Übungen zu Kapitel 5: Oligopol und monopolistischer Wettbewerb

Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie – Prof. Dr. Bettina Rockenbach
Übungen zu Kapitel 5: Oligopol und monopolistischer Wettbewerb
Aufgabe 5.1
Betrachten Sie ein Cournot-Duopol mit der Marktnachfrage p=D(q)=50-q. Beide Duopolisten
haben konstante Grenzkosten MC=20.
1) Wie lautet die Reaktionsfunktion von Firma 1 (auf die Outputmenge q2 von Firma 2)?
2) Wie viel produzieren beide Firmen im Cournot-Gleichgewicht?
3) Wie hoch ist der Preis im Cournot-Gleichgewicht?
4) Wie hoch ist der Gewinn der beiden Firmen im Cournot-Gleichgewicht?
Lösung:
1) π (q1 ,q2 ) = p ( q1 + q 2 ) q1 − 20q1
π (q , q ) = [50 − ( q1 + q2 )]q1 − 20q1
1
2
π (q ,q ) = 50q1 − q12 − q1q2 − 20q1
∂π
1
2
= 30 − q2 − 2q1 = 0
∂q1
π (q ,q ) = 30q1 − q1q2 − q12
1
2
1
q1 = R1( q2 ) = 15 − q2
2
1
2) q2 = R2 ( q1 ) = 15 − q1
2
1 
1
q1 = 15 − 15 − q1 
2 
2
1
q1 = R1( q2 ) = 15 − q2
2
q1 = 10
q2 = 10
3) q = q1 + q2 = 20
p = 50 − q = 50 − 20 = 30
4) π (q1 , q2 ) = [50 − ( q1 + q2 )]q1 − 20q1
π (q ,q ) = 100
1
2
π (q
2 , q1
)
= 100
Aufgabe 5.2
Betrachten Sie ein Cournot-Tripol (3 Firmen) mit der Marktnachfrage p=D(q)=50-q. Alle drei
Firmen haben konstante Grenzkosten MC=20. Wie lautet die Reaktionsfunktion von Firma 1
(auf die Outputmenge q2 von Firma 2 und die Outputmenge q3 von Firma 3)?
Lösung:
π (q1 ,q2 , q3 ) = p ( q1 + q2 + q3 ) q1 − 20 q1
π (q ,q
1
2 , q3
)
= [50 − (q1 + q2 + q3 )]q1 − 20 q1
π (q ,q ,q ) = 50q1 − q12 − q1q2 − q1q3 − 20q1
∂π
1
∂q1
2
3
= 50 − 2q1 − q2 − q3 − 20 = 0
1
1
q1 = R1( q2 , q3 ) = 15 − q2 − q3
2
2
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Aufgabe 5.4
Betrachten Sie ein Bertrand-Duopol mit der Marktnachfrage p=D(q)=50-q. Beide Duopolisten
haben konstante Grenzkosten MC=20.
1) Wie hoch ist der Preis im Gleichgewicht?
2) Wie viel produzieren beide Firmen im Gleichgewicht?
3) Wie hoch ist der Gewinn der beiden Firmen im Cournot-Gleichgewicht?
Lösung:
1) es gilt: Preis = Grenzkosten Æ p = 20
2) 20 = D(q ) = 50 − q
q1+ 2 = 50 − 20
q1+ 2 = 30
q2 = 15
q1 = 15
3) π 1 = q1 ∗ p − C (q1 )
π 1 = 300 − 300 = 0
π 2 = q2 ∗ p − C (q2 )
π 2 = 300 − 300 = 0
Aufgabe 5.5
Ein Monopolist produziert ein Gut zu konstanten Durchschnittskosten (und damit konstanten
Grenzkosten) AC = MC = 5. Die Marktnachfrage ist durch die inverse Nachfrage p = 53 – y
gegeben.
1) Bestimmen Sie Preis, Menge, Gewinn und Produzentenrente des Monopolisten.
Gehen Sie nun davon aus, dass ein zweites Unternehmen mit gleicher Kostenfunktion in den
Markt eintritt.
2) Geben Sie die Gewinne der Unternehmen als Funktionen der Absatzmengen y1 und y2 an.
3) Ermitteln Sie auf dieser Grundlage zunächst die Reaktionsfunktionen und bestimmen Sie
dann graphisch und analytisch das resultierende Cournot-Gleichgewicht.
4) Gehen Sie nun alternativ davon aus, dass das etablierte Unternehmen die Absatzmenge
vor dem Neueintreter bindend festlegen kann. Bestimmen Sie das zugehörige StackelbergGleichgewicht.
5) Vergleichen Sie Preis, Mengen, Gewinne, Konsumentenrente und Wohlfahrt im Monopol,
Cournot- und Stackelberg-Gleichgewicht mit der Situation bei vollkommenem
Wettbewerb.
6) Betrachten Sie nochmals den Cournot-Fall, gehen Sie aber jetzt davon aus, dass die
Kosten für Unternehmen 2 durch AC = MC = 8 gegeben sind. Wie unterscheidet sich das
Ergebnis vom Cournot-Gleichgewicht mit identischen Wettbewerbern?
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Lösung:
1) π = R − C = (53 − y ) y − 5 y 1
π = 48 y − y ²
∂π
= 48 − 2 y = 0
∂y
y = 24
p = 53 − y = 53 − 24
p = 29
π = 48 y − y ² = 48 ∗ 24 − 24²
π = 576
KR =
1
∗ 24 ∗ (53 − 29 ) = 288
2
2) π ( y1 , y2 ) = p ( y1 + y2 ) y1 − 5 y1
π ( y , y ) = [53 − ( y1 + y2 )] y1 − 5 y1
1
2
π ( y , y ) = 48 y1 − y12 − y1 y2
∂π 1
1
∂y1
2
= 48 − 2 y1 − y2 = 0
1
y2
2
1
1 
y1 = 24 −  24 − y1 
2
2 
y1= y2 = 16
3) y1 = R1 ( y 2 ) = 24 −
y 2 = R2 ( y1 ) = 24 −
1
y1
2
y2
50
40
R1(y2)
30
20
10
R2(y1)
10
20
30
40
50
y1
p = 53 − y1 − y2 = 53 − 32 = 21
π 1 = π 2 = 48 y1 − y12 − y1 y2 = 48 ∗16 − 2 ∗16 2 = 256
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PR = π ges = 512
1
KR = 32 ∗ (53 − 21) = 512
2
4) Leader: Firma 1 Follower: Firma 2
1
y 2 = R2 ( y1 ) = 24 − y1
2
π 1 = p( y1; R2 [ y1 ]) y1 − 5 y1



π 1 =  53 − y1 − 24 +

π 1 = 24 y1 −
1 
y1  y1 − 5 y1
2  
1 2
y1
2
∂π 1
= 24 − y1 = 0 y1 = 24
∂y1
24
y2 = R2 ( y1 ) = 24 −
= 12
2
p = 53 − y1 − y2 = 17
1
π 1 = 24 ∗ 24 − 242 = 288
2
π 2 = 48 ∗ 12 − 24 ∗ 12 − 122 = 144
1
KR = 36 ∗ (53 − 17 ) = 648
2
5) vollkommener Wettbewerb
MC = p = 5
p = 53-y
5 = 53-y
y = 48
PR = 0
KR = ½*48*(53-5) = 1152
Monopol
Cournot
Stackelberg
Vollk. Wettb.
Preis
29
21
17
5
Menge
24
32
36
48
Gewinn
576
512
432
0
KR
288
512
648
1152
Wohlfahrt
864
1024
1080
1152
6) π 2 ( y1 , y2 ) = (53 − y1 − y2 ) y2 − 8 y2
π 2 ( y1 , y2 ) = 45 y2 − y1 y2 − y22
∂π 2
= 45 − y1 − 2 y2 = 0
∂y2
1
y2 = R2 ( y1 ) = 22,5 − y1
2
1
1
1 
y1 = R1 ( y2 ) = 24 − y2 = 24 −  22,5 − y1  = 17
2
2
2 
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1
y2 = R2 ( y1 ) = 22,5 − 17 = 14
2
y ges = 31 p = 22
Aufgabe 5.6
Betrachten Sie einen Markt mit zwei Anbietern und die Nachfrage p(y1+y2) = 100 – 0,5
(y1+y2). Die Kostenfunktionen der beiden Anbieter lauten: c1(y1) = 5y1 und c2(y2) = 0,5 y22.
1) Berechnen Sie das Cournot Gleichgewicht grafisch und analytisch. Wie hoch sind die
Gewinne der beiden Anbieter?
Nehmen Sie an, dass die beiden Anbieter zu einem Unternehmen fusionieren, die beiden
Produktionsstätten mit ihren unterschiedlichen Kostenfunktionen jedoch unverändert bestehen
bleiben. Auch die Nachfrage bleibt unverändert.
2) Wie viel wird das neu entstandene Monopol insgesamt produzieren und wie viel wird es
an jedem Standort produzieren?
3) Wie hoch ist der Gewinn des Monopolisten?
Lösung:
1


1) π 1 ( y1 , y2 ) = p( y1 + y2 ) y1 − c1 ( y1 ) = 100 − [ y1 + y2 ] y1 − 5 y1
2


1
1
π 1 ( y1 , y 2 ) = 95 y1 − y1 y 2 − y12
2
2
∂π 1
1
= 95 − y2 − y1 = 0
∂y1
2
1
y1 = R1 ( y2 ) = 95 − y2
2


π 2 ( y1 , y2 ) = p( y1 + y2 ) y2 − c2 ( y2 ) = 100 −
π 2 ( y1 , y2 ) = 100 y2 −
1
[ y1 + y2 ] y2 − 1 y22
2
2

1
y1 y 2 − y22
2
∂π 2
1
= 100 − y1 − 2 y2 = 0
∂y2
2
1
y1
4
1
1 
y1 = 95 −  50 − y1  = 80
2
4 
y2 = R2 ( y1 ) = 50 −
1
y2 = 50 − 80 = 30
4
1
1
y1 y 2 − y12 = 3200
2
2
1
π 2 ( y1 , y2 ) = 100 y2 − y1 y 2 − y22 = 900
2
π 1 ( y1 , y2 ) = 95 y1 −
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y2
250
200
R1(y2)
150
100
50
R2(y1)
50
100
150
200
250
y1
1
1


2) π ges = 100 − [ y1 + y2 ]( y1 + y2 ) − 5 y1 − y22
2
2


1
π ges = − y12 − y22 − y1 y2 + 95 y1 + 100 y2
2
∂π ges
= − y1 − y2 + 95 = 0
∂y1
∂π ges
= − y1 − 2 y2 + 100 = 0
∂y2
− y1 − y2 + 95 = − y1 − 2 y2 + 100 Æ y2 = 5 ; y1 = 90 ; y ges = 95
1
3) π ges = − y12 − y22 − y1 y2 + 95 y1 + 100 y2 = 4525
2
Aufgabe 5.7
In einer Stadt gibt es zwei Eisdielen: Schokolade (S) und Vanille (V). Beide Eisdielen haben
die identische Kostenfunktion C(q) = 2+q. Die Nachfrage nach Eis sei durch D(q)=9–q
beschrieben. (q bezeichnet den Eisoutput in Litern).
1) Nehmen Sie an, beide Eisdielen bestimmen simultan ihre Eis-Outputmenge. Wie viel Liter
Eis produzieren beide Eisdielen im Gleichgewicht?
2) Nehmen Sie an, die „ortsältere“ Eisdiele S trifft ihre Entscheidung vor V und gibt diese
dann bekannt. Wie viel Eis produzieren beide Eisdielen im Gleichgewicht?
3) Nehmen Sie wieder an, beide Eisdielen treffen Ihre Produktionsentscheidung simultan.
Die Stadt möchte durch eine Subvention pro Outputmenge für die „ortsältere“ Eisdiele S
erreichen, dass beide Eisdielen genau die unter 2. berechnete Menge produzieren. Wie
hoch muss die Subvention an S gewählt werden?
4) Nehmen Sie an, beide Eisdielen schließen sich zu einem Eis-Kartell zusammen und teilen
die Kartellmenge gleich auf. Wie viel produziert jede der beiden Eisdielen dann?
Lösung:
1) C(q)=2+q D(q)=9-q
π S (qS , qV ) = p(qS , qV )qS − c(qS )
π S (qS , qV ) = (9 − qS − qV )qS − (2 + qS )
π S (qS , qV ) = 8qS − qS2 − qS qV − 2
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∂π S
= 8 − 2qS − qV = 0
∂qS
1
qS = R1 (qV ) = 4 − qV
2
1
qV = R2 (qS ) = 4 − qS
2
1
1 
qS = R1 (qV ) = 4 −  4 − qs 
2
2 
8
8
qs =
qV =
3
3
2) Stackelberg-Führer: S
π S = p(qS ; R2 [qS ])qS − c(qS )


1
(analog, da symmetrisch)

π S (qS , qV ) =  9 − qS − 4 − qS  qS − (2 + qS )
2 


1 2
π S (qS , qV ) = 4qS − qS − 2
2
∂π S
= 4 − qS = 0
∂qS
qs = 4
(Menge Stackelberg-Führer)
1
qV = R2 (qS ) = 4 − qS
2
qV = 2
(Menge Stackelberg-Folger)
3) Subvention S
π S = (9 − qS − qV )qS − 2 − qS + SqS

π S = −qS2 + qS (8 − qV + S ) − 2
∂π S
∂qS
= −2qS + 8 − qV + S = 0
1
1
qS = 4 − qV + S
2
2
Gegeben S produziert 4 und V produziert 2 (gemäß Teilaufgabe 2).
1
1
4= 4− 2+ S S = 2
2
2
4) Kartell, d.h. beide produzieren die Monopolmenge
MR = MC
MC = 1
MR = 9 − 2q
M
q = 4 jede Eisdiele produziert q = 2
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