 10 7 49 48 47 46 45 44 13983816 Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ist in Österreich größer als in Deutschland. ABD Mitglieder Eine Organisation hat 30 Mitglieder. a) Berechne die Anzahl der Möglichkeiten, um einen Vorsitzenden, einen Stellvertreter, einen Schriftführer und einen Kassier zu wählen, wenn nur ein Amt auf eine Person fallen darf. b) Argumentiere, ob es einen Unterschied in den Möglichkeiten gibt, wenn sich das Leitungskomitee aus 4 Personen zusammensetzt und jede Person alle 4 Funktionen ausfüllen kann. Berechne den Unterschied. Lösung a) 30 ∙ 29 ∙28 ∙27 = 657 720 b) In diesem Falle kommt es nicht auf eine Reihenfolge an. Es wird daher weniger Möglichkeiten geben. Das vorherige Ergebnis kann durch die „Reihenfolgemöglichkeiten“ 4! dividiert werden. 657 720 : 4! = 30 C4 = 27 405 BD Praktikum Im Praktikum müssen Betreuer für 6 Schülerinnen zugeteilt werden. Es stehen 3 Betreuer zur Verfügung, jeder Betreuer soll genau 2 Schülerinnen betreuen. Petra hat das so gelöst: Zahl der möglichen Zuteilungen: 6! / 2³ Erklären Sie, wie man zu dieser Formel kommt. Berechnen Sie die Zahl. Lösung: Der 1. Betreuer hat 2 aus 6 Schülerinnen zur Auswahl UND der 2. Betreuer dann nur mehr 2 aus 4 UND der 3. Betreuer nur mehr 2 aus 2. Daher 6C2 ∙ 4C2 ∙ 2C2. Schreibt man das aus, so erhält man: 6 5 4 3 2 1 6! 90 2 2 2 2³ ABD Ländervertreter 3 Aus einer Gruppe von 5 Wienern, 10 Tirolern und 6 Salzburgern sollen 2 Personen aus verschiedenen Bundesländern ausgewählt werden. Berechnen Sie die Zahl der möglichen Kombinationen. Erklären Sie Ihren Ansatz. Lösung: Man kann (1 aus 5 UND 1 aus 10) ODER (1 aus 5 UND 1 aus 6) ODER (1 aus 10 UND 1 aus 6) auswählen. 5C1 ∙ 10C1 + 5C1 ∙ 6C1 + 6C1 ∙ 10C1 = 50 + 30 + 60 = 140 ABD Klassenzuordnung 12 Schüler einer Schulstufe melden sich neu an einer Schule an und sollen nun auf 3 Klassen a, b und c aufgeteilt werden. Klasse a erhält 3, b erhält 4 und c erhält 5 Schüler. Wie viele Varianten gibt es? Erklären Sie Ihren Ansatz. Lösung: 3 aus 12 UND 4 aus den restlichen 9 UND 5 aus den restlichen 5. Daher Möglichkeiten = 12C3 ∙ 9C4 ∙ 5C5 = 27 720 ABD Ausschuss Aus einer Gruppe von 8 Personen aus Vorarlberg, 5 aus Kärnten und 3 aus der Steiermark soll ein Viererausschuss zufällig ausgewählt werden. Argumentieren Sie, ob es sich in den folgenden Teilaufgaben um Permutationen oder Kombinationen handelt. Berechnen Sie die gesuchten Zahlen. a) Wie viele Varianten gibt es insgesamt, wenn alle 3 Bundesländer vertreten sein sollen? b) Wie viele Varianten enthalten nur Vorarlberger? c) Wie viele Varianten enthalten keinen Vorarlberger? Lösung: Es handelt sich in allen Aufgaben um Kombinationen oder auch um eine Zusammensetzung von Kombinationen , weil die Reihenfolge bei der Auswahl keine Rolle spielt. a) 2 aus 8 UND 1 aus 5 UND 1 aus 3 oder 1 aus 8 UND 2 aus 5 UND 1 aus 3 oder 1 aus 8 UND 1 aus 5 UND 2 aus 3 = 8C2 ∙ 5C1 ∙ 3C1 +8C1 ∙ 5C2 ∙ 3C1 + 8C1 ∙ 5C1 ∙ 3C2 = 780 b) 4 aus 8 = 70 c) 1 aus 5 UND 3 aus 3 oder 2 aus 5 UND 2 aus 3 oder 3 aus 5 UND 1 aus 3 oder 4 aus 5 = oder einfach auch 4 aus 8 = 70 4 II. Laplace Definition der Wahrscheinlichkeit und statistische Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace: P(E) = g (E) : m (E) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses: Verhältnis der für das Auftreten eines Ereignisses E günstigen Fälle zu den insgesamt möglichen Fällen. Statistik: entspricht im Grunde genommen der Laplace-Wahrscheinlichkeit, nur werden die möglichen und günstigen Fälle aus der Daten-Tabelle entnommen. P(E) = hn (E) ; n … Anzahl der Messdaten Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten Wahrscheinlichkeit entspricht der relativen Häufigkeit. Voraussetzung: Viele Messdaten! AB Fremdsprachen Von den 50 Mitarbeitern einer Firma sprechen 10 keine Fremdsprache, 25 nur Englisch, 10 nur Russisch und 5 Englisch und Russisch. a) Stellen Sie die Situation in einer Skizze dar, (falls Mengendiagramm bekannt ist) b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mitarbeiter i. beide Fremdsprachen spricht, ii. Englisch spricht, iii. nicht Russisch spricht, iv. mindestens eine Fremdsprache spricht Lösung: a) b) i. g : m = 5 : 50 = 0,1 = 10% ii. g : m =30 : 50 = 0,6 = 60% iii. g : m = 35 : 50 = 0,7 = 70% iv. mindestens 1 bedeutet: 1 oder 2 1 sprechen 35, 2 sprechen 5 also g : m = 40 : 50 = 0,8 = 80 %. oder alle minus keine: 1 - 10 : 50 = 0,8 = 80% ABCD Familienfest Auf einem Familienfest befinden sich 5 Männer, 6 Frauen und 9 Kinder. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Gruppe von 7 zufällig ausgewählten Personen 2 Männer, 3 Frauen und 2 Kinder befinden. Erklären und dokumentieren Sie Ihre Rechenschritte. Lösung: Alle möglichen Fälle berechnet man als Kombination von 7 aus insgesamt 20 Personen. Die Zahl der im Sinne der Aufgabe „günstigen“ Fälle ist eine Zusammensetzung von Kombinationen. 5 20C7 = 77 520 … mögliche Fälle Männer: 2 aus 5; Frauen: 3 aus 6; Kinder: 2 aus 9 sind mit UND verbunden 5C2 ∙ 6C3 ∙ 9C2 = 7 200 g : m = 7 200 : 77 520 = 9,3 % ABCD Stoffballen Von 40 fertig genähten Vorhängen weisen erfahrungsgemäß 6 Vorhänge kleine Nähfehler auf. Eine Schneiderin überprüft 5 zufällig ausgewählte Vorhänge. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Schneiderin 2 Vorhänge mit Fehlern findet. Erklären und dokumentieren Sie Ihre Rechenschritte. Lösung: Man geht davon aus, dass Gleichwahrscheinlichkeit herrscht, es sind 6 defekte und 34 fehlerfreie Vorhänge in der Menge von 40 vorhanden. Man wählt 5 zufällig aus, wie viele Möglichkeiten gibt es, dass darunter 2 defekte und 3 fehlerfreie sind. Gesamte Möglichkeiten: 5 aus 40: 40C5 = 658 008 … alle möglichen Fälle defekte: 2 aus 6; fehlerfreie 3 aus 34 6C2 ∙ 34C3 = 89 760 P(x = 2 defekte in 5) = 89 760: 658 008 = 0,1364 ≈ 13,6% ABCD Angestellte In einer Firma sind 500 Beschäftigte mit den folgenden „Merkmalen“: |Bundesland Tirol Steiermark Wien Männer 150 75 50 Frauen 100 25 100 Man wählt eine Person zufällig aus. Wie wahrscheinlich ist diese Person eine Frau, wie wahrscheinlich ein Mann wie wahrscheinlich kommt er/ sie nicht aus Wien? Dokumentiere und erkläre deine Vorgangsweise. Lösung: Zunächst ergänzt man die Tabelle, um zur relativen Häufigkeit zu gelangen: |Bundesland Tirol Steiermark Wien Summe Männer 150 75 50 275 Frauen 100 25 100 225 250 100 150 500 Die relative Häufigkeit erhält man als Verhältnis der Fälle der gefragten Merkmalsausprägung zur Gesamtzahl der Personen in der Firma. P(X = Frau) = 225 : 500 = 45 % P(X = Mann) = 275: 500 = 55 % P(X nicht Wien) = (500 – 150 ) : 500 = 70 % 6 3. Wahrscheinlichkeit mit Pfadregeln (Baumgraphen) AB Fischen Bei einem Spiel fischt man kleine Dosen. In jeder 7. Dose ist 1 Euro. a) Stellen Sie die Situation grafisch in einer Skizze dar. b) Berechnen Sie, wie viele Dosen vorhanden sein müssen, damit man mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Euro bekommt Lösung: a) b) g … n/7 , m … n P(1€) = 1/7 beim 1. Zug, P(0€) = 6/7 P (mindestens 1 € ) = 1- P( 0 €) = 1 - (6/7) n = 0,95 19,43 ca 20 Dosen! AB Ostereier In einem Korb liegen 6 rote, 4 blaue und 2 grüne Ostereier. Jemand nimmt ohne Hinschauen 2 Eier heraus. a) Berechnen Sie, wie wahrscheinlich es ist, dass beide die gleiche Farbe haben. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei rot, das andere grün ist. c) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm nur mit jenen Ästen, die man für die Lösung der Frage benötigt, wie wahrscheinlich man 2 Eier mit unterschiedlicher Farbe zieht. Lösung: a) Modellieren, Operieren Pfadregeln: (30 + 12+2) / 132 = 1/3 ≈ 33% b) Modellieren, Operieren Pfadregel: 12/132 + 12/132 = 18,2% c) Modellieren ABC Jeans Jeans werden in 3 Paketen geliefert. Im ersten befinden sich 6 Jeans, im zweiten 5 Jeans und im dritten 7 Jeans. In jedem Paket erwartet man, dass 1 Jeans leicht beschädigt ist. a) Jedem Paket wird genau eine Jean entnommen. Unter diesen drei Jeans sind keine beschädigten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis. b) Die insgesamt 18 Jeans werden bei einem 2. Transport in einem Paket geliefert, das 3 defekte Jeans enthält. Dem Paket werden 3 Jeans entnommen. Unter diesen drei Jeans sind 2 defekte. d … defekt, nd … nicht defekt Beschreiben Sie ohne Rechnung die erforderlichen Lösungsschritte bzw. Rechenregeln, die zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses notwendig sind. Ergänzen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Einzelziehungen in der Grafik. 7 Lösung: a) Ereignis E = „keine beschädigten Jeans in der Auswahl“ nd … nicht defekt 5 4 6 120 P(E) = 57% 6 5 7 210 Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „keine beschädigten Jeans in der Auswahl“ betragt ca. 57 %. b) Um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis – genau 2 defekte Jeans befinden sich in der Auswahl – zu ermitteln, sind folgende Schritte notwendig: 1. Die zu dem Ereignis gehörenden Pfade ermitteln: d … defekt, nd … nicht defekt P(d, d, nd) = P(d) ∙ P(d) ∙ P(nd) P(d, nd, d) = P(d) ∙ P(nd) ∙ P(d) P(nd, d, d) = P(nd) ∙ P(d) ∙ P(d) 2. Addieren der Wahrscheinlichkeiten P(E) = P(d, d, nd) + P(d, nd, d) + P(nd, d, d) AB Testgruppe Eine Gruppe von 240 Schülern wird am BIFIE einem Mathematik-Probetest unterzogen. Von 176 Schülern, die positiv getestet worden sind, haben 148 die Matura positiv bestanden. Von denen, die den Test nicht bestanden haben, konnten 20 die Matura trotzdem positiv bestehen. a) Erstellen Sie ein passendes Baumdiagramm b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Schüler die Matura bestehen, wenn sie auch die BIFIETestung positiv bestehen und jene, wenn sie den BIFIE-Test nicht bestehen. Lösung: a) 148 176 20 64 x x = 84,09% y y = 31,25% 240 240 240 240 Einfache Lösung anhand einer Tabelle: rote Zahlen berechnen. Summe M+ MP(T+ und M+) = 148 : 176 = 84,09 % b) Mit Pfadregel: T+ TSumme 148 20 168 28 44 72 176 64 240 P(T- und M+) = 20 : 64 = 31,25 % 8