1.2 Der verzweigte magnetische Kreis

1.
Berechnung magnetischer Kreise
1.1
Unverzweigter magnetischer Kreis

=I  N
lFe = mittl. Eisenlänge mit Rm1
lL = Luftspalt mit Rm2
1 :  2 : ... :  n  1 :  2 : ... :  n
1
1
1
1


 ... 
Rm p Rm1 Rm2
Rmn
 p  1   2  ...   n
2.
Kräfte und Energie im
magnetischen Feld
Magnetischer Kreis mit Luftspalt


2.1
Rm1
1
Rm2
2

 = 1 + 2
 =  (Rm1 + Rm2)
 = H1  l1 + H2 
l2
Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld
Ersatzschaltbild
allgemein gilt:
 = 1 + 2 + ... + n
 =  (Rm1 + Rm2 + ... + Rmn)
 =   Rm
F  I  B  l  sin 
[F ]  N
Rm = Rm1 + Rm2 + ... + Rmn
1.2
Der verzweigte magnetische Kreis
2.2
F: Kraft auf den Leiter
I: Stromstärke im Leiter
B: Flußdichte des
Magnetfeldes
l: Leiterlänge
: Winkel zwischen
Leiterbewegung,
Kraftrichtung und
Feldrichtung
Stromdurchflossene Spule im
Magnetfeld
Verzweigter magnetischer Kreis mit Ersatzschaltbild
  1   2
  0
Knotenpunktregel
  1   2  ...   n
1
1
1
1 :  2 : ... :  n 
:
: ... :
Rm1 Rm2
Rmn
Leiterschleife im Magnetfeld
F  I  B  l  2N  sin 
[F ]  N
F: Ablenkkraft auf die Spule
l: Wirksame Leiterlänge im
magnetischen Feld
2.3
N: Windungszahl der Spule
: Winkel in dem die
Feldlinien geschnitten
werden
Kräfte zwischen parallelen,
stromdurchflossenen Leitern
a) gleiche Stromrichtung
b) gegenseitige Stromrichtung
zu a) Die Leiter ziehen sich an
zu b) Die Leiter stoßen sich ab
F1  I 1  l  B2
F2  I 2  l  B1
F1  F2
1 B2
Wm   V
2 
1
Wm   B  H  V
2
Das Induktionsgesetz
3.1
 l
  I1  I 2
2 r
Darstellung des Induktionsvorganges mit
einer Ersatzspannungsquelle
F: Kraftwirkung zwischen
den Leitern
l: Leiterlänge
r: Abstand der Leiter
I1, I2:
Leiterströme
Bei Luft bzw. Vakuum zwischen den Leitern ist
l
F  2 10   I1  I 2
r
7
2.4
Volumen des
Magnetfeldes
[Wm] = Ws = J
3.
F
V:
L und r in m
I1 und I2 in A
F in N
o
o
U:
induzierte elektrische Umlaufspannung, U = - uq
uq: induzierte Quellenspannung der
Ersatzspannungsquelle nach dem VZS
 : Flußänderungsgeschwindigkeit in der Leiterschleife
t
Zugkraft eines Elektromagneten
i:
Ri:
Ra:
N:
induzierter Strom
Innenwiderstand der Quelle
Lastwiederstand
Windungszahl
uq  N 
3.2

t
Induktionsgesetz
Induktionsgesetz beim bewegten Leiter
im Magnetfeld
Vorraussetzungen:
Feldlinien werden
senkrecht geschnitten
1 B2
F
A
2 0
F: Zugkraft zwischen Anker
und Schenkel
A: Wirksame Polfläche
2.5
Energie des magnetischen Feldes
Wm 
1

2
1

2
1
Wm   Rm   2
2
1
Wm     H 2 V
2
Wm 
Geradlinige Leiterbewegung im
homogenen Magnetfeld
uq 
Wm: Energie des
Magnetfeldes
: Durchflutung
:
Rm:
:
H:
B:
magnetischer Fluß
megnetischer
Widerstand
Permeabilität
magnetische
Feldstärke
Flußdichte
(Induktion)
N 1
  B  s  l

uq 
t
B  l  s
t
s
v
t
uq  B  l  v
l: Leiterlänge im Feld
v: Bewegungsgeschwindigkeit des
Leiters
3.3
Ermittlung der Stromrichtung
U
L

I q
R
R
us  U q  e

t
Zeitkonstante
L:
Induktivität
R:
ohmsche Widerstand der
Spule (Vorwiderstand)
Uq: Quellenspannung

t



i  I 1  e

:




us:
Selbstinduktionsspannung
der Spule
i:
Augenblickswert des
Spulenstromes
I:
Endwert des Stromes
Rechte-Hand-Regel (Generator-Regel)
5.2
4.
Selbstinduktion beim Ausschalten
Die Induktivität einer Spule
Ersatzschaltbild bei Stromabnahme 
Selbstinduktion einer Spule
us: Selbstinduktionsspannung
der Spule
us  N 2   
i
t
L  N2 
i
us  L 
t
N2   A
L
l
  AL
5.
5.1
N:
i
t
Windungszahl
i
: Stromänderungst
geschwindiggeit
L:
Induktivität der Spule [H]
:
Permeabilität (0s)
l:
Wickellänge der Spule
:
Magnetischer Leitwert
AL: Induktivitätsfaktor
(Kernfaktor; [mH])
N
L
AL
Schaltvorgänge bei Induktivitäten
Selbstinduktion beim Einschalten
a) Verlauf des Stroms nach
dem Ausschalten
b) Verlauf der
Selbstsinduktionsspannung nach dem
Abschalten
L

RL  RV
i  I e

t

 i 
u s  L 
 t 
I
Ersatzschaltbild bei Stromzunahme 
a) Spannungs-Zeit-Diagramm
i
t
b) Strom-Zeit-Diagramm
Uq
RL  RV
U RV  I  RV
:
Zeitkonstante
L:
Induktivität der Spule
RL: ohmsche Widerstand der Spule
RV: Vorwiderstand
i:
Augenblickswert des
Spulenstromes
Uq: Quellenspannung
us:
Selbstinduktionsspannung der
Spule
URV:Spannungsspitze von us (von RV
begrentz), die am Verbraucher
anliegt.
i
: Stromänderungst
geschwindiggeit
6.
Energiespeicherung in einer Spule
Wm 
1
LI2
2
[Wm] = Ws = J
7.
Wm: Energie des magnetischen
Feldes in der Spule
L:
Induktivität der Spule
I:
Spulenstrom
b) Parallelschaltung
1
1 1
1
   ... 
Lges L1 L2
Ln
Die Gegeninduktion
Für zwei parallel geschaltete Spulen gilt die
Beziehung:
Lges 
Darstellung der Gegeninduktion
a) Gegeninduktion von Spule 1 auf Spule 2
b) Gegeninduktion von Spule 2 auf Spule 1
M  N1  N2  
i1
t
i
M 2
t
U 2 (1)  M 
U1( 2 )
8.
M:
L1  L2
L1  L2
10. Größen des elektrischen Feldes
Gegeninduktivität durch
Kopplung von
Magnetfeldern
N1, N2: Windungszahlen
:
magnetischer Leitwert
U2(1):
Spannung in der Spule 2
hervorgerufen durch
Nutzfluß der Spule 1
U1(2):
Spannung in der Spule 1
hervorgerufen durch
Nutzfluß der Spule 2
Probeladung um homogenen Feld (q)
10.1 Elektrische Feldstärke
F
E
Q
Kopplungsfaktor
E
a) feste Kopplung
b) lose Kopplung
U
*
d [E] = V/m
E:
F:
Q:
U:
d:
elektrische Feldstärke
Kraftwirkung auf elektrische
Leitungen
elektrische Ladung
elektrische Spannung
Plattenabstand
* Beim Plattenkondensator
10.2 Ladungsdichte
Q
D
A
D:
A:
Ladungsdichte (Verschiebungsdichte beim
Influenzvorgang)
Plattenoberfläche
Q:
C:
Ladung durch Kondensator
Kapazität des Kondensators
10.3 Kapazität
Darstellung der Kopplung in Schaltbildern
k
M
L1  L2
k:
Kopplungsfaktor zwischen
den Spulen
M: Gegeninduktivität
L1, L2: Einzelinduktivitäten der
Spulen
M   L1  L2
Kopplungsarten: k = 1
k<1
k=0
(feste Kopplung)
(lose Kopplung)
(entkoppelte Spulen)
C
Q
U
[C] = As/V = F (Farad)
10.4 Dielektrizitätskonstante
  0 r
[] = As/Vm
:
0:
r:
Dielektrizitätskonstante
elektr. Feldkonstante
= 8,854  10-12 As/Vm
Dielektrizitätszahl
10.5 Verschiebungsdichte und Feldstärke
9.
Schaltungen mit Induktivitäten
D  E
[] = As/Vm
D:
:
E:
a) Reihenschaltung
Lges  L1  L2  ...  Ln
elektrische
Verschiebungsdichte
Dielektrizitätskonstante
elektr. Feldstärke
11. Berechnung der Kapazität eines
Plattenkondensators
C  0 r 
A
d
C:
Kapazität
A:
wirksame Plattenoberfläche
d:
Plattenabstand
r:
Dielektrizitätszahl;
Werkstoffeinfluß
(für Luft r = 1)
U1  U 2  ...  U n
Bei zwei in Reihe geschalteten Kondensatoren:
C ges 
C1  C2
C1  C2
und
C1 U 2

C2 U 1
13. Ladevorgänge
12. Kondersatorschaltungen
12.1 Die Parallelschaltung
Versuchsschaltung zum Messen von Strom und Spannung beim
Laden Entladen eines Kondensators
Parallelschaltung von Kondensatoren
C ges  C1  C2  ...  Cn
U
Qges
C ges

Q1 Q2
Q

 ...  n
C1 C2
Cn
Lade- und Entladekurve eines Kondensators für Rv = RE
13.1 Die Zeitkonstante
Bei n gleichen Kondensatoren
C ges  n  C
a) Ladung eines Kondensators
12.2 Die Reihenschaltung
Reihenschaltung von Kondensatoren
1
1
1
1
 
 ... 
Cges C1 C2
Cn
U ges  U1  U 2  ...  U n
Q  C U
C U q  I max 

C U q
I max
  CR
b) Umwandlung in ein
fläschengleiches Rechteck
Q  I max 
Q:
Imax:
:
C:
R:
gespeicherte Ladung
max. Ladestrom
Zeitkonstante
Kapazität
Lade- bzw.
Endladewiderstand
[] = s
13.2 Lade- und Endladevorgang
Q
Q
Q
;U2 
;Un 
C1
C2
Cn
 Q1  Q2  ...  Qn
U1 
Qges
Bei n gleichen Kondensatoren:
C ges 
C
n
a) Ladevorgang
b) Entladevorgang
Berechnung der Augenblickswerte von Strom und
Spannung zu einem beliebigen Zeitpunkt:
Laden:
Entladen:
t




u c  U q  1  e

ic  I max  e





uc  U q  e

t

t

Uq
R
Bei t = 5  gilt ein Kondensator praktisch als gebzw. entladen.
14. Kräfte und Energie im elektrischen
Feld
14.1 Kraft zwischen zwei Punktladungen
Kraft zwischen zwei Punktladungen
1 Q1  Q2

4  
r2
Bei Luft bzw. Vakuum
F 9 109 
Q1  Q2
r2
Coulomsches Gesetzt
:
Dielektrizitätskonstante
Q1, Q2:
Punktladungen
r:
Abstand der Punktladungen zueinander
[F] = N
14.2 Kraft zwischen den Platten eines
Kondensators
F:
:
E:
A:
Kraft zwischen den Platten
Dielektrizitätskonstante
elektische Feldstärke
Wirksame
Plattenoberfläche
d: Plattenabstand
C: Kapazität des Kondensators
Kraftwirkung bei einem
PlattenKondensator
F
Wel 
Wel 
I max 
F
Wel 

ic   I max  e
t

14.3 Energie eines geladenen Kondensators
1
1
 E Q  C  E2  d
2
2
Wel 
1
 Q U
2
1
 C U 2
2
1
 D  E V
2
1
   E 2 V
2
[Wel] = Ws = J
Wel: gespeicherte Energie
Q: elektrische Ladung
U: Spannung, auf die der
Kondensator aufgeladen ist
C: Kapazität
D: Ladungs- bzw.
Verschiebungsdichte
E: Feldstärke
V: Volumen des elektrischen
Feldes
: Dielektrizitätskonstante
 = 0  r