Interferenz am Gitter

Atom-Physik
Zusammenfassung
Mark Kremer
11.09.10
Interferenz am Gitter
Beim Gitter geht man davon aus, dass die Wellen alle parallel zueinander verlaufen, wenn sie
das Gitter verlassen, da die Entfernung zwischen Gitte und Schirm im Vergleich zur
Gitterkonstanten (g) sehr groß ist.
Durch den Winkel ergibt sich ein Verhältnis von
sin  k  k 
tan  k 

g
für k  0,1,2,3...
ak
für k  0,1,2,3...
l
Nährung
tan  k  sin  k
also
ak

k
für k  0,1,2,3...
l
g
Diese Berechnung gilt auch bei der Berechnung der Wellenlänge vom Emissionsspektrum.
Interferenz am Einfachspalt
Wenn man davon ausgeht, dass von der Mitte und vom Rand des Spaltes Strahlen ausgehen,
wenn diese Spalten einen Gangunterschied von Lambda-halbe aufweisen
(Interferenzminimum), dann kann man dies in verhältnis zur halben Spaltlänge betrachten und
eine Dreiecksbeziehung aufstellen.
Minima:
s n  
sin  

d
d
Maxima:

2n  1 
s
2
sin  

d
d
Dies muss man dan jeweils mit der Dreiecksbeziehung der Länge und des Abstandes
gleichsetzen.
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Mark Kremer
11.09.10
Interferenz am Doppelspalt
Man geht quasi von 2 Lichtquellen aus, wenn ein Gangunterschied von Lambada herrscht,
kommt es zu einem Interferenzmaximum, somit gilt:
Minima:
2n  1  
s
2

g
g
Maxima:
s n  
sin  

g
g
Wobei g der Abstand der Spalten voneinander ist.
sin  
Elektronenbeugung
In einer Röhre werden Elektronen durch Anlegen einer bestimmten Spannung beschleunigt
und auf eine Graphitfolie gelenkt. Auf einem Schirm bilden sich nun konzentrische Ringe.
Die Deutung dieses Versuches geschieht durch die Annahme, dass massenbehaftete Teilchen,
wie das massenlose Photon ebenso Wellencharakter bestitzen. Es muss also auch die
Beziehung gelten:
h
  Lambda ist hierbei die De-Broglie-Wellenlänge, benannt nach dem Entdecker.
p
Auf dieser Grundlage kann man die Funktionsweise der Bragg-reflektion anwenden.
Bragg Reflexion
Wenn man beispielsweise verschiedene Netzebenen betrachtet, wie bei im Gitter
angeordneten Stoffen, dann kommt es nur bei bestimmten Winkeln zur Refexion mit
merklicher Amplitude. Dies ist auf die Tatsache zurckzuführen, dass die Wellen einen
gewissen Weg zurücklegen müssen, wenn sie in der zweiten Netzebene Reflektiert werden,
das heißt, dass es nur zu einem Maxima kommt, wenn der Gangunterschied ein vielfaches von
Lambda ist.
s
 sin 
a
2 s  2a  sin 
Damit es zur konstruktiven Interferenz kommt, muss die zurückgelegte Strecke ein vielfaches
von Lambda sein.
n    2a  sin 
Aufgrund der Beschaffenheit von Graphit, gibt es zwei Gitterabstände.
Als Dreiecksbeziehung ergibt sich aus dem Durchmesser sowie dem Abstand zwischen
Kristall und Schirm, folgendes:
D
tan 2  
(es ist der doppelte Winkel, da die Oberfläche wo das Licht gebeugt wird selber
2L
gewinkelt ist.)
Durch Umformen und Einsetzten der Bragg-relektion, ergibt sich
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1
2
Mark Kremer
11.09.10
 D 
 
 2L  
  2a  sin  arctan 
D
2L
Über die Geschwindigkeit, kann man aufstellen, dass
1 2
mv  e  U
2
2  e U
v
m
Durch Einsetzten des Impulses, ergibt sich folgendes
h

2  m  e U
D
h
a

2L
2  m  e U
 a
Fotoeffekt
Licht trifft auf die Kathode und löst Elektronen heraus. Durch die Bildung eines Pluspols an
der Kathode entsteht durch den Stromfluss ein Minuspol an der Anode.
Erkenntnisse:
- Licht ist in der Lage Elektronen herauszulösen
- Kurzwelliges Licht erzeugt einen höhere Potentialdifferenz
- Bei höherer Intensität werden mehr Elektronen herausgelöst, aber ab einer bestimmten
Intensität steigt die Spannung nicht Mehr. Die Spannung hängt nicht von der Intensität
ab.
- Photonen einer bestimmten Wellenlänge lösen die Elektronen mit einer bestimmten
Energie heraus, folglich werden ab einer bestimmten Wellenlänge keine Elektronen
mehr herausgelöst.
Grundsätzliches:
Die Energie des Photons setzt sich zusammen aus der Energie die zum herauslösen der
Elektronen gebraucht wird, sowie der kinetischen Energie der Elektronen.
Wk max  W A  WPh
Wk max  e  U
1 2
mvel  W A  h  f
2
Compton Effekt
Bei der Bestrahlung von Kohlenstoff durch Röntgenstrahlen nimmt die Wellenlänge bei
zunehmendem Winkel zu. Dies lässt sich auf die Wechselwirkung der Photonen mit den
Elektronen zurückführen, denn ein Teil der Energie wird abgegeben.
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Mark Kremer
11.09.10
Zur Beschreibung muss man zwei Bedingungen aufstellen:
  Ee
  Ee => hf  m0e c 2  hf Ph
Energierhaltungssatz: E Ph  E0e  E Ph



2
2
2
Impulserhaltungssatz: p Ph  pPh  pe => pe  p Ph  p Ph  2 p Ph p Ph cos 
Die Schlussfolgerung aus dem Impulserhaltungssatz ergibt sich aus dem Cosinussatz, welcher
auf die Beträge angewendet wird.
Ausserdem braucht man die Gleichung:
E e2  p e2 c 2  E 0  m02e c 4
Diese ergibt sich wenn man die Mechanische-Energie betrachtet, und Kraft sowie
Geschwindigkeit einsetzt.
S2
E
 Fds  dE  Fds
S1
dp
ds
,v 
dt
dt
Einsetzen :
dE  v  dp
Durch Kombination der Verhältnisse für Energie und Impuls ergibt sich folgendes:
E  mc 2 , p  mv
Einsetzen :
F
pc 2
v
E
Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhält man:
EdE  c 2 p  dp
Durch Integrieren erhält man:
2
 EdE  c  p  dp  C
1 2 1 2 2
E  c p C
2
2
2
2
 E  cp   C  konstant
Dies besagt, dass in allen System diese Beziehung gilt, im Ruhesystem ist der Impuls 0,
weshalb die Konstante den Wert der Ruheenergie hat, folglich gilt:
2
E 2  cp  E02
Dies erklärt die obige Gleichung.
Setzt man diese und die obige zum energierhaltungssatz in die des Impiulserhaltungssatzes
ein, erhält man nach Umformungen folgende Gleichung.
h
   
(1  cos  )
m0 e c

 
h
(1  cos  )
m0 e c
Quantenobjekte
-
Quantenobjekte lassen sich als Einzelobjekte nachweisen
Quantenobjekte können gezählt werden, sie sind unteilbar
Quantenobjekte zeigen bei Versuchen Interferenzerscheinungen
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-
Mark Kremer
11.09.10
Einzelergebnisse sind unvorhersehbar
Ereignisse sid nur über Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich
Interferometer
Ein Laser trifft auf einen halbdurchlässigen Spiegel, sodass der Strahl in 2 Strahlen aufgeteilt
wird. Die beiden Strahlen werden jeweils an einem Spiegel reflektiert und danach wieder
vereint. Sie treffen danach auf einen Detektor, der Interfernzmuster zeigt.
Der doppelte Gangunterschied (da der Weg zweimal zurückgelegt wird) muss also für
konstruktive Interferenz ein vielfaches von Lambda sein, bei der destruktiven von Lampda
halbe. (ganzes Lambda, also gerade Summanden ausgeschlossen)
Es gilt folglich:
2  s  n   , (n  1,2,...)

2  s  2n  1 , (n  1,2,...)
2
Einsteins Ansatz
Licht ist ein Energiestron und die Energie wird in Form von Lichtquanten (sog. Photonen)
übertragen.
- Die Energie kann durch das Planksche-Wirkungsquantum h und Lambda beschrieben
werden.
E ph  h  f (Beachte: Dies ist die Energie eines Photons, nicht eines gesamten
Lichtblitzes)
- Ein größere Intensität sorgt für mehr absorbierte Photonen auf eine gewisse Fläche
- Ein Elektronen absorbiert immer nur die Energie eines Photons
- Die kinetische Energie eines Lichtquants wird beschrieben durch Ekin, ph  m  c 2
- Ein Photon besitzt keine Ruhemasse
- Wenn sich die Energie des Lichtquantes ändert, dann muss sich auch die „Masse“
- Der Impuls ist:
E kin, ph  m  c 2  h  f
h f
c2
wenn , p ph  m  c
m
p ph 
h f
h

c

Zwei Wege Experiment
Photonen und Elektronen zeigen beim Doppelspalt beide Interferenz. Man kann die Intensität
so verringern, dass man nur einzelne Photonen oder Elektronen auf den Doppelspalt schickt.
Nach einer gewissen Zeit erhält man dasselbe Resultat wie bei einer hohen Intensität. Folglich
kann man nur die Wahrscheinlichkeit bestimmen, wo das Quantenobjekt auftritt.
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Mark Kremer
11.09.10
Franck Hertz Versuch
Beim Franck Hertz Versuch werden Elektronen durch eine Anodenspannung beschleunigt, sie
befinden sich dabei in einem Objekt mit Gas als Inhalt. Bei einer bestimmten Spannung steigt
die Stromstärke an der Anode kurzzeitig nicht mehr, dies passiert auch bei vielfachen von
ebendieser Spannung.
Es folgt daraus, dass bei der Energie die eine Elektron bei dieser Beschleunigungsspannung
hat die passende Energie hat um ein Elektron (des Gases) auf eine höhere Schale zu bringen.
Wenn das Elektron wieder seine Ursprungsposition einnimmt, emmittiert es Licht.
Es gilt:
e U  h  f
Modell von Bohr
h
2
2. Postulat: Die Energiediffernz zwischen zwei Schalen wird in Form von Photonen
emmitiert oder absorbiert, je nach Bewegung, wenn ein Elektron die Schale wechselt.
Es gilt:
1 
 1
E  E m  E n  h  f  h  f Ry  2  2 
m 
n
Das teilweise sichtbare Licht beim Wasserstoff wird auch als Balmerserie bezeichnet.
1. Postulat: Der Drehimpuls L ist von h, n und Pi abängig, es gilt: L  r  m  v  n 