12t03-3sa (42,5 KiB)

Name: ___________________
12TB
3. Schulaufgabe aus der Mathematik am 22. April 2004
Punkte: ________ Note: __________
Hilfsmittel: zugelassener Taschenrechner, zugelassene Formelsammlung, keine Rot-, Orange-, Violettund Rosatöne
Arbeitszeit: 75 Minuten
Analysis
 x2
1.0 Gegeben ist die Funktionenschar f k ( x) 
, k  0 sei eine reelle Zahl.
kx  k 2
1.1 Bestimmen Sie die Definitionsmengen der fk in den reellen Zahlen.
1.2 Zeigen Sie, dass die Graphen aller fk die gleichen horizontalen Tangenten haben und geben
Sie deren Gleichungen an.
 x2
Im Folgenden sei k = 1, das heißt wir behandeln f 1 ( x) 
:
x 1
1.3 Leiten Sie die Extrempunkte von G(f1) aus 1.2 ab oder berechnen Sie sie direkt.
1.4 Ermitteln Sie rechnerisch alle Asymptoten von f1.
1.5 Zeichnen Sie den Graphen von f1(x) im Intervall [-7;5] mit den Asymptoten.
 x2

2.0 Gegeben ist die Funktionenschar f a ( x)  a 2  4  
 x  mit a  ]0;2[ .
 a

2.1 Zeichnen Sie den Graphen von f1 im Intervall [–1,5;2,5].
2.2 Berechnen Sie den Inhalt der (endlichen) Fläche zwischen G(fa) und der x-Achse in
Abhängigkeit von a.
2.3 Für welchen Wert von a ist diese Fläche maximal? Wie groß ist die maximale Fläche?
ex
x2
2.4.0 Sei e( x)  f 3 ( x) 
 2(  x)  e x .
2,5
3
2.4.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion e(x).
2.4.2 Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen von e(x).
2.4.3 Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von e(x) und die Steigungen der
Wendetangenten.
2.4.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion e(x) im Intervall [-5;3,2] unter Verwendung der
Resultate von 2.4.1-3


Geometrie (werden Geraden als schneidend erkannt, ist der Schnittpunkt anzugeben)
3.0 Gegeben sind die Punkte A(1/3/2), B(1/5/3), C(3/5/4) und D(3/6/4,5).
3.1 Bestimmen Sie rechnerisch die gegenseitige Lage der Geraden AB und CD.
3.2 Bestimmen Sie rechnerisch die gegenseitige Lage der Geraden AC und BD.
3.3 Geben Sie Gleichungen der Ebene E durch die Punkte A, B und C in Parameterform und
Koordinatenform an.
3.4 Bestimmen Sie rechnerisch, ob der Punkt D in der Ebene E liegt.
Übungsblatt aus der 3. Schulaufgabe der 12TB am 22. April 2004
Analysis
1.0 Gegeben ist die Funktionenschar f k ( x ) 
 x2
, k  0 sei eine reelle Zahl.
kx  k 2
1.1 Bestimmen Sie die Definitionsmengen der fk in den reellen Zahlen.
1.2 Zeigen Sie, dass die Graphen aller fk die gleichen horizontalen Tangenten haben und geben Sie deren
Gleichungen an.
Die Berechnung der Extrempunkte mit
f k' ( x) 
 kx 2  2k 2 x
kx  k 
2 2
führt über x1 = 0 und x2 = -2k zu t1: y = 0 und t2: y = 4
 x2
Im Folgenden sei k = 1, das heißt wir behandeln f 1 ( x) 
:
x 1
1.3 Leiten Sie die Extrempunkte von G(f1) aus 1.2 ab oder berechnen Sie sie direkt. H = O; T(-2/4)
1.4 Ermitteln Sie rechnerisch alle Asymptoten von f1.
Polynomdivision: f 1 ( x)   x  1 
1
x 1
1.5 Zeichnen Sie den Graphen von f1(x) im Intervall [-7;5] mit den Asymptoten.
 x2

2.0 Gegeben ist die Funktionenschar f a ( x)  a  4  
 x  mit a  ]0;2[ .
 a


2

2.1 Zeichnen Sie den Graphen von f1 im Intervall [–1,5;2,5].
2.2 Berechnen Sie den Inhalt der (endlichen) Fläche zwischen G(fa) und der x-Achse in Abhängigkeit von a.
Das Integral von fa zwischen den Nullstellen von fa(x) führt zu
A(a) 
4a 2  a 4
6
2.3 Für welchen Wert von a ist diese Fläche maximal? Wie groß ist die maximale Fläche?
a max  2
2.4.0 Sei
 
A 2 
e( x)  f 3 ( x) 
2
FE
3
ex
x2
 2(  x)  e x .
2,5
3
2.4.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion e(x). N1 = 0; N2(3/0)
2.4.2 Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen von e(x).
 x2 x  x

e ( x)  2
  1  e führt zu H(-1,3/1,02); T(2,3/-10,7)
3
3 

2.4.3 Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von e(x) und die Steigungen der Wendetangenten.
 x2 x 4  x
e( x)  2
    e führt zu W1(1,56/-7,14)[m=-6,75];W2(-2,56/0,73)[m=0,32]
 3 3 3
2.4.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion e(x) im Intervall [-5;3,2] unter Verwendung der Resultate von 2.4.1-3
Geometrie
3.0 Gegeben sind die Punkte A(1/3/2), B(1/5/3), C(3/5/4) und D(3/6/4,5).
3.1 Bestimmen Sie rechnerisch die gegenseitige Lage der Geraden AB und CD. Parallel
3.2 Bestimmen Sie rechnerisch die gegenseitige Lage der Geraden AC und BD. S(5/7/6)
3.3 Geben Sie Gleichungen der Ebene E durch die Punkte A, B und C in Parameterform und Koordinatenform an.
x1 + x2 – 2x3 = 0
3.4 Bestimmen Sie rechnerisch, ob der Punkt D in der Ebene E liegt. 3+6-9=0  D  E