Dreieckskonstruktionen – Anwendungsaufgaben – Lösungen

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Dreieckskonstruktionen – Anwendungsaufgaben – Lösungen
Aufgabe 1
Konstruiere ein rechtwinklig–gleichseitiges Dreieck mit der Hypotenuse c = 8 cm.
Zeichne über den Katheten a und b die Quadrate und darin von C aus die
Diagonalen. Beweise, dass die Diagonalen gleich der Hypotenuse sind.
C
8.00 cm
8.00 cm
A
B
8.00 cm
Es entstehen vier neue kongruente Dreiecke; da alle Dreieck in zwei Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind sie kongruent. Folglich müssen auch
die Diagonalen und die Hypotenuse gleich groß sein.
Aufgabe 2
Mit Hilfe des Kongruenzsatzes SSS kann
man ohne Geodreieck einen Winkel
übertragen. Erkläre, wie man nebenstehenden
Winkel ohne Geodreieck konstruieren kann.
42.0 °
Man legt auf den Schenkeln eines gegebenen Winkels zwei Punkte fest – es
entstehen drei Strecken. Mit Hilfe der Grundkonstruktion SSS wird ein kongruentes
Dreieck gezeichnet.
Aufgabe 3
Gegeben ist ein Koordinatensystem mit den Punkten A(1/1); B(8/3) und H(3/5). A und
B sind die Eckpunkte eines Dreiecks, H ist der Höhenschnittpunkt des Dreiecks.
Konstruiere das Dreieck und bestimme aus der Zeichnung
a) die Länge der Dreiecksseiten,
b) die Größe der Innenwinkel,
c) die Koordinaten des Punktes C.
8
7
C hat die Koordinate (2,8/5,6)
6
85.2 °
C
X
5.78 cm
5
H
hb
4
3
4.94 cm
ha
42.5 °
hc
B
2
7.28 cm
1
-2
-1
A
52.3 °
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichnen von A, B und H; Zeichnen von c
2. Zeichnen zweier Halbgeraden von A und B durch H
3. Festlegen eines Punktes X auf einer Halbgeraden – das Lot im Punkt X
einzeichnen
4. Parallelverschiebung des Lotes durch A – der Schnittpunkt mit hc ist der Punkt C.
5. Angabe der Lösungen (s. Zeichnung)
Aufgabe 4
Gegeben ist ein Koordinatensystem mit den Punkten A(–2/0), B(4/1,2) und
W(1,8/2,6). A und B sind Eckpunkte eines Dreiecks, W ist der Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden dieses Dreiecks.
Konstruiere das Dreieck und bestimme aus der Zeichnung
a) die Länge der Seiten,
b) die Größe der Innenwinkel
c) die Koordinaten des Punktes C.
9
8
Der Punkt C hat die Koordinate (2,6/7,2)
7
C
46.2 °
6
5
6.12 cm
4
8.47 cm
W
3
2
46.1 °
87.6 °
B
1
6.12 cm
-5
-4
-3
A
-2
-1
1
2
3
4
5
6
Konstruktionsbeschreibung:
1.
2.
3.
4.
Zeichnen der Punkte A, B und W, Zeichnen der Strecken c
Halbgeraden von A und B durch W
Spiegelung von B an w und von A an wß – es entsteht C
Angabe der gesuchten Größen
Aufgabe 5
Gegeben ist ein Koordinatensystem mit den Punkten A(–3/–2) und B(4/–1) sowie der
Schnittpunkt der Seitenhalbierenden S(2/1). Konstruiere das Dreieck und bestimme
aus der Zeichnung
a) die Länge der Seiten,
b) die Innenwinkel
c) die Koordinaten des Punktes C.
7
6
Der Punkt C hat die Koordinate (5/6)
C
36.8 °
5
4
3
2
11.33 cm
7.08 cm
1
-5
-4
-3
36.9 °
-2
-1
S
1
2 cm 3
2.92
4
-1
5
6
106.3 °
B
-2 M1
7.07 cm
A
Konstruktionsbeschreibung:
1.
2.
3.
4.
5.
Zeichnen der Punkte A, B und S sowie der Strecke c
Bestimmen des Mittelpunktes M von c
Zeichnen von Halbgeraden von A, B und M durch S
Zeichnen eines Kreisbogens mit dem doppelten Radius MS – es entsteht C
Messen der gesuchten Größen
Aufgabe 6
Eine Rasenfläche hat die Form eines gleichschenklig–
rechtwinkligen Dreiecks. In diese Fläche soll ein kreis–
rundes Beet angelegt werden, dessen Rand von den
Seiten der Rasenfläche den Abstand 0,60 m hat. Die
Höhe der Rasenfläche beträgt 5 m.
Bestimme den Mittelpunkt und Radius des Kreises.
1.47 cm
M
H
2.07 cm
Konstruktionsbeschreibung:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Maßstab 1 : 100
Zeichnen einer Geraden g, Festlegen des Punktes H
Errichten der Höhe in H
Antragen zweier Winkel à 450 in M – die Schnittpunkte mit der Geraden bilden die
Eckpunkte des Dreiecks
Konstruktion der Winkelhalbierenden
Messen des Abstandes zwischen H und M (= 2,07 cm)
Zeichnen des gesuchten Kreises mit r = 1,47 cm
Der Kreis hat in der Zeichnung einen Radius von 1,47 cm – dies entspricht
1,47 m.
Aufgabe 7
Ein Denkmal besteht aus einem Sockel und einer darauf stehenden Figur. Ein
Beobachter peilt aus 8,60 m die Oberkante des Sockels unter 23 0 und die Oberkante
der Figur unter 340 an. Die Höhe des Messgerätes beträgt 1,60 m.
Bestimme die Höhe des Sockels, die Höhe der Figur und die des gesamten
Denkmals.
D
2.15 cm
S
34.0 °
5.25 cm
B
B'
23.0 °
1.60 cm
A
A'
Konstruktionsbeschreibung:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Maßstab 1 : 100
Zeichnen einer Geraden, Festlegen eines Punktes A
Senkrechte in A errichten, es entsteht B
A‘ bestimmen
Winkel von 230 bzw. 340 in B antragen, es entstehen D und S
Bestimmen von A'S und SD .
Der Sockel ist 5,25 m, das Denkmal 2,15 m hoch.
Aufgabe 8
Von einem Punkt A gehen zwei Wege aus: AB von 88 m und AC von 76 m Länge.
Sie schließen einen Winkel von 420 ein. Die beiden Endpunkte sollen durch einen
dritten Weg verbunden werden.
Berechne die Länge dieses Weges, die Winkel zu den beiden vorhandenen Wegen
sowie die von allen drei Wegen eingeschlossene Fläche.
C
79.8 °
7.60 cm
5.98 cm
5.09 cm
58.2 °
42.0 °
A
B
8.80 cm
Maßstab: 1 : 1000
Die Punkte A und B sind ca. 60 m voneinander entfernt.
Winkel: s. Zeichnung
Aufgabe 9
Von den Endpunkten A und B einer 650 m langen Standlinie am Ufer eines
Gewässers werden zwei Schiffe C und D (Schiffsmitte) unter folgenden Winkeln
angepeilt:
DAB = 1 = 80,80; CAB = 2 = 50,10;  CBA = ß1 = 78,80 und
 DBA = ß2 = 36,10.
Wie weit liegen die Schiffsmittelpunkte voneinander entfernt?
5.01 cm
C
Maßstab: 1 : 10 000
D
Die beiden Schiffe sind
ca. 500 m voneinander
entfernt.
80.8 °
78.8 °
42.7 °
B
A
50.1 °
6.50 cm
Aufgabe 10
Vom Fenster eines Hauses aus erscheint die Spitze eines 55 m hohen Kirchturmes
unter einem Höhenwinkel von 230, sein Fuß unter einem Tiefenwinkel von 140. Haus
und Turm stehen auf derselben Ebene.
a) Wie hoch liegt die Peilstelle über dem Erdboden?
b) Wie weit ist das Haus vom Turm entfernt?
23.0 °
23.0 °
5.50 cm
2.04 cm
14.0 °
8.16 cm
14.0 °
Maßstab: 1 : 1000
Die Peilstelle liegt 20,40 m über dem Erdboden, das Haus ist 81,60 m vom Turm
entfernt.
Anmerkung:
Die Konstruktion wurde mit Hilfe von Wechselwinkeln durchgeführt.
Aufgabe 11
Drei Städte A, B und C haben folgende Abstände voneinander:
AB  95km; BC  80km; AC  103km .
a) Fertige eine maßstabsgerechte Zeichnung an. (Maßstab angeben!)
b) Berechne die Winkel   R BAC;ß  R ABC;   R ACB.
C
61.0 °
71.5 °
47.4 °
A
B
Maßstab: 1: 100 000
Es handelt sich um eine SSS–Konstruktion, die Winkel haben die in der Zeichnung
angegebenen Größe.
Aufgabe 12
Ein Siedlungsgelände hat die Form eines Dreiecks mit den Seiten a = 240 m,
b = 205 m und c = 280 m. Von der Mitte der Seite c wird zur gegenüberliegenden
Ecke ein gerader Weg angelegt.
a) Wie lang ist dieser Weg?
b) Welche Winkel bildet er mit der Seite c?
c) Welche Fläche umfasst das Siedlungsgelände?
C
10.26 cm
8.58 cm
A
99.2 °
80.8 °
14.00 cm
Maßstab: 1 : 2000
Die Fläche ist 24 024 m² groß.
12.00 cm
8.69 cm
B
Aufgabe 13
Ein dreieckiges Grundstück hat die Seiten 46 m, 42 m und 38 m.
a) Fertige eine Zeichnung im Maßstab 1 : 500 an.
b) Bestimme alle drei Winkel des Grundstücks.
c) Wie lang ist eine Rohrleitung von der Mitte der längsten Seite zum
gegenüberliegenden Eckpunkt?
d) Welche beiden Winkel bildet diese Rohrleitung mit der längsten Seite des
Grundstücks?
e) Berechne die Fläche dieses Grundstücks.
C
70.0 °
8.40 cm
7.60 cm
6.56 cm
6.52 cm
59.1 °
50.9 °
A
9.20 cm
M
H
Maßstab: 1 : 500
Die Größen der Winkel sind aus der Zeichnung zu ersehen.
Die Rohrleitung hat eine Länge von 32,80 m.
Für die Fläche ergeben sich ca. 750 m² (genau: 749,8 m²).
B
Aufgabe 14
In einem Bergwerk verlaufen auf gleicher Sohle von einem Punkt aus zwei
Grubenstrecken unter einem Winkel von 67,10. Die eine Strecke ist 243 m, die
andere 195 m lang. Die Endpunkte der beiden Strecken sollen mit einem neuen
Stollen miteinander verbunden werden. Wie lang wird der Verbindungsstollen und in
welchen Winkeln ist er gegen die beiden Strecken zu bauen?
65.8 °
12.27 cm
9.75 cm
47.1 °
67.1 °
12.15 cm
Maßstab: 1 : 2000
Länge des Verbindungsstollens: 245,40 m
Die Größe der Winkel ist aus der Zeichnung zu entnehmen.
Aufgabe 15
Eine feuchte Wiese hat die Form eines Dreiecks. Die Seiten sind 285 m, 246 m und
205 m lang. Von der Mitte der längsten Seite soll zur gegenüberliegenden Ecke ein
Entwässerungsgraben gezogen werden.
a) Fertige eine Skizze an.
b) Bestimme alle Winkel im Grundstück.
c) Bestimme die Länge des Entwässerungsgrabens.
d) Wie groß ist die Fläche des Grundstücks?
C
77.8 °
9.84 cm
7.04 cm
6.92 cm
57.5 °
44.7 °
A
8.20 cm
M
H
11.40 cm
Maßstab: 1 : 2500
Der Entwässerungsgraben hat eine Länge von 176 m.
Die Fläche des Grundstücks ist 24 653 m².
B
Aufgabe 16
Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, steckt man parallel zum diesseitigen Ufer
eine Standlinie von 48,5 m ab. Von beiden Endpunkten A und B wird ein am
jenseitigen Ufer stehender Baum C unter den Winkeln RBAC = 68,40 und
RABC = 45,60 gesehen.
Der Abstand der Standlinie vom Ufer beträgt 15 m.
Baum
7.59 cm
7.05 cm
9.87 cm
45.6 °
68.4 °
A
9.70 cm
B
Maßstab: 1 : 500
Für den Abstand zwischen Standlinie und Baum ergeben sich 35,25 m; die
Flußbreite ist 20,25 m.
Aufgabe 17
Es soll die Höhe eines Antennenmastes bestimmt werden. Dazu wird eine Standlinie
von 135 m, die waagerecht auf den Mast zuläuft, abgemessen. Die Höhenwinkel zur
Mastspitze werden in den Endpunkten der Standlinie mit 25,30 und 39,80 bestimmt.
Das Peilungsgerät besitzt eine Höhe von 1,65 m.
Fertige eine Skizze an.
C
7.37 cm
25.3 °
A
6.75 cm
B
Maßstab: 1: 2000
Für die Höhe des Mastes ergeben sich:
147,40 m + 165 m = 149,05 m
39.8 °
H
Aufgabe 18
Zwei geradlinige Wege kreuzen sich unter einem Winkel von 65 0. An jedem der
beiden Wege befindet sich ein Hochsitz; der eine ist 180 m und der andere 320 m
von der Kreuzung entfernt.
Die beiden Hochsitze sollen durch einen geraden Weg miteinander verbunden
werden.
Bestimme
a) die Länge des Weges,
b) die Winkel, die der Laufweg mit den beiden Waldwegen bildet.
C
81.2 °
11.74 cm
7.20 cm
33.8 °
65.0 °
A
12.80 cm
Maßstab: 1 : 2500
Länge des Weges: 293,5 m
Die Größe der Winkel sind aus der Zeichnung ersichtlich.
B
Aufgabe 19
Am Ufer eines Kanals hat man eine Standlinie AB = c = 80 m abgemessen. Die
Meßstange C am anderen Ufer des Kanals wird unter den Winkeln  = 420 und
ß = 680 gemessen. Wie breit ist der Kanal?
5.28 cm
68.0 °
42.0 °
8.00 cm
Maßstab: 1 : 1000
Für die Breite des Flusses ergeben sich 52,8 m.
Aufgabe 20
Zwei Orte A und B sind c = 5,6 km voneinander entfernt. Um ihre Entfernung zu
einem dritten Ort C zu bestimmen, hat man die Winkel  = 620 und ß = 710
gemessen. Wie weit sind die Orte A und B vom Ort C entfernt?
C
Maßstab: 1 : 100000
47.0 °
Die Entfernungen zum Ort C
sind 7,24 km und 6,67 km.
7.24 cm
6.76 cm
62.0 °
A
71.0 °
5.60 cm
B
Aufgabe 21
In einem Dreieck mit b = 7,3 cm stehen die Winkel , ß und  im Verhältnis 3 : 4 : 5.
Bestimme die Länge der Seiten a und c.
C
75.0 °
5.96 cm
7.30 cm
60.0 °
45.0 °
B
A
8.14 cm
Die Lösungen sind aus der Zeichnung ersichtlich.