Lernpfad FOLGEN+REIHEN

Folgen, Reihen, Grenzprozesse
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns unter anderem mit folgenden Fragen:
a) Wieso wusste der 7-jährige Gauß ganz schnell, was 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
ergibt?
b) Wenn ich ein Blatt Papier mit 1 dm² Größe habe und die Hälfte anmale, vom Rest
wieder die Hälfte und vom Rest wieder die Hälfte … und das in alle Ewigkeit, wie
viele dm² male ich dann insgesamt an?
c) Wenn ich auf ein Schachbrettfeld 1 Reiskorn lege, auf das nächste 2 Reiskörner, auf
das nächste 4 Reiskörner (also immer doppelt so viele wie auf das vorangegangene) –
wie viele Reiskörner liegen dann auf dem letzten (dem 64.) Feld und wie viele liegen
auf dem Schachbrett?
d) Und wer kennt das nicht von irgendwelchen Aufnahmeprüfungen oder Logikrätseln?
Wie würde die folgende Zahlenfolge fortgesetzt werden:
 2, 7, 12, 17,…
 3, 1, -1, -3,…
 2, 8, 32, 128,…
 3, -6, 12, -24,…
 144, 72, 36, 18,…
 1, 4, 9, 16,…
Die Antworten finden Sie im Laufe dieser Website oder Sie gehen gleich zu den Lösungen.
Zum spielerischen Einstieg gehen Sie zu www.matheprisma.de/Module/Rekurs/index.htm.
Gehen Sie zu „Der Test“ und machen Sie diesen.
Gehen Sie zu „Das Prinzip“: Die Seiten 1-3 erklären, was rekursive Folgen sind, auf der Seite
3 werden explizite Darstellungen von Folgen erklärt und die Seite 4 liefert Definitionen für
arithmetische und geometrische Folgen.
(Turmspiel und Fibonacci-Folgen können Sie auslassen).
Eine gute Zusammenfassung zum Stoff des Kapitels „Folgen, Reihen, Grenzprozesse“ finden
Sie auf den folgenden Websites:
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/folgen1.htm
Grundlegendes zur Darstellung von Folgen, Monotonie, Schranken, Grenzwert
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/folgen3.htm
arithmetische und geometrische Folgen werden anhand der Beispiele der Seite
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/folgen1.htm erklärt;
endliche arithmetische sowie endliche und unendliche geometrische Reihen werden definiert
Und nun können Sie Ihr Wissen weiter testen:
 Bei http://www.mathe-online.at/tests/grenz/arigeo.html finden Sie heraus, ob Sie
arithmetische und geometrische Folgen richtig zuordnen können.
Als Zusatz können Sie bei den arithmetischen Folgen jeweils a1 und d bzw. bei den
geometrischen Folgen jeweils b1 und q angeben sowie das 5. Folgenelement und das
5. Element der zugehörigen Reihe berechnen. Hier finden Sie die Lösungen.
 Gehen Sie zu http://www.mathe-online.at/galerie/grenz/grenz.html#folgennumerisch
Klicken Sie auf „Folgen und Zahlengerade“.
Diese Lernhilfe zeigt für einige ausgewählte Folgen (mit einfacher Termdarstellung) die
Positionen der ersten Glieder auf der Zahlengeraden und deren numerischen Werte an.
Damit lassen sich Begriffe wie Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz/Divergenz
auf anschauliche Weise darstellen und diskutieren. Schauen Sie sich auch die Aufgaben
und Lösungen an.
 Gehen Sie zu http://www.mathe-online.at/galerie/grenz/grenz.html#folgennumerisch
a) Aufgabe: Klicken Sie auf numerische Berechnung von Folgen, denken Sie sich
4n ²  n
selber eine Folge aus (z.B.
) und berechnen Sie z.B. die ersten 5 Glieder.
2n ²
Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis indem Sie die gewünschte Folge eintippen [Hinweis:
Hochzahlen so eingeben: n^4 ! Klammern nicht vergessen, wenn sie notwendig sind!
Bei der angegebenen Folge z.B. (4*n²-n)/(2*n²) eingeben!!] und die ersten 5 Glieder
berechnen lassen. Stimmen Ihre Ergebnisse? Überlegen Sie sich auch, welchen
Grenzwert Ihre Folge hat (so sie einen hat) und „überprüfen“ Sie Ihr Ergebnis, indem
Sie z.B. n  1000 und 100-er-Schritte wählen. Sehen Sie, gegen welche Zahl Ihre
Folge strebt? [Dies ist kein mathematisch korrekter Beweis, aber zumindest können
Sie schauen, ob Sie mit Ihrer Vermutung richtig liegen.]
b) Sie können bei den numerischen Folgen auch „Aufgaben“ anklicken und ein paar
davon probieren (da gibt es dann ja auch die Lösungen zum Anklicken)!
 Bei http://www.mathe-online.at/tests/grenz/konvdiv.html können Sie angeben, ob es
sich um konvergente oder divergente Folgen handelt.
Dazu ein paar Anregungen:
-
Schreiben Sie ein paar Folgenglieder auf (setzen Sie für n große Zahlen ein!) und
stellen Sie eine Vermutung an, ob die Folge einem Grenzwert zustrebt.
-
Merken Sie sich, dass eine Folge bestehend aus einem Bruch mit Potenzen von n im
Zähler und Nenner konvergent ist (= einen Grenzwert hat), wenn der Grad des
Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist. Divergent ist sie, wenn der
Grad des Zählers größer als der Grad des Nenners ist. Als Grad wird die größte
Hochzahl des Polynoms bezeichnet.
4n²  12n  9
(2n  3)²
Beispiel: Der Term der Folge
ergibt ausmultipliziert
.
9n ²  1
(3n  1).(3n  1)
Der Grad des Zählers ist 2 und genau so groß wie der Grad des Nenners. Daher ist die
4
Folge konvergent und nach den Grenzwertsätzen strebt diese Folge gegen a =
!
9
Hier finden Sie die Grenzwerte zu den konvergenten Folgen.
Viele weitere Übungsbeispiele finden Sie auf
 http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/folgenueb.htm
Übungen zum Berechnen von Folgengliedern, Monotonie, Schranken, Grenzwert,
arithmetische Folgen und Reihen, geometrische Folgen und Reihen (+ Lösungen)
 http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/FolRei/UE_Folgen%20und%20Reihen_Moser_
WS03.doc
Deckt das Stoffgebiet mit Ausnahme der unendlichen geometrischen Reihe und von
„geometrischen“ Beispielen gut ab (+ Lösungen)
Lernzielüberprüfung „Folgen, Reihen, Grenzprozesse“:
Sie haben für die Beispiele 2 Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung
verwenden.
1) Gegeben ist eine arithmetische Folge mit a1= -7 und d=5. Geben Sie die ersten 5
Folgenglieder an, berechnen Sie das 10. Folgenglied und die Summe der ersten 15
Folgenglieder!
3
. Geben Sie die ersten 5
5
Folgenglieder an, berechnen Sie das 10. Folgenglied und die Summe der ersten 15
Folgenglieder! Hat die zugehörige Reihe eine Summe? Wenn ja, berechnen Sie sie.
2) Gegeben ist eine geometrische Folge mit b1= -125 und q= –
3) Gegeben sei die Folge 
4n

8n  5
a) Geben Sie die ersten 4 Folgenglieder an!
b) Beweisen Sie, dass 2 eine obere Schranke der Folge ist.
c) Zeigen Sie, dass die Folge streng monoton fallend ist.
d) Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge, und geben Sie an, ab welchem Folgenglied
1
alle weiteren in einer -Umgebung mit =
um den Grenzwert a liegen.
500
4) Welche der Folgen ist konvergent? Bestimmen Sie den Grenzwert der konvergenten
Folgen:
a)
6n ²  8
5  2n ²
b)
n  2n ²
n3
c)
5n ²  4
5n ³
5) In einem rechtwinkligen Dreieck bilden die Seiten eine arithmetische Folge. Die längere
Kathete ist 20cm lang. Berechnen Sie die fehlenden Seiten.
6) Einem Quadrat mit der Seitenlänge 10cm wird ein Quadrat eingeschrieben, dessen
Eckpunkte die Seiten des ursprünglichen Quadrats im Verhältnis 2:3 teilen. Und so weiter.
Berechnen Sie die Summe der ersten 5 Quadratumfänge und die Summe ALLER
Quadratflächen
7) Ist die folgende geometrische Reihe konvergent? Wenn ja, berechnen Sie deren Summe:
9 27
43 
 ...
4 16
VIEL ERFOLG !!
Auswertung:
Bsp. 
1
2
3a
3b
3 c, d
4a, b, c
5
6
7
Ges.
Punkte 
5
8
2
3
Je 4
Ges. 5
4
7
3
45
Notenschlüssel: Ab 23 Punkten ... Bestanden
21 – 26 Punkte … Genügend
27 – 32 Punkte … Befriedigend
33 – 38 Punkte … Gut
39 – 45 Punkte … Sehr Gut
Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.
Antworten auf die Fragen zu Beginn:
a) Wieso wusste der 7-jährige Gauß ganz schnell, was 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 ergibt?
Gauß (ein berühmter Mathematiker, der 1777-1855 lebte) soll dieses Beispiel angeblich so
gelöst haben: 1+100= 101, 2+99=101, 3+98=101 … 50+51=101 D.h.: wir erhalten bei 50
Zahlenpaaren die 101 als Summe  50.101=5050. Also muss 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 +
100 = 5050 sein.
Wie Sie gleich lernen werden, handelt es sich dabei um eine arithmetische Reihe. Die
zugehörige arithmetische Folge lautet: 1, 2, 3, 4, …100, wobei das 1. Folgenglied 1
und d (der Abstand zwischen den Folgengliedern) ebenfalls 1 ist. Die Formel für die
Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge (diese wird dann arithmetische
a  an
1  100
Reihe genannt) lautet: sn = n. 1
. Im konkreten Fall, ergibt s100 = 100.
= 5050.
2
2
b) Wenn ich ein Blatt Papier mit 1 dm² Größe habe und die Hälfte anmale, vom Rest wieder
die Hälfte und vom Rest wieder die Hälfte … und das in alle Ewigkeit, wie viele dm² male
ich dann insgesamt an?
1 1 1 1
Hier würde die zugehörige Folge  ; ; ; ;...  lauten. Dies ist eine geometrische
2 4 8 16
Folge mit ½ als erstem Folgendglied (= b1) und ½ als jener Zahl (= q), mit der ich ein
Folgenglied multiplizieren muss, um zum nächsten zu kommen. Diese Folge geht ins
Unendliche und die zugehörige Reihe (also die Summe der Folgendglieder) auch. Es
ließe sich vermuten, dass ich, wenn ich unendlich viele Zahlen addiere, keine eindeutige
Summe erhalte (die obige Folge 1 + 2 + 3 + … in alle Unendlichkeit aufsummiert, führt
sicher zu keiner eindeutigen Summe). Allerdings zeigt das Papierbeispiel recht
anschaulich, dass die Summe 1 sein wird (größer als 1 kann’s nicht werden, da ich ja
innerhalb des Blattes Papier bleibe, wenn ich immer die Hälfte vom Rest anmale; die 1
werde ich zwar nie ganz erreichen, aber ich komme ihr unendlich nahe).
Die zugehörige Formel (die nur gilt, wenn q zwischen -1 und 1 liegt; ansonsten hat die
unendliche Reihe nämlich keine Summe) lautet:
1
1 1
1 1 1 2
 .
 .  . =1
s = b1.
1 2 1 2 1
1 q 2
1
2
2
c) Wenn ich auf ein Schachbrettfeld 1 Reiskorn lege, auf das nächste 2 Reiskörner, auf das
nächste 4 Reiskörner (also immer doppelt so viele wie auf das vorangegangene) – wie
viele Reiskörner liegen dann auf dem letzten (dem 64.) Feld und wie viele liegen auf dem
Schachbrett?
Hier würde die zugehörige Folge 1, 2, 4, 8,… lauten. Dies ist eine geometrische Folge
mit 1 als erstem Folgendglied (= b1) und 2 als jener Zahl (= q), mit der ich ein Folgenglied
multiplizieren muss, um zum nächsten zu kommen.
Um zu berechnen, viele Reiskörner auf dem letzten (also dem 64.) Feld liegen, kann ich
die Formel zu Berechnung des n-ten Folgenglieds einer geometrischen Reihe
verwenden. Diese lautet: bn=b1.qn-1.
Im konkreten Fall also b64=1.2639,223372037.1018 – ausgeschrieben sind dies cirka
9.223.372.037.000.000.000 Reiskörner, die auf dem 64. Feld liegen würden!
Um die Frage zu beantworten, wie viele Reiskörner insgesamt auf dem Schachbrett
liegen, können wir die Formel für die Summer einer endlichen geometrische Folge
anwenden (wir müssen ja rechnen 1 + 2 + 4 + 8 + …. + 9,223372037.1018):
1 qn
1  2 64
sn = b1.
 1.
 2 64  1 =1,844674407.1019 – ausgeschrieben sind dies cirka
1 q
1 2
18.446.744.037.070.000.000 Reiskörner, die auf dem Reisbrett liegen würden!
d) Und wer kennt das nicht von irgendwelchen Aufnahmeprüfungen oder Logikrätseln? Wie
würde die folgende Zahlenfolge fortgesetzt werden:
 2, 7, 12, 17,… - hier wurde immer 5 addiert, d.h. die Folge geht mit 22, 27,… weiter
[diese Folge wird arithmetische Folge mit erstem Folgenglied a1=2 und
Abstand/Differenz zwischen den Folgengliedern d=5 genannt]
 3, 1, -1, -3,… - hier wurde immer 2 subtrahiert, d.h. die Folge geht mit -5, -7,… weiter
[dies ist auch eine arithmetische Folge; das erste Folgenglied a1=3 und der Abstand
d=-2]
 2, 8, 32, 128,… - hier wurde immer mit 4 multipliziert, d.h. die Folge geht mit 512,
2048,… weiter [diese Folge wird geometrische Folge mit erstem Folgenglied b1=2 und
Quotient q=4 genannt]
 3, -6, 12, -24,… - hier wurde immer mit -2 multipliziert, d.h. die Folge geht mit 48, 96,… weiter [dies ist auch eine geometrische Folge; das erste Folgenglied b1=3 und
der Quotient q=-2]
 144, 72, 36, 18,… - hier wurde immer mit 1/2 multipliziert, d.h. die Folge geht mit 9;
4,5,… weiter [dies ist auch eine geometrische Folge; das erste Folgenglied b1=144 und
der Quotient q= ½]
 1, 4, 9, 16,… - hier wurden der Reihe nach die natürlichen Zahlen quadriert, d.h. die
Folge geht mit 25, 36,… weiter. Diese Folge ist weder eine arithmetische Folge noch
eine geometrische Folge, das allgemeine Bildungsgesetz würde lauten: n².
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Lösung „arithmetische und geometrische Folgen“:
3 2
2
3
a)  ;1; ;...   geometrische Folge mit q= und b1= ; b5  0,296, s5  3,9
2 3
3
2
b) 3, 1, -1, -3, -5,…  arithmetische Folge mit d=-2 und a1=3; a5=-5, s5=-5
c) 3², 6², 12²,…  geometrische Folge mit q=2und b1=3²; b5  48², s5  93²
d) 3, -3, 3,…  geometrische Folge mit q=-1und b1=3; b5=3,s5=3
e) 5, 10, 20,…  geometrische Folge mit q=2und b1=5; b5=80,s5=155
f) 5, 10, 15,…  arithmetische Folge mit d=5 und a1=5; a5=25, s5=75
3 5
g)  1; ;2; ;...   arithmetische Folge mit d=0,5 und a1=1; a5=3, s5=10
2 2
h) 3², 6², 9²,  arithmetische Folge mit d=3² und a1=3²; a5=15², s5=45²
Zurück zum „Zusatz“
Lösung „Grenzwert“:
Die Seite http://www.mathe-online.at/tests/grenz/konvdiv.html liefert zwar Antworten auf die Frage konvergent
oder divergent, aber die jeweiligen Grenzwerte der konvergenten Folgen finden sich auf dieser Website nicht.
Suchen Sie daher in der unten stehenden Liste die jeweilige Folge und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit
meinen. Ich habe manchmal ein paar Folgenglieder berechnet, u.a. auch das 1000. und 1001. – dadurch ist oft
schon zu „sehen“, was die Folge macht.
2n  1
 = 3; 1,25; … 0,66744; 0,667444,… Ich „sehe“, dass die Folge gegen 2/3 strebt.
3n  2
Mathematisch: Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, ist die Folge
2 2n 2
konvergent. Der Grenzwert ist
[ = ; der Rest kann vernachlässigt werden]
3 3n 3

(1) n
 = -0,5; 0,25; -0,8333; …, 0,000000999; -0,000000997 Ich vermute, dass die Folge
n²  n
abwechselnd von rechts und links gegen 0 strebt. Mathematisch muss ich eine Fallunter1
scheidung machen. Für gerade n lautet die Folge 
 und die strebt auf jeden Fall gegen
n²  n
1
0. Für ungerade n lautet die Folge 
 und die strebt ebenfalls gegen 0. Die Folge ist
n²  n
daher konvergent, der Grenzwert ist 0.

6n²  3n  1
6n²  3n  1
=
 = 0,28; 0,8; …, 5,95526; 5,955306. Es lässt sich vermuten,
n²  8n  16
(n  4)²
dass die Folge gegen 6 strebt. Mathematisch: Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des
6n ²
Nenners ist, ist die Folge konvergent. Der Grenzwert ist 6 [
=6; der Rest kann
n²
vernachlässigt werden]

n 1
 = 0,4; 1; 4; 5; 2; … 0,5022579; 0,5022556 Es lässt sich vermuten, dass die Folge
2n  7
gegen 0,5 strebt. Das Betragszeichen spielt nur für n=1, 2, 3 eine Rolle, kann daher
n 1
vernachlässigt werden. Die Folge 
 ist konvergent und strebt gegen 0,5.
2n  7

3
n²  2
2n ³  1
n 4 1

 sowie 
 sowie  1
 sind divergent. Mathematisch: Da der Grad
7n  3
3n ²  6n  2
n2  2
des Zählers größer ist als der Grad des Nenners strebt die Folge gegen   Kein Grenzwert.
(1) n .(n  1)
Bei 
 muss ich eine Fallunterscheidung machen. Für gerade n lautet die Folge
n2
n 1
 n 1

 und sie strebt gegen 1. Für ungerade n lautet die Folge 
 und sie strebt gegen
n2
n2
-1. Eine Folge kann aber per Definition nur einen Grenzwert haben  Die Folge ist divergent.
Dass die Folge gegen -1 und gegen 1 strebt, kann mathematisch so ausgedrückt werden, dass
-1 und 1 Häufungspunkte der Folge sind.
Zurück
Lösung „Lernzielüberprüfung“:
1) Gegeben ist eine arithmetische Folge mit a1= -7 und d=5. a) Geben Sie die ersten 5
Folgenglieder an, b) berechnen Sie das 10. Folgenglied und c) die Summe der ersten 15
Folgenglieder!
a) Die ersten 5 Folgenglieder lauten: -7, -2, 3, 8, 13
b) an = a1 + (n-1).d  a10 = -7 + (10-1).5 = -7 + 45 = 38  Das 10. Folgenglied ist 10.
c) sn =
n
15
. [2.a1 + (n-1).d]  s15 = . [2.(-7) + (15-1).5] = 420
2
2
 Die Summe der ersten 15 Folgenglieder ist 420.
3
. a) Geben Sie die ersten 5
5
Folgenglieder an, b) berechnen Sie das 10. Folgenglied und c) die Summe der ersten 15
Folgenglieder! d) Hat die zugehörige Reihe eine Summe? Wenn ja, berechnen Sie sie.
2) Gegeben ist eine geometrische Folge mit b1= -125 und q= –
a) Die ersten 5 Folgenglieder lauten: -125, 75, -45, 27,
b) bn=b1.qn-1  b10 = -125.( –
81

5
3 9
) 1,26  Das 10. Folgenglied ist ca. 1,26.
5
15
 3
1  
n
1 q
5
c) sn = b1.
 s15 =  125. 
 - 78,16
1 q
 3
1  
 5
 Die Summe der ersten 15 Folgenglieder ist ca. -78,16.
d) Die Reihe hat eine Summe, da q= –
s = b1.
1
 s =  125.
1 q
3
und damit zwischen -1 und 1 liegt.
5
1
1
5
 125.  125. = - 78,125
8
8
 3
1  
5
 5
 Die Summe der Reihe beträgt - 78,125.
3) Gegeben sei die Folge 
4n

8n  5
a) Geben Sie die ersten 4 Folgenglieder an!

4 8 12 16
,
,
,

3 11 19 27
b) Beweisen Sie, dass 2 eine obere Schranke der Folge ist.
D.h.: alle Folgenglieder müssen kleiner bzw. gleich 2 sein 
4n
2
8n  5
4n  16n – 10
.(8n – 5) Da dies sicher größer 0 ist, bleibt das Ungleichheitszeichen.
10  12n
:12
.
0,8 3  n
Diese Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen n
 2 ist eine obere Schranke
c) Zeigen Sie, dass die Folge streng monoton fallend ist.
Streng monoton fallend bedeutet, dass ein nachfolgendes Folgenglied kleiner sein
muss als das vorangegangene. Mathematisch ausgedrückt, bedeutet dies:
an+1 an 
4n
4(n  1)

8(n  1)  5 8n  5
Nun müssen wir überprüfen, ob das stimmt.
4n  4
4n

8n  8  5 8n  5
4n  4
4n

8n  3 8n  5
.(8n – 5).(8n + 3) Beide Nenner  0  Ungleichheitszeichen bleibt
(4n + 4).(8n – 5)  4n.(8n + 3)
32n² + 32n – 20n – 20  32n² + 12n
12n – 20  12n Diese Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen n
 Die Folge ist streng monoton fallend.
d) Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge, und geben Sie an, ab welchem Folgenglied
1
alle weiteren in einer -Umgebung mit =
um den Grenzwert a liegen.
500
4n
1
4 1
=   Der Grenzwert der Folge ist a=
n  8n  5
2
8 2
lim
Um herauszufinden, ab welchem Folgenglied alle weiteren in einer -Umgebung mit
1
=
um den Grenzwert a liegen, muss ich folgende Ungleichung lösen:
500
an – a  
bzw. in diesem konkreten Fall:
4n
1
1
- 
8n  5 2 500
auf gleichen Nenner bringen
1
8n  (8n  5)

500
2.(8n  5)
8n  8n  5
1

16n  10
500
.(16n-10).500 Beide Nenner  0  Ungleichheitszeichen bleibt
5.500  16n-10
+10
2510  16n  156,8  n
Die erste natürliche Zahl, die größer als 156,8 ist, lautet 157  Ab dem 157. Folgen1
1
glied liegen alle weiteren in einer -Umgebung mit =
um den Grenzwert a= .
500
2
4) Welche der Folgen ist konvergent? Bestimmen Sie den Grenzwert der konvergenten
Folgen:
a)
6n ²  8
6n ²  8
6

Die Folge ist konvergent, lim
= -3  Der Grenzwert ist -3.
n   5  2n ²
5  2n ²
2
b)
n  2n ²
Die Folge ist divergent, sie hat keinen Grenzwert.
n3
c)
5n ²  4
5n ²  4
Die Folge ist konvergent, lim
=0  Der Grenzwert ist 0.
n
5n ³
5n ³
5) In einem rechtwinkligen Dreieck bilden die Seiten eine arithmetische Folge. Die längere
Kathete ist 20cm lang. Berechnen Sie die fehlenden Seiten.
Wenn die längere Kathete 20 ist und es sich um eine arithmetische Folge handelt, kann ich
die kürzere Kathete mit 20 – d und die Hypotenuse mit 20 + d ansetzen. Da im
rechtwinkligen Dreieck außerdem der pythagoräische Lehrsatz gilt (also Kathete² +
Kathete² = Hypotenuse²)  20² + (20 – d)² = (20 + d)²
Ausquadriert ergibt das 400 + 400 – 40d + d² = 400 + 40d + d²  400 = 80d  d=5
Daraus folgt, dass die kürzere Kathete (20 – d) 5cm und die Hypotenuse (20 + d) 25cm
lang ist.
6) Einem Quadrat mit der Seitenlänge 10cm wird ein Quadrat eingeschrieben, dessen
Eckpunkte die Seiten des ursprünglichen Quadrats im Verhältnis 2:3 teilen. Und so weiter.
Berechnen Sie die Summe der ersten 5 Quadratumfänge und die Summe ALLER
Quadratflächen
Wenn die erste Quadratseite a1=10cm im Verhältnis
2:3 geteilt wird, ergeben sich Seiten von 4cm und
6cm. Die 2. Quadratseite a2 ist die Hypotenuse eines
rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten von 4cm
und 6cm Länge  a2² = 4² + 6²  a2 = 52
Aus a1=10 und a2 =
a2
52

a1
10
Skizze:
a1
52 kann ich q berechnen. q =
Um die Summe der ersten 5 Quadratumfänge zu
berechnen, verwende ich die Formel
1 qn
wobei b1 der Umfang des 1. Quadrats,
1 q
also 40cm ist 
4cm
sn = b1.
5
 52 

1  
10 

s5 = 40.
115,46
52
1
10
6cm
 Der Umfang der ersten 5
Quadratumfänge beträgt ca.
115,46cm.
1
verwenden,
1 q
allerdings muss ich für b1 den Flächeninhalt des 1. Quadrats (= 100cm²) einsetzen und da
52
q=
ein q der Längen war, muss ich es quadrieren, um zu einem qFläche zu kommen.
10
52
Das nun benötigte q=
. Dies alles in die Formel eingesetzt, ergibt:
100
Für die Summe aller Quadratflächen kann ich auch die Formel s = b1.
s = 100.
.
1
100
 100.
 208, 3
52
48
1
100
 Der Flächeninhalt ALLER Quadratflächen beträgt ca. 208,3cm².
7) Ist die folgende geometrische Reihe konvergent? Wenn ja, berechnen Sie deren Summe:
9 27
43 
 ...
4 16
3
, also einen Wert, der zwischen -1 und 1 liegt und ist
4
damit konvergent. Zur Berechnung ihrer Summe verwende ich folgende Formel:
Diese geometrische Reihe hat q=
s = b1.
1
1 q
 s = 4.
1
1
 4.  4.4 = 16
1
3
1  
4
4
 Die Summe der unendlichen geometrischen Reihe beträgt 16.
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