Trigonometrie (2)
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Vermessungsaufgaben 2 1. Leite für das spitzwinkelige Dreieck ABC den 1. Teil des Kosinussatzes her: a² = b² + c² – 2·b·c·cos() 2. Beweise einen Teil des Sinussatzes: b c sin sin D C 3. Von einem Punkt A (Aughöhe 1,6 m), der mit zwei Fahnenmasten gleicher Höhe in einer Vertikalebene liegt, sieht man die Spitze des 7,2 m entfernten, vorderen Masten unter einem doppelt so großen Winkel wie die Spitze des hinteren. Der Abstand zwischen den Masten beträgt 9 m. Wie hoch sind die beiden Masten? [h = 7m] d b x F E y 4. Heron vermacht seinen beiden Söhnen ein ebenes Grundstück ABCD, das durch einen zur Seite AB parallelen Zaun EF in zwei flächengleiche Vierecke geteilt werden soll. a = AB = 67,0 m b = BC = 83,9 m d = DA = 86,5 m = DAB = 81,39° = ABC = 76,04° Wie groß ist das ganze Grundstück? A Wie lang (x) muss dieser Zaun EF werden? In welcher Entfernung (y) von AB muss er verlaufen? a D [A = 4200 m²; x = 53 m; y = 35 m] 5. Zwei Brüder erben ein viereckiges Grundstück mit folgenden Abmessungen: AB = a = 83,0 m BC = b = 52,0 m = 53,3 ° CD = c = 74,0 m DA = d = 94,0 m B c E d b geraden Zaun von A nach E in zwei flächengleiche Grundstücke aufgeteilt werden, wobei der Endpunkt E auf der Seite CD = c liegen soll. Wie viel Grund erhält jeder der A beiden Brüder und wie lang muss der Zaun AE sein? a B [A = 2500 m²; z = 112,5 m] 6. Von einem Dreieck kennt man die Längen der drei Seiten a, b und c. Berechne die drei Winkel , und und den Flächeninhalt A! a = 10 cm; b = 6 cm; c = 7 cm [ = 100,3°; = 36,2°; = 43,5°; A = 20,66 m²] 7. Um den Abstand zweier unzugänglicher Punkte C und D zu ermitteln, wurde eine 100 m lange Standlinie abgetragen und die folgenden Winkel gemessen. Berechne den Abstand s der Punkte C und D! a = 100 m = 112,4° 1 = 49,5° = 98,7° 1 = 31,2° [s = 167 m] 8. Ein Landwirt hat die Möglichkeit sein unregelmäßig fünfeckiges Grundstück ABCDE gegen ein flächengleiches und umfanggleiches Grundstück zu tauschen, das die Form eines Rechtecks hat. Vom unregelmäßigen Grundstück kennt man folgende Größen: a = AB = 83 m = EAB = 121,4° b = BC = 62 m = CDE = 102,3° e = EA = 71 m = DEA = 86,7° f = AC = 104 m Wie groß sind der Flächeninhalt, der Umfang und die beiden Seitenlängen des rechteckigen Grundstücks? [A = 8882,6 m; u = 367,7 m; c = 56,8 m; d = 94,8 m] 9. Um die Entfernung von einem Seeufer A zum anderen Seeufer B zu ermitteln wurden folgende Winkel zu einer 100 m langen Standlinie CD gemessen: DAB = = 78,1° CAB = = 23,7° ABC = = 107,2° ABD = = 71,6° Wie groß ist die Entfernung d von A nach B? [d = 65 m] 10. Auf einem gleichmäßig geneigten Hang (Neigungswinkel =10°) sieht man von einem Punkt A in direkter Falllinie unterhalb eines Baumes dessen Wipfel unter einem Höhenwinkel =25°. Vom um d=26 m näher beim Baum gelegenen Punkt B sieht man den Wipfel unter einem Höhenwinkel =40°. Wie hoch ist der Baum? d A h B C (Die Aughöhe wird nicht berücksichtigt.) [h = 13,2 m] 11. Von einem 20 m hohen Leuchtturm erblickt man in der Ferne ein Schiff A unter einem Tiefenwinkel = 2,12°. Nach dem Schwenken des Messgeräts um einen Horizontalwinkel = 117° nach rechts sieht man ein anderes Schiff B unter einem Tiefenwinkel = 3,47°. Berechne den Abstand d der beiden Schiffe A und B! [d = 750 m] 12. Ein Wanderer befindet sich bei einer Almhütte, die sich 830 m über dem Tal befindet. Von hier sieht der Wanderer einen Ort A unter einem Tiefenwinkel = 17,4° und nach dem Schwenken des Fernrohrs um einen Horizontalwinkel = 117,9° einen Ort B unter einem Tiefenwinkel = 12,3°. (Die Orte A und B liegen gleich hoch.) Wenn er das Fernrohr um den Horizontalwinkel =56,3° weiterschwenkt, so sieht er von der Hütte aus einen Gipfel G. Der Wanderer macht sich auf den Weg zum Gipfel. Von dort sieht er den Ort B unter einem Tiefenwinkel = 23,4° und nach dem Schwenken des Fernrohrs um einen Horizontalwinkel von = 107,5° die Almhütte, bei der er vor kurzem noch seinen Durst gestillt hatte. Wie groß ist die Entfernung zwischen den Orten A und B und wie viele Höhenmeter hat der Wanderer bei seiner Gipfelbesteigung überwunden? [d = 5560 m; h = 607 m] 13. Von einer Almhütte H sieht man den Ort A unter einem Tiefenwinkel = 8,4° und nach Schwenken des Messgeräts um einen Horizontalwinkel = 86,7° den Ort B unter einem Tiefenwinkel = 9,3°. Die beiden Orte A und B sind 8,5 km voneinander entfernt und haben dieselbe Seehöhe, nämlich 720 m. Wie hoch liegt die Hütte? (Die Höhe des Messinstruments bleibt unberücksichtigt.) [h = 1680 m] 14. Jemand erblickt einen Airbus unter einem Höhenwinkel = 23°. Zwei Minuten später hat das Flugzeug einen Horizontalwinkel = 61° zurückgelegt, der Beobachter sieht es nun unter einem Höhenwinkel = 22°. Wie hoch über der Erdoberfläche befindet sich der Airbus, wenn dieser seine Flughöhe nie verändert hat und sich mit konstanter Geschwindigkeit v = 810 km/h fortbewegt? [h = 11 km] 15. Ein allgemeines Viereck ist durch drei Seitenlängen AB = a = 634 m, BC = b = 620 m, AD = d = 153 m und die beiden Winkel = 87,3° und = 115,6° gegeben. Berechne die Länge der fehlenden Seite! Eine durch A gehende Gerade g soll das Viereck in zwei flächengleiche Teile teilen. Bestimme, ob diese Gerade g die Seite BC oder die Seite CD schneidet! Berechne, wie weit dieser Schnittpunkt von C entfernt ist! [c = 983 m; Die Entfernung des neuen Punktes von C in Richtung B beträgt 193 m.] 16. Von der Spitze eines 165,0 m hohen Berges sieht man den Geländepunkt A unter dem Tiefenwinkel 52°15´ und nach Schwenken des Fernrohres um den Horizontalwinkel 105°45´ den Geländepunkt B unter dem Tiefenwinkel 41°10´. Die Punkte A und B liegen in derselben Horizontalebene. Wie groß ist die Entfernung der beiden Geländepunkte und welchen Winkel schließen die Sehstrahlen von der Spitze nach A und B ein? [d = 255 m, = 66,7°] 17. Das viereckige Grundstück ABCD eines Landwirtes wurde vermessen: AB = a = 120 m, BC = b = 80 m, AD = d = 60 m, = ∢DAB = 62°, = ∢ABC = 70°. Berechne Umfang und Fläche des Grundstücks! Bei einer Flurbereinigung soll das Viereck mit einem flächengleichen Parallelogramm getauscht werden, wobei und a gleich bleiben sollen. Bei welchem der beiden Grundstücke braucht der Landwirt mehr Draht zum Einzäunen? [u = 328 m, A = 5906m²] 18. Über einen Fluss soll eine Brücke gebaut werden. Um ihre Länge zu bestimmen, steckt man auf der einen Seite des Flusses eine 160 m lange Standlinie AB so ab, dass A flussaufwärts und B flussabwärts der Brücke liegt. Nach den beiden Endpunkten der Brücke (P diesseits und Q jenseits) werden folgende Winkel gemessen: = ∢BAP = 23,2°, = ∢PAQ = 15,8°, = ∢ABP = 42° und = ∢PBQ = 43,3°. Berechne die Länge der Brücke! [x = 85,79 m] 19. Von der Beobachtungsplattform eines Leuchtturmes (48 m über dem Meer) sieht man zwei Schiffe A und B unter den Tiefenwinkeln = 5,63° und = 8,46°. Die vom Fußpunkt des Leuchtturmes zu den Booten weisenden Sehstrahlen schließen den Winkel = 100,00° ein. Mach eine Skizze! Berechne den Abstand der beiden Schiffe und bestimme den Winkel, den die Sehstrahlen von der Beobachtungsplattform zu den Schiffen einschließen. [d = 629 m; = 99°] 20. Von der Uferpromenade, die 8,5 m über dem Wasserspiegel eines Teiches liegt, erscheint die Spitze eines Baumes, der unmittelbar am gegenüberliegenden Ufer steht, unter dem Höhenwinkel = 12,5°, ihr Spiegelbild im Wasser, unter dem Tiefenwinkel = 18,1°. Wie hoch ist der Baum und wie breit ist der Teich an dieser Stelle? [h = 44,34 m; d = 161,7 m] 21. Von zwei 12,0 m vertikal übereinander liegenden Öffnungen eines Turmes visiert man nach dem Fußpunkt und der Spitze eines Baumes, der mit dem Turm auf derselben Horizontalebene aufsteht. Von der oberen Öffnung ergeben sich die Tiefenwinkel 42,6° bzw. 32,2°, von der unteren Öffnung nach dem Fußpunkt des Baumes der Tiefenwinkel 35,1°. Wie hoch ist der Baum und wie weit ist er vom Turm entfernt? [h = 16 m; d = 55,37 m]
