Einstieg in das Arbeiten mit der dynamischen Geometriesoftware

T3-Fortbildung
IGS Wallrabenstein Hünstetten
15.02.2005
Einführung in die Arbeit mit einer
dynamischen Geometriesoftware
Matthias Grasse, Hadamar
[email protected]
Michaela Zöller, Beselich-Obertiefenbach
[email protected]
Euklid - Dynageo
Cabri Géometrè II Plus
Zeitplan:
14:30 – 15.45
Workshop Teil I
0. Meine Koordinaten
1. Einstieg in die Arbeit mit EUKLID (Teil 1)
- einfache Dreieckskonstruktionen
- Berechnungen am Quadrat
- Viereckskonstruktionen
- Die Werkzeuge Form und Farbe
- Punkt- und Achsenspiegelung
- Drehung eines Objektes
ca. 15.45
KAFFEEPAUSE
16.00 -17.30
1. Einstieg in die Arbeit mit EUKLID (Teil 2)
- Erstellen eines Makros
- Zusatzaufgaben:
 Innere und äußere Tangenten an zwei Kreise
 Parabel / Ortslinieneigenschaft
 Pythagorasfigur
 Abbildungen an dünnen Linsen
2. Einsatz von Euklid im Unterricht
- Lehrplaninhalte
- konkrete Beispiele
3. Links zu dynamischer Geometriesoftware
4. Ausblick
- DGS in der Handheldtechnolgie: Cabri am V200
5. Auswertung des Workshops
Workshop “Dynamische Geometriesoftware” – 15.02.2005
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Hinweis: Zur besseren Lesbarkeit wird ausschließlich die männliche Form verwendet.
Grundsätzlich ist dabei immer die weibliche und männliche Form gemeint.
1. Einstieg in das Arbeiten mit Euklid DynaGeo
Öffnen Sie das Programm Euklid mit Doppelklick.
AUFGABE 1: Einfache Dreieckskonstruktion
Ziel ist die Konstruktion eines Dreieckes mit variabler Basis und einer Höhe von 4cm.
o
Wählen Sie in der Symbolleiste die Karteikarte Konstruieren.
o Konstruieren Sie einen beliebigen Punkt. Benennen Sie ihren Punkt mit A. Dies erreichen
Sie durch Doppelklick mit der Maus auf den Punkt.
o Konstruieren Sie einen zweiten Punkt B.
o Konstruieren Sie die Strecke AB:
Wählen Sie hierzu das passende Symbol aus der Symbolleiste oder in Konstruieren
o Im nächsten Schritt konstruieren Sie
eine Parallele zu AB im Abstand von 4
cm. Dies wie „üblich“ mit folgenden
Einzelschritten:
 Lotgerade zu AB durch A
 Kreis mit Radius r = 4cm
 Schnittpunkt zwischen
Lotgerade und Kreis
markieren
 Parallele zu AB durch den
Schnittpunkt legen
o Legen Sie einen Punkt C auf die Parallele. Wichtig:
Der Punkt muss angebunden werden! (Z.B. mit
Rechtsklick auf den Punkt möglich). Vervollständigen
Sie ihre Konstruktion zu einem Dreieck ABC.
o Bewegen Sie die einzelnen Dreieckspunkte
(Zugmodus)
o Ihre Konstruktion könnte in etwa so aussehen:
Objekte verstecken:
Störende Objekte der Konstruktion können
„versteckt“ werden. Klicken Sie mit der rechten
Maustaste auf das Objekt und wählen Sie „Objekt
verbergen“.
o Mit dem Werkzeug „Bearbeiten- Objekt
verbergen/anzeigen“ können Sie ein verborgenes Objekt wieder sichtbar machen.
o Verbergen Sie den Kreis und die Lotgeraden.
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Aufgabe 2: Berechnungen am Quadrat
o Konstruieren Sie ein Quadrat mit Seitenlänge 6 cm. Messen Sie die Winkel in ihrem
Quadrat. Hierzu verwenden Sie das Werkzeug Messen und Rechnen:
 Messen Sie die einzelnen Winkel
 Lassen Sie die Winkelsumme bestimmen mit Messen – Termeingabe.
Dazu müssen die einzelnen Größen in der Zeichnung angeklickt werden und mit
+ verknüpft werden.
o
Ziehen Sie an den einzelnen Eckpunkten!
Aufgabe 3: Viereckskonstruktionen
o
Konstruieren Sie die folgenden Vierecke und überlegen Sie sich, wie Sie mit Zirkel und
Lineal konstruieren würden. Bewegen Sie ihre fertigen Vierecke mit dem Zugmodus und
testen sie ob die Konstruktionen erhalten bleiben.
 Rechteck mit a = 3 cm, b = 6 cm
 Parallelogramm mit a = 8 cm, b = 10 cm, α = 35°
Aufgabe 4: Verschönern Sie ihre Konstruktionen mit dem Werkzeug Form und Farbe
o
o
o
Ändern Sie z.B. die Darstellungsart der Punkte.
Wählen Sie einzelne Strecken in unterschiedlichen Farben.
…
Aufgabe 5: Punkt- und
Achsenspiegelungen
o Konstruieren Sie eine
Spiegelachse durch zwei neue
Punkte oder definieren Sie die
Spiegelachse durch Angabe
eines Punktes und seines
Spiegelpunktes mit diesem Symbol:
o Verwenden Sie nun das Werkzeug Abbilden.
-mögliche Bilder-
o Spiegeln Sie die Punkte des
Parallelogramms nacheinander an der
Spiegelachse und benennen Sie ihre
Spiegelpunkte (z.B. mit A´, B´,…).
Verwenden Sie hierzu das passende Icon:
Verbinden Sie ihre Spiegelpunkte zu einem
Parallelogramm.
o Ziehen Sie an den einzelnen Eckpunkten.
o Konstruieren Sie ein n-Eck
(Symbolleiste).
o Zeichnen Sie eine Spiegelachse ein.
o Spiegeln Sie ihr Objekt an ihrer
Achse.
o Ziehen Sie an den einzelnen Punkten ihres
n-Ecks und an der Spiegelachse.
o Erstellen Sie ein neues n-Eck und führen Sie
eine Punktspiegelung des Objektes durch.
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Aufgabe 6: Drehung eines Objektes
Führen Sie nun eine Drehung eines Objektes um 150°
um einen Drehpunkt außerhalb des Objektes durch.
o Definieren die ihre Drehung: Gehen Sie in AbbildenDrehung definieren oder verwenden Sie das
passenden Icon der Symbolleiste.
Geben Sie zunächst den zu drehenden
Punkt, das Drehzentrum und einen
Zielpunkt ein.
o Die „Definition“ des Drehwinkels ist etwas mühsam.
Sie müssen eine Halbgerade vom Drehzentrum zu
einem Ihrer Eckpunkte einzeichnen und von dort
eine Winkel in gewünschter Größe konstruieren
o Bestimmen Sie den Drehwinkel und stellen Sie mit
dem Zugmodus den gewünschten Winkel ein.
Messen Sie den Winkel über das Werkzeug „Messen
und Rechnen“. Sie können Ihn dann zur Definition
der Drehung verwenden.
o Drehen Sie nun das gesamte Objekt. (Objekt eingeben, Drehpunkt markieren, Drehwinkel
markieren.)
Zusatzaufgabe1:
Bearbeiten Sie folgende Aufgabe: (Entnommen aus Elemente der Mathematik 7, RLP)
Gegeben ist in einem Koordinatensystem das Dreieck ABC mit A(1/3), B(5/1) und C(4/6).
Konstruiere das Bild von ABC
a) bei einer Spiegelung an der Achse PQ mit P(0/1) und Q(7/5)
b) bei einer Drehung um M(6/2) mit dem Drehmaß φ=55°;
c) bei einer Spiegelung an dem Spiegelzentrum M(3/4)
d) bei einer Verschiebung, die den Punkt P(1/1,5) auf den Punkt Q(6/2,5) abbildet.
Aufgabe 7: Erstellen eines Makros am Beispiel des Seitenmittenvierecks
Zeichnen Sie ein beliebiges Viereck.
Konstruieren Sie den Mittelpunkt jeder Seite und verbinden Sie diese Mittelpunkte.
Es entsteht ein Seitenmittenviereck.
Diese Konstruktion kann als Makro gespeichert werden. Gehen Sie auf Makro- Makro
erstellen. Es erscheint das Fenster: „Alle Startobjekte eingeben“. Klicken Sie auf die 4
Ecken des Vierecks. Jetzt klicken Sie auf „Okay, fertig“ und geben anschließend das
Zielobjekt, das Seitenmittenviereck ein. Nennen Sie das Makro Seitenmittenviereck und
geben Sie gegebenenfalls einen kurzen Erläuterungstext ein.
o Testen Sie ihr Makro! Konstruieren Sie weitere, immer kleiner werdende
Seitenmittenvierecke in das jeweils vorhandene.
o
o
o
o
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Zusatzaufgabe 2: Konstruktion einer Parabel
Definition: Die Parabel ist die Gesamtheit aller Punkte, die von einem festen Punkt
(Brennpunkt) und einer Geraden (der Leitgeraden) den gleichen Abstand haben.
Zusatzaufgabe 3: Äußere und innere Tangenten an zwei Kreisen
Im Folgenden werden die äußeren (und inneren) Tangenten an zwei Kreise konstruiert. Das
Vorgehen ist völlig analog zum Vorgehen mit Bleistift, Geodreieck und Zirkel.
o Zeichnen Sie zwei beliebige Kreise K1 und K2, verbinden Sie die Kreismittelpunkte M1 und
M2 und bestimmen Sie den Mittelpunkt M3 dieser Strecke.
o Messen Sie den Radius r1 (Schnittpunkte S1 und S2 der Strecke M 1M 2 mit den Kreisen
bestimmen, Länge des Radius r1 mit dem Werkzeug Messen bestimmen).
o Schlagen Sie einen Kreis K3 mit Radius r1 um den Schnittpunkt S2 am zweiten Kreis,
bestimmen Sie den Schnittpunkt S3 des Kreises K3 mit der Strecke M 1M 2 . Konstruieren Sie
einen Kreis K4 mit Radius r3 (= Strecke S3 M 2 ) um M2.
o Schlagen Sie einen Thaleskreis um M3 mit Radius M 1M 2 .
2
o Konstruieren Sie Strahlen durch die Schnittpunkte des Kreises K4 mit dem Thaleskreis – Sie
erhalten die Hilfstangenten von diesem Schnittpunkt zu M1.
o Verschieben Sie nun diese Tangenten an den Schnittpunkt der Strahlen mit K 2.
Versuchen Sie sich jetzt selbst an den inneren Tangenten!
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Diese Konstruktion finden Sie unter:
www.fjls.de – Fächer – Mathematik – Medienverbund – Workshop Euklid
Zusatzaufgabe 4: Satz des Pythagoras
Zeichnen Sie die „Pythagorasfigur“. Achten Sie darauf, dass das Dreieck rechtwinklig und
veränderbar ist.
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Zusatzaufgabe 5:
Vielleicht sind Sie ja auch Physiklehrer. Die Linsengleichung lässt sich in Kombination mit
einer Tabellenkalkulation mit diesem Arbeitsblatt schnell finden
Diese Konstruktionen finden Sie unter:
www.fjls.de – Fächer – Mathematik – Medienverbund – Workshop Euklid.
2. Einsatz von Euklid Dynageo im Unterricht
2.1 Lehrplaninhalte
Der Lehrplan –Bildungsgang Gymnasium/Realschule- sieht für das 7. Schuljahr das
Themengebiet „Dreieckskonstruktionen“ vor. (Stundenumfang 24 Std.)
Wesentliche Inhalte:
o Winkel an Geradenkreuzungen
o Winkelsumme im Dreieck
o Klassifizierung in Dreiecksformen, Eigenschaften der Dreiecksformen
o Höhe
o Kongruente Figuren – Kongruenzsätze
o Einfache Dreieckskonstruktionen nach vorgegebenen Maßen mit Planfigur und
Konstruktionsbeschreibung
o Konstruktion von Mittelsenkrechte (Umkreis), Winkelhalbierende (Inkreis),
Seitenhalbierende (Schwerpunkt)
o Satz des Thales
o Fakultativ: Einsatz dynamischer Geometriesoftware
2.2 Möglichkeiten des Einsatzes einer dynamischen Geometriesoftware in dieser
Unterrichtsreihe
Alle Übungsdateien finden Sie unter:
www.fjls.de – Fächer – Mathematik – Medienverbund – Workshop Euklid
Auf eine genauere didaktisch-methodische Kommentierung wird verzichtet, da es sich beim
Teilnehmerkreis fast ausnahmslos um erfahrene Mathematiklehrer handelt.
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a) Folgende Übungen könnten zum ersten Kontakt mit dem Programm dienen:
- punkte.geo [2], flaechen.geo [2], dreieck.geo [2], vieleck.geo [2]
Spielen Sie ruhig ein wenig herum mit den Dateien. Geometrie kann richtig
Spaß machen!
b) Anstatt oder zusätzlich könnten Sie die Grundkonstruktionen wiederholen:
- Mittelpunkt einer Strecke
- Mittelsenkrechte
- Lot von einem Punkt auf eine Strecke
- Parallele zu einer Geraden zu einem Punkt
- Winkelhalbierende
Führen Sie diese Konstruktionen doch einmal selbst durch.
c) Winkel an Geradenkreuzungen
Aufgabe:
- Zeichnen Sie zwei Geraden, die sich auf dem Bildschirm nicht schneiden.
- Bestimmen Sie an zwei verschiedenen Stellen den Abstand.
- Zeichnen Sie eine dritte Gerade, die diese beiden Geraden schneidet.
- Messen Sie z.B. zwei (zukünftige) Stufenwinkel.
- Verschieben Sie die beiden ersten Geraden so lang, bis beide
markierten Winkel gleich groß sind.
- Vergleichen Sie den Abstand zwischen beiden Geraden.
- (Das Verfahren kann natürlich auch für die anderen Winkelarten
fortgesetzt werden) (Lösung in der Datei loesung1.geo)
Auch sehr anschaulich ist die Lösung: winkel.geo [4]
d) Winkelsumme im Dreieck
- Der Beweis des Innenwinkelsatzes mit Hilfe der abgetrennten Winkel  und 
und dem Zusammenlegen eines gestreckten Winkels am Winkel  ist auch mit
einer DGS nicht zu übertreffen. Gönnen Sie an dieser Stelle ihren Schülern mal
ein wenig Luft.
- Die Herleitung des Beweises kann natürlich auch mit Dynageo Euklid sehr gut
- nachgestellt werden.
- Eine schöne Lösung finden Sie auf [4].
e) Mittelsenkrechte und Umkreis
Erste Möglichkeit:
- Bearbeiten Sie das Arbeitsblatt auf www.fjls.de – Fächer – Mathematik Material
8. Schuljahr – Umkreis eines Dreiecks
Zweite Möglichkeit:
- Ein sehr genaues uns strukturiertes Arbeitsblatt finden Sie auf [2] (7. Klasse)
f) Winkelhalbierende und Inkreis
Hier kann nur empfohlen werden, die Konstruktion nach Einführung einmal mit Dynageo –
Euklid durchzuführen.
Ihre Schüler/innen werden sehr schnell merken, dass man den Inkreis nicht einfach ins
Dreieck „fummeln“ kann. Die Konstruktion des Lotes als Radius des Kreises ist dringend
erforderlich!
Führen Sie diese Konstruktion durch.
g) Satz des Thales
Erste Möglichkeit:
- Bearbeiten Sie das Arbeitsblatt auf www.fjls.de – Fächer – Mathematik –
Material – 8. Schuljahr – Satz des Thales
Zweite Möglichkeit:
- Bearbeiten Sie die Datei thales.geo.
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3. Interessante Links zu Euklid Dynageo
[1] www.dynageo.de
Die Seite des Entwicklers des Programms.
Hier gibt es die neueste Programmversion.
Trägt man sich in die Liste ein, wird man
benachrichtigt, wenn es
Programmaktualisierungen gibt.
In einem Forum wird einem bei Fragen schnell und
kompetent geholfen.
[2] www.dynama.de
Unterrichtsmaterialien für die Realschule
Eine riesige Sammlung von Arbeitsblättern und
Dynageo-Dateien.
Alle Daten sind nach Klassenstufen sortiert und
lassen sich schnell finden.
Zum Teil stehen komplette Unterrichtseinheiten
zur Verfügung.
[3] http://hischer.de/uds/lehr/vum/dgs/
Die Spezialität dieser Seite sind Online-Kurse zu
diesem Programm.
In sehr detaillierten Übungen könne Sie Ihr
Wissen komplettieren.
Einzelne Übungen sind auch zur direkten Arbeit
mit den Schülern gedacht.
[4] http://www.briegelonline.de/mathe/euklid.htm
Das ist die Partnerseite von [2] mit einigen
Angeboten speziell für die Realschule.
[5] http://www.pa.asnsbg.ac.at/pasbg2/mathematik/cabrihelp/index.htm
Eine Online-Anleitung und unzählige fertige
Arbeitsblätter zu Cabri II.
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4. Ausblick
a) Programme
Dynageo-Euklid ist nur eines von einigen am Markt befindlichen dynamischen
Geometriesoftwaren (DGS). Für das Land Hessen existiert eine Landeslizenz, die jeder Lehrer
und Schüler auf seinem heimischen Computer verwenden darf.
Eine Liste weiterer Programme finden Sie auf [2].
Dynamische Geometriesoftware am V200 von Texas Instruments:
Über zahlreiche Menüs lässt sich Cabri analog zu Euklid bedienen.
Hier ein Beispiel einer Spiegelung am V200:
b) Motivation der Schüler
Betrachten Sie DGS und „händisches“ Konstruieren nie als entweder-oder. Nutzen Sie DGS
ganz gezielt, um forschend-entdeckendes Lernen bei Ihren Schülern zu fördern. Sie werden
sehen – die Motivation ist enorm. Falls alle Schüler der Klasse über einen Computer, eventuell
sogar mit Internetanschluss, verfügen (was in der Realschule wohl noch selten der Fall ist),
können Sie DGS auch gut zur Bearbeitung von Hausaufgaben einsetzen. Aus eigener
Erfahrung kann ich Ihnen sagen, dass Hausaufgaben vor Ihnen zu Hause sind.
Lassen Sie Ihre Schüler auch mal ein wenig spielen.
c) Einsatz in anderen Klassenstufen
Der Einsatz von DGS ist in allen Klassenstufen möglich und nicht nur in der Geometrie.
Dynageo-Euklid eignet sich auch hervorragend als Funktionsplotter, also auch zum Einsatz in
der Analysis.
d) Effektive Unterrichtsgestaltung
Verbringen Sie nicht zu viel Zeit damit, im Internet nach Arbeitsblättern für Ihr Thema zu
suchen. Schauen Sie sich ein paar Ideen ab und entwerfen Sie selbst ein Arbeitsblatt
zugeschnitten auf Ihre Lerngruppe. Viele Beweisaufgaben aus dem Lehrbuch eigenen sich zur
unmittelbaren Verwendung von DGS!
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Allgemeines zur Bedienung von Euklid
Das willst du
Das musst du anklicken
Den letzten Schritt löschen
Bearbeiten;
einen Konstruktionsschritt zurück
Wichtige Euklid-Befehle zum Konstruieren
Das willst du
Das musst du anklicken
Das musst du machen
An einem Objekt ziehen
(Zugmodus)
einen Punkt anklicken, festhalten und
ziehen
Punkte zeichnen
anklicken
Strecken zeichnen
zwei Punkte anklicken
den Mittelpunkt einer Strecke
zeichnen
eine Strecke oder zwei Punkte anklicken
eine Strecke mit einer
bestimmten Länge zeichnen
die Streckenlänge angeben und dann
Anfangspunkt und Richtung bestimmen
das Lot/ Senkrechte zeichnen
einen Punkt und eine Gerade, durch die der
Punkt läuft angeben
eine Mittelsenkrechte zeichnen
eine Strecke oder zwei Punkte angeben
eine Winkelhalbierende
zeichnen
Schenkel-, Scheitel- und Schenkelpunkt
angeben
einen Kreis zeichnen
den Mittelpunkt des Kreises und dann einen
Kreispunkt anklicken
einen Kreis mit einem
bestimmten Radius zeichnen
den Radius angeben und den Mittelpunkt
des Kreises anklicken
ein Dreieck zeichnen
drei Punkte anklicken
Wichtige Euklid-Befehle zum Messen & Rechnen
Das willst du
Das musst du anklicken
Das musst du machen
einen Winkel messen
einen Winkel oder drei Punkte anklicken
einen Abstand messen
zwei Objekte anklicken
Wichtige Euklid-Befehle in der Hauptleiste
Das willst du
Das musst du anklicken
Das musst du machen
Objekt verbergen bzw.
anzeigen
das zu verbergende oder sichtbar
machende Objekt anklicken
Objekte löschen
das zu löschende Objekt anklicken
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