eindimensionale Bewegung mit konstanter

3. Hausübung: 1-dimensionale, gleichmäßig beschleunigte Bewegung,
gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung
Aufgabe 3.1: Eine Punktmasse (PM) bewegt sich längs einer Geraden und hat bei t  0





den Ort r (0)  2 m e x und die Geschwindigkeit r (0)  (m / s)(  3 e x  2 e z ) .

Ihre Beschleunigung ist konstant und vom Betrage r  2 (m / s 2 ) .
a) Berechne die Koordinaten der Beschleunigung für die beiden möglichen Fälle.
b) Welche Geschwindigkeit hat die PM zur Zeit t1  8 s ?
c) An welchem Ort befindet sie sich zu diesem Zeitpunkt ?
d) Welchen Weg hat sie innerhalb dieser Zeit zurückgelegt ?
e) Skizziere die Graphen der Beschleunigungs- , der Geschwindigkeits- und der Ortskoordinaten jeweils in Abhängigkeit von t.
Aufgabe 3.2: Ein Rad beginnt, aus der Ruhe heraus, um seine horizontale Achse zu rotieren, so daß seine Winkelgeschwindigkeit innerhalb von  1 gleichförmig auf  1
anwächst, mit  1  2 min,  1   ( 1 )  200 min 1. Nachdem sich das Rad eine gewisse Zeit
 2 mit dieser Winkelgeschwindigkeit gedreht hat, wird es innerhalb von  3  5 min gleichmäßig bis zum Stillstand abgebremst. Die Gesamt-Drehzahl des Rades ist N  3100 .
   ( t) gibt den Drehwinkel des Rades als Funktion der Zeit t an.
a) Gib die Winkelgeschwindigkeit    ( t) als Funktion der Zeit t an und skizziere den zugehörigen Graphen.
b) Berechne die Dauer  2 der gleichförmigen Rotation des Rades und die Gesamt-Drehzeit
T des Rades.
c) Um welchen Winkel ( T ) hat sich das Rad insgesamt gedreht ?
Lösungen zur 3. Hausübung
Aufgabe 3.1: a) Wenn die Bewegung längs einer Geraden erfolgen soll, dann muß die Beschleunigung parallel (Vorzeichen +) oder antiparallel (Vorzeichen – ) zur

 r(0)
Geschwindigkeit gerichtet sein, also r ( t)   r 
gelten. Das bedeutet aber, daß gelr (0)

ten muß, r  13 (m / s) ,





2  3 (m / s) e x  2 (m / s) e z
xe x  y e y  ze z   2 (m / s )
.
13 (m / s)
  
Skalere Multiplikation mit den drei Basisvektoren e x , e y , e z liefert schließlich
6
x( t)  
13
m s 2 ,
y( t)  0 ,
z( t)  
4
13
m s 2 .
b) Um den Geschwindigkeitsvektor zu bekommen, muß der Beschleunigungsvektor über
die Zeit t integriert werden. Man erhält

r ( t) 



6
4
 ex (
m s 2 ) dt  e z (
m s 2 ) dt
13
13




6
4
r ( t)  
m s 2 t e x 
m s 2 t e z  C1.
13
13
 r ( t) dt


Die Konstante ergibt sich aus der
Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit
 gegebenen


r (0) in diesem Falle einfach zu C1  r (0) . Damit ist







r ( t)   e x 3 1  (2 / 13 )( t / s) ms 1  e z 2 1  (2 / 13 )( t / s) ms 1




2 t
1
r ( t)  1 
 ( 3 e x  2 e z ) m s .

13 s 




Dann ergibt sich r (8 s)  5,437 601 569 ms 1 ( 3 e x  2 e z )  19, 606 ms 1 e v , falls Beschleumigung und Anfangsgeschwindigkeit parallel,




r (8 s)   3,437 601 569 ms 1 ( 3 e x  2 e z )   12,394 (m / s) e v , falls Beschleunigung und



Anfangsgeschwindigkeit antiparallel sind. Dabei ist e  r (0) / r (0) .
v

c) r ( t) 



 t
r ( t) dt  ( 3 e x  2 e z ) 
s
2

1 t 
  m  C2 ,
13  s  



C 2  r (0)  2 me x.


Man könnte auf die Idee kommen, (3e x  2e z )(( t / s)  (1 / 13 )( t / s) 2  C2 ) zu schreiben.
Das
 ist aber falsch, weil man damit die lineare Unabhängigkeit der Koordinaten des Vek-tors
C 2 verletzt.




Es folgt r (8 s)  (  75, 251 218 8 e x  51, 500 812 54 e z )m  91187
,
058 42 me1 für Paralle



lität, und r (8 s)  (31, 251 218 8 e x  19, 500 812 5 e z )m  36,836 399 98 me 2 für Antiparallelität von Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit.



e1   0,825 240117 e x  0,564782036 e z ,



e 2  0,843 878745 e x  0,529 389747 e z .
t1
d) Der von der PM innerhalb der Zeit t1 zurückgelegte Weg ist durch s( t 1 ) 
 v( t) dt
0
gegeben. Den Betrag des berechneten Geschwindigkeitsvektors erhält man zu

v( t)  13  2 ( t / s) ms 1 .
Für den Fall, daß (konstanter) Beschleunigungsvektor und der Vektor der Anfangsgeschwindigkeit parallel sind, gilt das Pluszeichen, und man kann wegen t > 0 die Betragstriche einfach weglassen, weil die Summe aus zwei positiven Summanden stets positiv ist.
Dann folgt (der Weg wird von hier an mit ~
s( t) bezeichnet, um Verwechslungen mit der
Zeiteinheit s für Sekunde zu verhindern)
~
s( t 1 ) 
t1
(
13  2( t / s))m s 1 dt  m ( 13 ( t 1 / s)  ( t 1 / s) 2 )  (8 13  8 2 ) m  92,844 410 2 m
0
Falls beide Vektoren aber antiparallel sind, gilt das Minuszeichen, und die Betragstriche
können wegen a  a für a > 0 und a   a für a < 0 nicht einfach weggelassen werden.
Man muß prüfen, ob 13  2 ( t / s) innerhalb der Laufzeit t1das Vorzeichen wechselt, was
ja bedeutet, daß die PM zu dieser Zeit ihre Bewegungsrichtung umkehrt!
Das ist offensichtlich bei t  t u  ( 13 / 2) s der Fall. Daher muß man schreiben
~
s( t 1 ) 
tu
(
13  2( t / s)) ms
0
1
t1
dt 
 (
13  2 ( t / s)) ms 1 dt
tu
~
s( t1 )  m 13 ( t u / s)  m( t u / s) 2  m 13 (( t1 / s)  ( t u / s))  m(( t1 / s) 2  ( t u / s) 2 )
~
s( t1 )  2 13 m( t u / s)  2 ( t u / s) 2 m  m 13 ( t1 / s)  m( t1 / s) 2  41655
,
589 8 m
e) die Graphen 
x, x, x / 
y, y , y / z, z, z
Dargestellt werden die folgenden Koordinaten-Zeit-Funktionen
x / (m / s 2 ), z / (m / s 2 ), x / (m / s), z / (m / s), x / m und z / m als Funktionen von t / s für
t / s  [0 , 8], wobei für t / s in Mathematika aber e inf ach t geschrieben wird
von Beschleunigungs-, Geschwindigkeits- und Ortsvektor.
Plot[-6/Sqrt[13],{t,0,8}]
-1.4
-1.5
-1.6
-1.7
-1.8
-1.9
2
4
6
8
Plot[4/Sqrt[13],{t,0,8}]
2
1.5
1
0.5
2
4
6
8
Plot[-3*(1+2/Sqrt[13])*t),{t,0,8}]
-4
-6
-10
2
4
-12
-14
-16
Plot[2*(1+(2/Sqrt[13])*t),{t,0,8}]
6
8
10
8
6
4
2
4
6
8
Plot[2-3*t*(1+t/Sqrt[13]),{t,0,8}]
2
4
6
8
-20
-40
-60
Plot[2*t*(1+t/Sqrt[13]),{t,0,8}]
50
40
30
20
10
2
4
6
8
Aufgabe 3.2: a) Die Winkelgeschwindigkeit muß in den Phasen konstanter Winkelbeschleunigung eine lineare Funktion der Zeit sein. Demnach muß gelten
 ( t)  a t  b , mit noch unbekannten Konstanten a und b. Diese Funktion muß aber die
 ( 1 )  
 1 erfüllen, d.h. es muß 0  a 0  b, 
 1  a  1  b sein.
Bedingungen  ( 0 )  0 und 
 1 /  1 und b  0 . Für das gleichmäßige Abbremsen muß wieder
Daraus folgt a  
 ( 1   2 )  
1, 
 (T)  0
 ( t)  A t  B gelten, und diese Funktion muß die Bedingungen 
 1 / 3 , B  
 1 ( T /  3 ) . Insgesamt bekommt man
erfüllen. Daraus folgt A   
 ( t) 
( 1/  1 ) t ,
0  t  1
 1 ,
1  t  1   2
 ( 1/  3 )( t   1   2 )   1 ,
1   2  t  T
 ( t1 ), 
 ( t 2 ) die zugehörigen
Man kann auch so vorgehen: sind t 1 , t 2 beliebige Zeiten, 
Winkelgeschwindigkeiten, so ist
 ( t) 
  (t) dt


 ( t1 )
 ( t 2 )  
t 2  t1
 1  0

dt 
1
0
dt  ( 1 /  1 ) t  C1
die Winkelgeschwindigkeit zur Zeit t, mit einer Integrationskonstanten C1. Diese bestimmt
man aus der Anfangsbedingung    ( 0) . Man erhält C1 = 0 und damit das bekannte Ergebnis. Analog erhält man
 ( t) 

 ( T)   ( 1   2 )
T  ( 1   2 )
dt 

0   1
3
dt   ( 1 /  3 ) t  C 2 .
 ( 1   2 )  
 1 , und man erhält C2  
 1  (
 1 /  3 )( 1   2 )
Die Anfangsbedingung ist hier 
und damit das bereits bekannte Ergebnis.
1
T

1   2

Da natürlich  ( T)   ( t) dt   ( t) dt 
0

1
0
T
 ( t) dt 
  ( t) dt ,
T  1   2   3
1   2
sein muß (mit der dem jeweiligen Integrationsintervall entsprechenden Funktion ( t ) und
 ( T )  N 2  gilt (das beantwortet sofort Frage d)), hat man zwei Gleichungen für die beiden
unbekannten Zeiten T und  2 , nämlich
N2  
1
2
 1  1   1  2 
mit der Lösung b) T 
1
2
 1  3 
1
2
 1 ( T   2 ) und T   1   2   3 ,
N2 
1
N2 
1
 (  1   3 ) , c)  2 
 ( 1   3 ) .
 1
2
 1
2
Zahlenbeispiel : T = 100, 889 372 2 min,
 2 = 93, 889 372 26 min.
Da  2 nunmehr bekannt ist, ist die Winkelgeschwindigkeit eine vollständig bekannte
Funktion der Zeit t, und ihr Graph kann gezeichnet werden.
d) Der Gesamt-Drehwinkel ist ( T)  N 2   19.477, 874 45 ,
( T)  1116
.
. 000 0 .