Phasenraum und Liouville-Gleichung (Do, 27.10.2011) Klassische

Phasenraum und Liouville-Gleichung (Do, 27.10.2011)
Klassische Betrachtung:
Der Zustand eines Systems von Teilchen in einem Zustand ist bestimmt durch die Angabe
der Orte und Geschwindigkeiten bzw. Impulse der Teilchen (6 Freiheitsgrade). Klassisch
entspricht ein Mikrozustand der Angabe der Impulse und Orte aller Teilchen. Der 6Ndimensionale Γ-Raum wird Phasenraum des Systems genannt. Ein makroskopischer Zustand
ist im Allgemeinen durch eine Vielzahl von möglichen Mikrozuständen gegeben
(kompatibel). Die Menge der Punkte, die einen Makrozustand repräsentieren, nennt man
Ensemble (Gesamtheit). Im Prinzip lässt sich mit einem gegebenen Anfangszustand die
zeitliche Folge der Mikrozustände (Trajektorie) durch Lösen der Bewegungsgleichungen für
alle Folgezeiten berechnen. Zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung ist es günstig, die
Hamilton’schen
Bewegungsgleichungen
zu
verwenden
(diese
stehen
der
quantenmechanischen Behandlung am nächsten).
Es gilt für konjugierte Koordinatenpaare:
qi H

t pi
pi
H

t
qi
mit H  H (qi , pi , t )i 1...N
Wenn H nicht explizit von der Zeit abhängt, entspricht H = V+T der Gesamtenergie des
Systems:
N
H (q, pi )  Etot   ( Ekin ( pi )  Ekin (qi ))  const.
i 1
Man kann die Hamilton’schen Gleichungen auch in die Newton‘schen Bewegungsgleichungen umwandeln.
Bewegung im Phasenraum an einem Beispiel: harmonischer Oszillator für ein Teilchen, dass
in x-Richtung um eine Gleichgewichtsposition (x=0) schwingt. Für den Fall, dass keine
Energie hinzugefügt oder abgezogen wird, gilt:
px2 1 2
 kx  const.
2m 2
px2
kx2
p 2 kx2
1

 2x  2
2mEtot 2 Etot b
a
H ( x, p x ) 
Die letzte Gleichung zeigt, dass die Bewegung eines Teilchens einer Ellipse im –Raum
entspricht. Dieser „Unterraum“ entspricht dem für den harmonischen Oszillator verfügbaren
Anteil des –Phasenraums und bildet eine geschlossene Trajektorie.
Die Bewegungsgleichungen lassen sich ableiten:
x H
p2

 x
t px
m
px
H

 kx
t
x
 2 x 1 px
1 H
1


  kx
2
t
m t
m x
m
2
 px
x
H
k
 k
 k
  px
2
t
t
px
m
 k 
 k 
 x(t )  xo cos
t  , p(t )  po cos
t 
m
m




Für Systeme aus sehr vielen Teilchen wird ein Makrozustand durch eine Wolke (Ensemble)
von Mikrozuständen repräsentiert. Die Häufigkeit, mit der ein Punkt in dieser Wolke auftritt,
wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(p, q, t) beschrieben. Die Wahrscheinlichkeitsdichte und deren zeitliche Entwicklung sind von zentraler Bedeutung für Berechnung
makroskopischer Eigenschaften. Wie entwickelt sich ρ(p, q, t)? Wir gehen von einem
Volumen V im Phasenraum aus:


d
d ( p, q, t )   dS n v  ( p, q, t )

dt V
S

v  ( p1 , p 2 ,.... p 3 N , q1 ,....q3 N )
Dabei ist v die Geschwindigkeit von Phasenraumpunkten. Da keine neuen
Phasenraumpunkte in einem Volumen entstehen können, gilt (mit Gauß‘schem Theorem):

  ( p, q, t )

 div (v  ( p, q, t ))  0
t

 d
V
Da dies für beliebige Volumina gilt, muss der Integrand verschwinden und es gilt:

3N
3N
3N





 3 N  p i qi 

 div (v  ( p, q, t ))   ( p i  )   (qi  )   p i
 qi
  

t
pi
qi i 1  pi qi 
i 1 pi
i 1 qi
i 1
Mit Hilfe der Hamilton‘schen Bewegungsgleichungen kann man zeigen, dass der letzte
Term verschwindet. Man erhält die Liouville-Gleichung, die die Bewegungsgleichung für
eine klassische Verteilungsfunktion ρ (p, q, t) angibt:

 3 N 
 3 N H  H 
  p i
 qi


  , H 
t i 1 pi
qi i 1 qi pi pi qi
Der Ausdruck {ρ, H} wird auch als Poissonklammer bezeichnet. Die Bewegung eines
Ensembles im Phasenraum kann man sich als eine Strömung einer inkompressiblen
Flüssigkeit vorstellen (Bündel von Phasenraumtrajektorien). Die Phasenraumdichte entlang
einer Trajektorie bleibt konstant. Auch das Volumen eines Ensembles bleibt dabei konstant,
es kann aber seine Form verändern.
Ergodizitätssatz:
Ein Punkt im Phasenraum wird mit der Zeit jedem beliebigen verfügbaren Phasenpunkt
(auch seinem Startpunkt) nahe kommen (im Falle einer nicht geschlossenen Bahn wird
jedoch ein bereits besuchter Punkt nicht wieder besucht-> Eindeutigkeit der Lösung). Eine
Konsequenz dieses Satzes ist, dass für genügend lange Zeiten das Scharrmittel einer
Messgröße gleich dem Zeitmittel ist.
Mikrokanonisches Ensemble
Wir betrachten nun ein abgeschlossenes System bei konstanter Energie (Teilchenzahl und
Volumen auch konstant), mit
E<H(p,q)<E+δE,
δE beliebig klein
Im Gleichgewicht (d.h. keine zeitliche Änderung der Phasenraumdichte) bezeichnet ein so
definierter Teil des Phasenraums das mikrokanonische Ensemble (mikrokanonische
Gesamtheit). Auf Grund der Aussagen zur Phasenraumdichte entlang einer Trajektorie und
dem Verschwinden der zeitlichen Änderung der Phasenraumdichte ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte für den so definierten zugänglichen Bereich gleich. Alle
zugänglichen Phasenraumpunkte sind gleichwahrscheinlich. Dies wird auch oft als Postulat
formuliert:
Für abgeschlossene (isolierte) Systeme mit konstanter Energie (mikrokanonische
Gesamtheit) gilt, dass alle erreichbaren Mikrozustände gleichwahrscheinlich sind. Die
Summe (oder das Integral) über aller zugänglichen Zustände nennt man die Zustandsumme
(o. Zustandsintegral) des Ensembles.
Quantenmechanik
Wir wissen, dass die klassische Mechanik nur näherungsweise gilt. Die klassische Mechanik
ergibt sich als Grenzfall der Quantenmechanik für hohe Energien. Welche Zustände sind
quantenmechanisch erlaubt, bzw. wie sieht deren zeitliche Entwicklung aus?
Eine wichtige Konsequenz der Quantenmechanik ist, dass zu einander konjugierte klassische
Variablen wie qi und pi nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit messbar sind
(Heisenbergsche Unschärferelation). In der Quantenmechanik treten Systemzustände mit
abzählbaren diskreten Energieniveaus auf. Der mikroskopische Zustand wird durch die
Angabe einer Wellenfunktion ψ (q1, q2, …qN) bzw. ψ (p1, p2, ..pN, t) charakterisiert. Die
Wellenfunktionen ergeben sich als Lösungen der Schrödingergleichung:
H n  i
 n
t
Diese enthält den Hamiltonoperator (quantenmechanisches Pendant zur klassischen
Hamiltonfunktion). Dabei sind Impulse und Orte durch entsprechende Operatoren ersetzt.
3N
H  
i 1
2 2
 EPot (q1 ,....q3 N )
2m q 2
Falls der H-Operator nicht explizit von der Zeit
Schrödingergleichung durch einen Separationsansatz lösen:
abhängt,
kann
man
die
i

 n (t )   n exp(  EN t )
Die ψn sind dann Eigenfunktionen (Lösungsfunktionen) des Hamiltonoperators für die
stationäre (zeitunabhängige) Schrödingergleichung mit diskreten Eigenwerten (Energien
EN).
H n  EN  n