Übung 4

Übung 4
1. Unterhalb welchen Wertes liegen 95% aller möglichen Werte einer T-verteilten
Zufallsvariablen bei df=20 Freiheitsgraden?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine T-verteilte Zufallsvariable bei df=9
Freiheitsgraden größer als 1,1 ist?
3. Betrachten Sie bitte den Mittelbereich einer T-Verteilung (der Bereich um den Wert
0): Zwischen welchen Werten liegen 90, 95 bzw. 99% der gesamten Verteilung bei
df=10 Freiheitsgraden? Der gesuchte Wertebereich soll jeweils aus zwei gleich großen
Teilen rechts und links des Wertes 0 bestehen.
4. Werden die Unterschiede größer oder kleiner, wenn man eine T-Verteilung mit df=30
Freiheitsgraden zugrundelegt?
5. Unterhalb welchen Wertes liegen 75% aller möglichen Werte einer 2-verteilten
Zufallsvariablen mit df=5 Freiheitsgraden?
6. Warum kann man häufig davon ausgehen, dass Statistiken, die man in Stichproben
berechnet (z.B. das arithmetische Mittel), zumindest näherungsweise normalverteilt
sind?
a. Wie wird der entsprechende Satz der theoretischen Statistik bezeichnet, und
was sind seine wesentlichen Aussagen?
b. Ab welchem Stichprobenumfang geht man üblicherweise davon aus, dass eine
näherungsweise Normalverteilung gilt?
7. Noch einmal die Einkommensverteilung (Parameter der Grundgesamtheit leicht
variiert): Das Durchschnittseinkommen der Erwerbsbevölkerung betrage 2500 Euro
(mit Standardabweichung 1500). Im Gegensatz zur letzten Woche geht es jetzt jedoch
nicht um die Verteilung der Einkommen in der Grundgesamtheit, sondern um die
Verteilung des Durchschnittseinkommens in einer Zufallsstichprobe von 100
Erwerbstätigen:
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Durchschnittseinkommen in
dieser Stichprobe 2600 Euro und mehr beträgt?
b. In welchem Bereich erwarten Sie 95% aller möglichen
Durchschnittseinkommen?
c. Wie verändert sich dieser Bereich, wenn man den Stichprobenumfang auf
10.000 Personen erhöht?
d. Warum ist es bei diesen Berechnungen (Frage a-c) nicht notwendig
anzunehmen, dass Einkommen in der BRD normalverteilt sind?
8. Wir behandeln jetzt die Stichprobe von Benninghaus, der 60 Bedienstete befragt hat.
Deren Durchschnittsalter beträgt 41.383 Jahre. Schätzen Sie aufgrund der
Altersangaben in der Stichprobe das Durchschnittsalter aller männlichen Beschäftigten
des öffentlichen Dienstes der westdeutschen Großstadt (Punktschätzung).
9. Aus einer früheren Beschäftigtenstatistik (Totalerhebung 1975) ist noch bekannt, dass
die Standardabweichung aller Altersangaben =10 beträgt. Berechnen Sie das 95%Konfidenzintervall für die Punktschätzung aus Frage 8.
10. Wie verändert sich das Intervall, wenn Sie
a. eine größere,
b. eine geringere Sicherheit bei der Prognose zugrundelegen?
c. eine kleinere,
d. eine größere Stichprobe verwenden?
11. Die Angabe, dass die Standardabweichung in der Grundgesamtheit 10 ist, ist veraltet.
Daher bietet es sich an, σ aus der Stichprobe zu schätzen, das wäre s=11.278.
Berechnen Sie das entsprechende 95%-Konfidenzintervall, das vollständig auf den
Stichprobeninformationen beruht.
12. In Statistik I haben wir bereits besprochen, dass 40% der 60 von Benninghaus
befragten männlichen Beschäftigten Vorgesetztenfunktionen haben. Wenn Sie nun für
die westdeutsche Großstadt eine Aussage über den Anteil der Vorgesetzten unter allen
männlichen Beschäftigten des öffentlichen Dienstes machen sollten, in welchem
Bereich würden Sie diesen Anteil mit 90%iger Wahrscheinlichkeit vermuten?
13. Bei der letzten Umfrage der Forschungsgruppe Wahlen vor der Bundestagswahl 1994
gaben 42,5% der 1250 Befragten mit Wahlabsicht an, CDU/CSU wählen zu wollen.
Bitte berechnen Sie das 99%-Konfidenzintervall für den Anteil der CDU/CSU unter
allen Wählern und interpretieren Sie das Ergebnis! In der gleichen Umfrage gaben
3,5% der Befragten mit Wahlabsicht an, die PDS zu wählen. Berechnen Sie auch für
diese das 99%-Konfidenzintervall.