Formeln

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06.04.2017 13:22
Vergleich der Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik
In der klassischen Mechanik (nicht relativistisch) gilt die Hamilton-Jacobi Gleichung:
S
1

S  S  V  0 (-> EES)
t 2m


mit der Wirkung (dem Impulspotential) S ( x , t ) und p  S .
(1)
Für ein Ensemble von Teilchen gilt außerdem die Kontinuitätsgleichung:
(2)

 1

   S   0
t
 m

(-> MES)
Ist der Ort und der Impuls der Teilchen nicht genau bekannt, so kann man eine

Wahrscheinlichkeitsdichte P ( x , t ) verwenden mit:
 Pd
(3)
n
x  1 (Normierung) und
P
 1

  P S   0 (Kontinuität)
t
 m

 

N (und der Impulsunschärfe N  N  N
Mit der Impulsfluktuation
1/ 2
) ist dann der Impuls


p  S  N .
Und man erhält statt (1)
(4)
S
1
C  1
2 2 

S  S  V 

P


P

 P  0

t 2m
2m  P 2
P

Die Gleichungen (3) und (4) lassen sich in der Schrödingergleichung
i / t  ( 2 / 2m) 2  V
zusammenfassen, wobei gilt:
  P exp( iS / )
,
C  ( / 2) 2
Der Zusatzterm in Gl. (4) wird manchmal als Quantenpotential bezeichnet und lässt sich mit der
Amplitude
A  P kompakter schreiben: [ ] =  4 2 A / A (Beispiel: harmonischer Oszillator). Mit
  1 dP  2 
 x    P
 dx 
  P dx 

 x N  C 
1 / 2
(im Falle einer Gauß-Verteilung P ist  x
2
die Varianz) gilt dann:

2
als „exakte Unschärferelation“ (siehe M. Hall und M. Reginatto, Schrödinger equation from an exact
uncertainty principle, E-print quant-ph/0102069, 9.4.2002), aus der  x  p   / 2 folgt.
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Die beiden wichtigsten Unterschiede von Quantenphysik und klassischer Physik sind also zunächst
1. Eine neue Naturkonstante h und damit ein neues Maß (eine ‚Quantisierung’) von Größen mit
der Dimension einer Wirkung, also die Wirkung selbst, aber auch die Produkte Wirkung mal
Winkel, Energie mal Zeit, Ort mal Impuls, sowie Bahndrehimpuls und Spin.
2. Eine untere Schranke für das Produkt der Unschärfen komplementärer Größen. Die Ableitung
von Quantisierungsregeln (oder auch ganzen Quantisierungstheorien) basiert im
Wesentlichen auf der Komplementarität.
Punkt 2 beinhaltet ein weiteres Prinzip der Quantenphysik (Zufallspostulat):
3. Es gibt den Zufall wirklich (zumindest innerhalb einer Phasenraumzelle mit dem Volumen h).
Allerdings ist der Zufall der Quantenphysik nicht zufälliger als der Zufall der klassischen
statistischen Physik, man muss nur andere Regeln anwenden, um die Wahrscheinlichkeiten
zu berechnen (Superposition s.u.).
Ein Prototyp für die Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik ist die Schrödingergleichung. Aus
ihr folgt:
4. Die Entwicklung eines Zustandes ist
a) determiniert und es gilt
b) das Superpositionsprinzip.
Daraus folgen auch Nichtlokalität und Verschränktheit.
Es bleibt noch ein fünfter Punkt:
5. Dies ist weder ein Prinzip noch ein Postulat noch eine zweite Bewegungsgleichung der
Quantenphysik, sondern ein Problem (der Interpretation?): Man weiß nicht, was die
Schrödingergleichung außer Kraft setzt, wenn bei einer Messung aus einer Superposition eine
Projektion wird, kann aber die Wahrscheinlichkeit dafür exakt berechnen. Manche sprechen
vom Kollaps, manche von vielen Welten. Ein erfolgversprechendes Rezept scheint die
Dekohärenz zu sein, wenn man die deterministische Schrödingergleichung über den Zufall
mit der kausalen klassischen Physik in Kontakt bringen will.
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