— 77 - Daraus kannst du aucli die Summe der dritten Potenzen der

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Daraus kannst du aucli die Summe der dritten Potenzen der ungraden Zahlen der Reihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahl
finden, ich meine, du suchst zuerst die Summe der dritten Potenzen aller Zahlen bis zu der gegebenen und ziehst von dem
Resultat die Summe der d r i t t e n Potenzen der graden Zahlen ab,
der Rest ist die Summe der d r i t t e n Potenzen der ungraden.
Wenn w i r die Zahlen einer naturlichen Zahlenfolge, die
nicht bei 1 sondern bei einer gegebenen Zahl beginnt, und die
bei einer zweiten gegebenen Zahl endet, wissen wollen, so nehmen w i r
die Summe der Zahlen bis zu der zweiten gegebenen, merken sie und
ziehen von dem Zwischenresultat die Summe der Zahlen von 1
bis zu der Zahl vor der ersten gegebenen ab. Beispiel dafiir:
Die erste Zahl sei 6, w i r wollen die folgenden Zahlen bis 11
addieren. Die Summe der Zahlen bis 11 ist 66, w i r ziehen davon
die Summe der Zahlen von 1 bis 5 ab, das ist 15, es bleiben 5 1 ,
das ist das Gewiinschte. Und so machst du es m i t der Summe
der Quadrat(; einer Zahlenreihe, die nicht bei 1 beginnt, oder bei
der Summe der dritten Potenzen, die Ursache dafiir ist klar.
Und so machst du es m i t der Summe der Quadrate einer Reihe
von ungraden Zahlen, wenn sie nicht bei 1 beginnen, oder bei
der Summe von Quadraten von graden Zahlen wenn sie nicht bei
2 beginnen, aus eben diesem Grunde.
Wenn du eine gegebene Anzahl von Zahlen addieren willst,
die eine nicht nattirliche Reihe bilden, und bei denen die erste
nicht gleich der ,,Abstandszahl" (Differenz) i s t ) , sondern umeine
gegebene zweite Zahl kleiner oder grosser als dieselbe, so m u l t i pliziere die zweite gegebene Zahl m i t der ersten gegebenen, das
Ergebnis ist das erste Zwischenresultat. Nimm auch die Summe
der Zahlen der naturlichen Zahlenreihe bis zu der ersten gegebenen Zahl und multipliziere damit die Differenz, das ist das
zweite Zwischenresultat. Und wenn das Anfangsglied kleiner
w a r als die Differenz, so ziehe das erste von dem zweiten
Zwischenresultat ab, der Rest ist das Gewiinschte. Beispiel daf i i r : D u w i l l s t 7 Zahlen addieren, deren jede 3 grosser ist als
die vorhergehende, das erste Glied ist um 2 grosser oder kleiner als
3. Siehe, das P r o d u k t 2 . 7 ist gleich 14, das ist das erste
Zwischenresultat. Die Summe der Zahlen der Reihe von 1 bis 7
i s t 28, w i r multiplizieren sie m i t 3, das gibt 84. Wenn nun das
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