Beispiele für Lösungen von linearen Gleichungssystemen

Beispiele für Lösungen von linearen Gleichungssystemen
mit zwei Unbekannten
eindeutig
1 
 
 2
ein Parameter beliebig
3  2y 

 y  IR
y

ein Parameter beliebig
x


 x  IR
1,5  0,5 x 
andere Darstellungen:
Anwendung der Addition von
Matrizen (Vektoren)
3   2y 
   
 y  IR
 0  y 
Anwendung der verallgemeinerten
„Vervielfachung“, Multiplikation
einer Matrix (eines Vektors) mit einer
reellen Zahl,
genannt skalare Multiplikation
3
  2
   y    y  IR
 0
1 
Definition: Multiplikation einer Matrix (eines Vektors) mit einer reellem Zahl:
Jede Komponente der Matrix (des Vektors) wird mit der reellen Zahl multipliziert.
Schreibe dies allgemein mit aij und r  IR auf und anhand zweier Beispiele:
Charlotte Schmengler 2006
LINEARE ( UN-) ABHÄNGIGKEIT VON VEKTOREN
Definition: Einen Term der Form r1  v1  r2  v2  ...  rn  vn mit reellen Zahlen r1…rn , n>1,
nennt man Linearkombination der Vektoren v1 bis vn .
Definition: Vektoren heißen linear abhängig, wenn man jeden von ihnen als
Linearkombination der übrigen Vektoren schreiben kann. Ist dies nicht möglich, heißen sie
linear unabhängig.
Beispiele:

3 
  6
3    6
  und   sind linear abhängig, denn (2)      
  1
2 
  1  2 

3    6
1 
  ,   und   sind linear unabhängig,
  1  2 
 2
denn die Gleichung
3 
  6  1 
r    s     
  1
 2   2
hat keine Lösung.
Aufgabe 1: Zeige das.
Aufgabe 2:
a) Prüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind:
 2    3  3
  ,   ,  
 0,5   6   3 
 1   4 
b) Gegeben sind   ,  
Gib einen dritten Vektor an, so dass die drei Vektoren
 0,5   7 
linear abhängig / unabhängig sind.
Aufgabe 3:
a) Erfinde weitere Aufgaben und löse sie. auch mit dreidimensionalen Vektoren (d. h.
mit 3 Komponenten).
* b) Stellt Aufgaben für MitschülerInnen auf einer Folie zusammen.
Charlotte Schmengler 2006
Beispiele für linear unabhängige Vektoren:
1   0   0 
1  1   1
     
     
 0 , 1 ,  0 
 0 , 1, 1 
 0   0  1 
 3  1 1 
     
     
 2  4  7
 ,  ,  
 4 3  5 
Beispiele für linear abhängige Vektoren:
 2  2  7
 ,  ,  
 4  1   5 
Charlotte Schmengler 2006
 2   6 
 , 

 5    15 
1    3    4 
     
 4 ,  2 ,   2 
1  1   0 
     