Dreieckskonstruktionen – Anwendungsaufgaben

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Dreieckskonstruktionen – Anwendungsaufgaben
1. Konstruiere ein rechtwinklig–gleichseitiges Dreieck mit der Hypotenuse
c = 8 cm. Zeichne über den Katheten a und b die Quadrate und darin von C
aus die Diagonalen. Beweise, dass die Diagonalen gleich der Hypotenuse sind.
2. Mit Hilfe des Kongruenzsatzes SSS
kann man ohne Geodreieck einen
Winkel übertragen. Erkläre, wie man
nebenstehenden Winkel ohne
Geodreieck konstruieren kann.
42.0 °
3. Gegeben ist ein Koordinatensystem mit den Punkten A(1/1); B(8/3) und H(3/5).
A und B sind die Eckpunkte eines Dreiecks, H ist der Höhenschnittpunkt des
Dreiecks. Konstruiere das Dreieck und bestimme aus der Zeichnung
a) die Länge der Dreiecksseiten,
b) die Größe der Innenwinkel,
c) die Koordinaten des Punktes C.
4. Gegeben ist ein Koordinatensystem mit den Punkten A(–2/0), B (4/1,2) und
W(1,8/2,6). A und B sind Eckpunkte eines Dreiecks, W ist der Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden dieses Dreiecks.
Konstruiere das Dreieck und bestimme aus der Zeichnung
a) die Länge der Seiten,
b) die Größe der Innenwinkel
c) die Koordinaten des Punktes C.
5. Gegeben ist ein Koordinatensystem mit den Punkten A(–3/–2) und B(4/–1)
sowie der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden S(2/1). Konstruiere das Dreieck
und bestimme aus der Zeichnung
a) die Länge der Seiten,
b) die Innenwinkel
c) die Koordinaten des Punktes C.
6. Eine Rasenfläche hat die Form eines
gleichschenklig–rechtwinkligen
Dreiecks. In diese Fläche soll ein
kreisrundes Beet angelegt werden,
dessen Rand von den Seiten der
Rasenfläche den Abstand 0,60 m hat.
Die Höhe der Rasenfläche beträgt
5 m. Bestimme den Mittelpunkt und
Radius des Kreises.
7. Ein Denkmal besteht aus einem Sockel und einer darauf stehenden Figur. Ein
Beobachter peilt aus 8,60 m die Oberkante des Sockels unter 23 0 und die
Oberkante der Figur unter 340 an. Die Höhe des Messgerätes beträgt 1,60 m.
Bestimme die Höhe des Sockels, die Höhe der Figur und die des gesamten
Denkmals.
8. Von einem Punkt A gehen zwei Wege aus: AB von 88 m und AC von 76 m
Länge. Sie schließen einen Winkel von 420 ein. Die beiden Endpunkte sollen
durch einen dritten Weg verbunden werden.
Berechne die Länge dieses Weges, die Winkel zu den beiden vorhandenen
Wegen sowie die von allen drei Wegen eingeschlossene Fläche. (Planfigur)
9. Von den Endpunkten A und B einer 650 m langen Standlinie am Ufer eines
Gewässers werden zwei Schiffe C und D (Schiffsmitte) unter folgenden
Winkeln angepeilt:
DAB = 1 = 80,80; CAB = 2 = 50,10;  CBA = ß1 = 78,80 und
 DBA = ß2 = 36,10.
Wie weit liegen die Schiffsmittelpunkte voneinander entfernt?
10. Vom Fenster eines Hauses aus erscheint die Spitze eines 55 m hohen
Kirchturmes unter einem Höhenwinkel von 230, sein Fuß unter einem
Tiefenwinkel von 140. Haus und Turm stehen auf derselben Ebene.
a) Wie hoch liegt die Peilstelle über dem Erdboden?
b) Wie weit ist das Haus vom Turm entfernt?
11. Drei Städte A, B und C haben folgende Abstände voneinander:
AB  95km; BC  80km; AC  103km .
a) Fertige eine maßstabsgerechte Zeichnung an. (Maßstab angeben!)
b) Berechne die Winkel   R BAC; ß  R ABC;   R ACB.
12. Ein Siedlungsgelände hat die Form eines Dreiecks mit den Seiten a = 240 m,
b = 205 m und c = 280 m. Von der Mitte der Seite c wird zur
gegenüberliegenden Ecke ein gerader Weg angelegt.
a) Wie lang ist dieser Weg?
b) Welche Winkel bildet er mit der Seite c?
c) c) Welche Fläche umfasst das Siedlungsgelände?
13. Ein dreieckiges Grundstück hat die Seiten 46 m, 42 m und 38 m.
a) Fertige eine Zeichnung im Maßstab 1 : 500 an.
b) Bestimme alle drei Winkel des Grundstücks.
c) Wie lang ist eine Rohrleitung von der Mitte der längsten Seite zum
gegenüberliegenden Eckpunkt?
d) Welche beiden Winkel bildet diese Rohrleitung mit der längsten Seite
des Grundstücks?
e) Berechne die Fläche dieses Grundstücks.
14. In einem Bergwerk verlaufen auf gleicher Sohle von einem Punkt aus zwei
Grubenstrecken unter einem Winkel von 67,10. Die eine Strecke ist 243 m, die
andere 195 m lang. Die Endpunkte der beiden Strecken sollen mit einem neuen
Stollen miteinander verbunden werden. Wie lang wird der Verbindungsstollen
und in welchen Winkeln ist er gegen die beiden Strecken zu bauen?
15. Eine feuchte Wiese hat die Form eines Dreiecks. Die Seiten sind 285 m, 246 m
und 205 m lang. Von der Mitte der längsten Seite soll zur gegenüberliegenden
Ecke ein Entwässerungsgraben gezogen werden.
a) Fertige eine Skizze an.
b) Bestimme alle Winkel im Grundstück.
c) Bestimme die Länge des Entwässerungsgrabens.
d) Wie groß ist die Fläche des Grundstücks?
16. Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, steckt man parallel zum
diesseitigen Ufer eine Standlinie von 48,5 m ab. Von beiden Endpunkten A und
B wird ein am jenseitigen Ufer stehender Baum C unter den Winkeln RBAC =
68,40 und RABC = 45,60 gesehen. Der Abstand der Standlinie vom Ufer
beträgt 15 m.
17. Es soll die Höhe eines Antennenmastes bestimmt werden. Dazu wird eine
Standlinie von 135 m, die waagerecht auf den Mast zuläuft, abgemessen. Die
Höhenwinkel zur Mastspitze werden in den Endpunkten der Standlinie mit 25,30
und 39,80 bestimmt. Das Peilungsgerät besitzt eine Höhe von 1,65 m.
Fertige eine Skizze an.
18. Zwei geradlinige Wege kreuzen sich unter einem Winkel von 650. An jedem der
beiden Wege befindet sich ein Hochsitz; der eine ist 180 m und der andere 320
m von der Kreuzung entfernt. Die beiden Hochsitze sollen durch einen geraden
Weg miteinander verbunden werden.
Bestimme
a) die Länge des Weges,
b) die Winkel, die der Laufweg mit den beiden Waldwegen bildet.
19. Am Ufer eines Kanals hat man eine Standlinie AB = c = 80 m abgemessen. Die
Messstange C am anderen Ufer des Kanals wird unter den Winkeln  = 420
und ß = 680 gemessen. Wie breit ist der Kanal?
20. Zwei Orte A und B sind c = 5,6 km voneinander entfernt. Um ihre Entfernung zu
einem dritten Ort C zu bestimmen, hat man die Winkel  = 620 und ß = 710
gemessen. Wie weit sind die Orte A und B vom Ort C entfernt?
21. In einem Dreieck mit b = 7,3 cm stehen die Winkel , ß und  im Verhältnis
3 : 4 : 5. Bestimme die Länge der Seiten a und c.