1 Seite 1 Kapitel 1 Das Schubfachprinzip Kapitel 1 Das

Kapitel
Kapitel11
Das
DasSchubfachprinzip
Schubfachprinzip
Inhalt
Inhalt
1.1
1.1Das
DasPrinzip
Prinzip
Tauben
Tauben und
und Taubenschläge
Taubenschläge
1.2
1.2Einfache
EinfacheAnwendungen
Anwendungen
Die
Socken
Die Sockendes
desProfessor
ProfessorMathemix,
Mathemix,Gleiche
GleicheZahl
Zahlvon
vonBekannten
Bekannten
1.3
1.3Cliquen
Cliquenund
undAnticliquen
Anticliquen
1.4
1.4Entfernte
EntferntePunkte
Punkteim
imQuadrat
Quadrat
1.5
1.5Differenzen
Differenzenvon
vonZahlen
Zahlen
1.6
1.6Teilen
Teilenoder
odernicht
nichtteilen
teilen
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Seite 2
Kapitel 1
Seite 1
1
1.1
1.1Das
DasPrinzip
Prinzip
Schubfachprinzip.
Schubfachprinzip.Seien
Seien m
m Objekte
Objekteinin nnKategorien
Kategorien
(“Schubfächer”)
(“Schubfächer”)eingeteilt.
eingeteilt.Wenn
Wenn m
m>>nn ist,
ist,dann
danngibt
gibtes
esmindestens
mindestens
eine
eineKategorie,
Kategorie,die
die mindestens
mindestenszwei
zweiObjekte
Objekteenthält.
enthält.
Oft
Oftwird
wirddas
dasSchubfachprinzip
Schubfachprinzipauch
auchals
als„Taubenschlagprinzip“
„Taubenschlagprinzip“
bezeichnet:
Wenn
m
Tauben
in
n
Taubenschlägen
bezeichnet: Wenn m Tauben in n Taubenschlägensitzen
sitzenund
und m
m>>
nn ist,
ist,dann
dannsitzen
sitzenininmindestens
mindestenseinem
einemTaubenschlag
Taubenschlagmindestens
mindestens
zwei
zwei Tauben.
Tauben.
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Kapitel 1
Einfache
EinfacheBeispiele
Beispiele
•• Unter
Unterjeje13
13Personen
Personengibt
gibtes
esmindestens
mindestenszwei,
zwei,die
dieim
imselben
selbenMonat
Monat
Geburtstag
Geburtstaghaben.
haben.
•• Unter
Unterjejedrei
dreiPersonen
Personenhaben
habenmindestens
mindestenszwei
zweidasselbe
dasselbeGeschlecht.
Geschlecht.
•• Unter
je
12
Studierenden
gibt
es
mindestens
zwei
aus
demselben
Unter je 12 Studierenden gibt es mindestens zwei aus demselben
Fachbereich.
Fachbereich.
•• Unter
Unterjeje50
50Studierenden
Studierendengibt
gibtes
esmindestens
mindestenszwei
zweimit
mitderselben
derselben
Semesterzahl.
Semesterzahl.
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Kapitel 1
Seite 2
2
1.2
1.2Einfache
EinfacheAnwendungen
Anwendungen
1.2.1
1.2.1Die
DieSocken
Sockendes
desProfessor
ProfessorMathemix
Mathemix
In
Inder
derSockenkiste
Sockenkistevon
vonProfessor
ProfessorMathemix
Mathemixbefinden
befindensich
sich 10
10 graue
graue
und
10
braune
Socken.
und 10 braune Socken.
Der
DerProfessor
Professornimmt
nimmt––ininGedanken
Gedankenversunken
versunken ––eine
eineReihe
Reihevon
von
Socken
heraus.
Socken heraus.
Wie
Wieviele
vielemuß
mußer
erherausnehmen,
herausnehmen,um
um
(a)
(a)garantiert
garantiertzwei
zweigleichfarbige,
gleichfarbige,
(b)
(b)garantiert
garantiertzwei
zweigraue
graueSocken
Sockenzu
zuerhalten?
erhalten?
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Kapitel 1
Wie
Wieviele
vieleSocken?
Socken?––Lösung
Lösung
Lösung.
Lösung.Wir
Wirteilen
teilendie
dieSocken
Sockendes
desProfessors
Professorsininzwei
zweiKategorien
Kategorien
ein:
In
die
Kategorie
der
grauen
und
die
der
brauen
Socken.
ein: In die Kategorie der grauen und die der brauen Socken.
(Im
(ImSchubfachprinzip
Schubfachprinzipist
istdann
dann nn==2.)
2.)
(a)
(a)Wenn
WennProfessor
ProfessorMathemix
Mathemix m
m==33 Socken
Sockenseiner
seinerKiste
Kisteentnimmt,
entnimmt,
so
sind
nach
dem
Schubfachprinzip
mindestens
zwei
aus
derselben
so sind nach dem Schubfachprinzip mindestens zwei aus derselben
Kategorie.
Kategorie.Also
Alsohat
hater
erentweder
entwederzwei
zweigraue
graueoder
oderzwei
zweibraune
braune
Socken
gezogen.
Socken gezogen.
(b)
(b)Wenn
Wenner
eraber
aberdarauf
daraufbesteht,
besteht,zwei
zweiSocken
Sockenseiner
seinerLieblingsfarbe
Lieblingsfarbe
grau
zu
bekommen,
so
muß
er
im
schlimmsten
Fall
12
grau zu bekommen, so muß er im schlimmsten Fall 12Socken
Socken
ziehen,
ziehen,denn
denndie
dieersten
ersten10
10könnten
könntenjajaalle
allebraun
braunsein.
sein.
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Seite 3
3
Gleiche
GleicheZahl
Zahlvon
vonBekannten
Bekannten
1.2.1
1.2.1Satz.
Satz.In
Injeder
jederGruppe
Gruppevon
vonmindestens
mindestenszwei
zweiPersonen
Personengibt
gibtes
es
zwei,
zwei,die
diedie
diegleiche
gleicheAnzahl
Anzahlvon
vonBekannten
Bekannteninnerhalb
innerhalbdieser
dieserGruppe
Gruppe
haben.
haben.
(Voraussetzung:
(Voraussetzung:Die
DieRelation
Relation“bekannt
“bekanntsein”
sein”ist
istsymmetrisch;
symmetrisch;das
das
heißt:
heißt:aus
ausder
derTatsache,
Tatsache,daß
daß XX mit
mit YY bekannt
bekanntist,
ist,folgt,
folgt,daß
daß YY mit
mit
XX bekannt
bekanntist.
ist.Wir
Wirkönnen
könnenalso
alsosagen
sagen„X
„X und
undYY sind
sindbekannt“.
bekannt“.
Außerdem
wollen
wir
zu
den
Bekannten
einer
Person
nicht
Außerdem wollen wir zu den Bekannten einer Person nichtdiese
diese
Person
Personselbst
selbstrechnen.)
rechnen.)
Beweis.
Beweis.Mit
MitHilfe
Hilfedes
desSchubfachprinzips.
Schubfachprinzips.
Objekte:
die
Personen
der
Objekte: die Personen derGruppe.
Gruppe.Sei
Sei m
m die
dieAnzahl
Anzahlder
derPersonen.
Personen.
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Kapitel 1
Die
DieKategorien
Kategorien
Wir
Wir fassen
fassen diejenigen
diejenigen Personen
Personen inin einer
einer Kategorie
Kategorie zusammen,
zusammen, die
die
die
gleiche
Anzahl
von
Bekannten
haben.
die gleiche Anzahl von Bekannten haben.
KK0 diejenigen,
die überhaupt keine Bekannten haben;
0 diejenigen, die überhaupt keine Bekannten haben;
KK1::diejenigen,
diejenigen,die
dieeinen
eineneinzigen
einzigenBekannten
Bekanntenhaben;
haben;
1
...
...
KKm–1::diejenigen
Menschen, die alle anderen m–1 kennen.
m–1 diejenigen Menschen, die alle anderen m–1 kennen.
Allgemein:
Allgemein: In
In der
der Kategorie
Kategorie KKi i befinden
befinden sich
sich diejenigen
diejenigen Personen,
Personen,
die
genau
i
Bekannte
innerhalb
der
Gruppe
haben.
die genau i Bekannte innerhalb der Gruppe haben.
Dies
Dies sind
sind genau
genau m
m Kategorien,
Kategorien, also
also genau
genau so
so viele
viele wie
wie Objekte
Objekte ––
???
???
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Kapitel 1
Seite 4
4
Der
DerTrick
Trick
Trick:
tritt höchstens eine auf.
Trick:Von
Vonden
denKategorien
Kategorien KK00 und
und KKm–1
m–1 tritt höchstens eine auf.
Mit
anderen
Worten:
Wenn
eine
von
diesen
Mit anderen Worten: Wenn eine von diesenKategorien
Kategorienein
einObjekt
Objekt
enthält,
enthält,dann
danndie
dieandere
anderebestimmt
bestimmtnicht.
nicht.
Warum?
Warum?Wir
Wirbetrachten
betrachtendie
dieSituation,
Situation,dass
dassmindestens
mindestenseine
einePerson
Person
PP ininder
derKategorie
Kategorie KKm–1 enthalten
enthaltenist.
ist.Dann
Dannmüssen
müssenwir
wirzeigen,
zeigen,
m–1
dass
dass KK00 leer
leerist.
ist.
Das
bedeutet,
dass
Das bedeutet, dass PP alle
alleanderen
anderenPersonen
Personender
derGruppe
Gruppekennt.
kennt.
Dann
kennen
aber
auch
alle
Personen
der
Gruppe
die
Person
Dann kennen aber auch alle Personen der Gruppe die Person PP
(“bekannt
(“bekanntsein”
sein”ist
istsymmetrisch!).
symmetrisch!).Also
Alsohat
hatjede
jedePerson
Personder
derGruppe
Gruppe
mindestens
mindestenseinen
einenBekannten.
Bekannten.Das
Dasheißt,
heißt,dass
dasskeine
keinePerson
Personininder
der
Kategorie
Kategorie KK00 ist.
ist.
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Kapitel 1
Beweisabschluss
Beweisabschluss
Es
Esgibt
gibtalso
alsohöchstens
höchstens m–1
m–1 Kategorien,
Kategorien,die
dieüberhaupt
überhaupteine
einePerson
Person
enthalten.
enthalten.
Jetzt
Jetztkönnen
könnenwir
wirdas
dasSchubfachprinzip
Schubfachprinzipanwenden.
anwenden.
Dieses
liefert
uns
eine
Kategorie
mit
mindestens
Dieses liefert uns eine Kategorie mit mindestenszwei
zweiObjekten,
Objekten,also
also
zwei
zweiPersonen
Personenmit
mitder
dergleichen
gleichenAnzahl
Anzahlvon
vonBekannten.
Bekannten.
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Kapitel 1
Seite 5
5
1.3
1.3Cliquen
Cliquenund
undAnticliquen
Anticliquen
1.3.1
1.3.1Satz.
Satz.Unter
Unterjeje66 Personen
Personen
gibt
es
stets
drei,
die
sich
gibt es stets drei, die sichpaarweise
paarweisekennen
kennen(„Clique“)
(„Clique“)
oder
oderdrei,
drei,die
diesich
sichpaarweise
paarweisenicht
nichtkennen
kennen(„Anticlique“).
(„Anticlique“).
Beweis.
Beweis. Wir
Wirgreifen
greifenirgendeine
irgendeinePerson
Person PP11 heraus
herausund
undbetrachten
betrachten
zunächst
zunächstderen
derenBekannte.
Bekannte.
Jede
Jededer
derfünf
fünfanderen
anderenPersonen
Personenist
istentweder
entwederbekannt
bekanntoder
odernicht
nicht
bekannt
bekanntmit
mit PP1..Da
Da 55>>2⋅2
2⋅2 ist,
ist,hat
hat PP1 also
alsoentweder
entweder(mindestens)
(mindestens)
1
1
drei
dreiBekannte
Bekannteoder
oder(mindestens)
(mindestens)drei
dreiNichtbekannte
Nichtbekannteininder
derGruppe.
Gruppe.
Nehmen
wir
an,
er
habe
drei
Bekannte
P
,
P
und
P
.
Nehmen wir an, er habe drei Bekannte P2 , P3 und P4 .
2
3
4
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Kapitel 1
Fallunterscheidung
Fallunterscheidung
1.
1.Fall:
Fall:Unter
Unterden
denPersonen
Personen PP22,,PP33,,PP44 gibt
gibtes
eszwei,
zwei,die
diesich
sichkennen,
kennen,
sagen
wir:
P
und
P
.
Dann
kennen
sich
P
,
P
und
P
2
3
1
2
3
sagen wir: P und P . Dann kennen sich P , P und P
2
3
1
2
3
gegenseitig.
gegenseitig.Daher
Daherist
istdie
dieBehauptung
Behauptungrichtig.
richtig.
2.
2.Fall:
Fall:Keine
Keinezwei
zweider
derPersonen
Personen PP22,,PP33,,PP44 kennen
kennensich.
sich.Dann
Dannist
ist
PP2,,PP3,,PP4 eine
Menge
von
Personen,
die
sich
gegenseitig
nicht
eine Menge von Personen, die sich gegenseitig nicht
2
3
4
kennen.
kennen.Auch
Auchinindiesem
diesemFall
Fallgilt
giltalso
alsodie
dieBehauptung.
Behauptung.
Bemerkung.
Bemerkung. 1928
1928bewies
bewiesF.
F.P.
P.Ramsey
Ramsey(1903–1930)
(1903–1930)einen
einensehr
sehr
allgemeinen
Satz:
Zu
je
zwei
natürlichen
Zahlen
m,
n
≥
2
gibt
allgemeinen Satz: Zu je zwei natürlichen Zahlen m, n ≥ 2 gibtes
eseine
eine
Zahl
Zahl M,
M,so
sodass
dassfür
fürjede
jedeMenge
Mengevon
vonmindestens
mindestens M
M Personen
Personengilt:
gilt:
Es
gibt
in
dieser
Menge
entweder
n
Personen,
die
sich
paarweise
Es gibt in dieser Menge entweder n Personen, die sich paarweise
kennen
kennenoder
oder m
m Personen,
Personen,die
diesich
sichpaarweise
paarweisenicht
nichtkennen.
kennen.
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Kapitel 1
Seite 6
6
1.4
1.4Entfernte
EntferntePunkte
Punkteim
imQuadrat
Quadrat
Wir
Wirbetrachten
betrachtenein
einQuadrat
Quadratder
derSeitenlänge
Seitenlänge 22 und
undfragen
fragenuns,
uns,wie
wie
viele
Punkte
wir
in
das
Quadrat
einzeichnen
können,
die
“weit
viele Punkte wir in das Quadrat einzeichnen können, die “weit
voneinander
voneinander entfernt”
entfernt” sind.
sind.
1.4.1
1.4.1Satz.
Satz.Unter
Unterjejefünf
fünfPunkten,
Punkten,die
dieinineinem
einemQuadrat
Quadratder
der
Seitenlänge
2
liegen,
gibt
es
zwei,
die
einen
Abstand
≤
Seitenlänge 2 liegen, gibt es zwei, die einen Abstand ≤√2
√2 haben.
haben.
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Seite 13
Kapitel 1
Der
DerBeweis
Beweis
Beweis.
Beweis. Mit
MitHilfe
Hilfedes
desSchubfachprinzips.
Schubfachprinzips.
Wir
teilen
das
Quadrat
Wir teilen das Quadratder
derSeitenlänge
Seitenlänge 22 ininininvier
vierTeilquadrate
Teilquadrateder
der
Seitenlänge
1
ein.
Seitenlänge 1 ein.
Wir
Wirfassen
fassendie
diePunkte
Punkteeines
einesjeden
jedenTeilquadrats
Teilquadratszu
zueiner
einerKategorie
Kategorie
zusammen;
zusammen;es
esgibt
gibtalso
alsogenau
genauvier
vierKategorien.
Kategorien.
Da
Daes
esaber
aberfünf
fünfObjekte
Objekte(die
(diePunkte)
Punkte)gibt,
gibt,folgt
folgtmit
mitSchubfachprinzip,
Schubfachprinzip,
dass
es
eine
Kategorie
mit
zwei
Objekten
gibt.
dass es eine Kategorie mit zwei Objekten gibt.
Das
Dasheißt:
heißt:Es
Esgibt
gibtein
einTeilquadrat,
Teilquadrat,inindem
demzwei
zweider
derfünf
fünfPunkte
Punkte
liegen.
liegen.Da
Dader
dermaximale
maximaleAbstand
Abstandinineinem
einemTeilquadrat
Teilquadratgleich
gleich √2
√2
(die
(dieLänge
Längeder
derDiagonale)
Diagonale)ist,
ist,haben
habendiese
diesebeiden
beidenPunkte
Punkteeinen
einen
Abstand
≤
√2.
Abstand ≤ √2.
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Kapitel 1
Seite 7
7
1.5
1.5Differenzen
Differenzenvon
vonZahlen
Zahlen
1.5.1
1.5.1Satz.
Satz.Unter
Unterjejesechs
sechsnatürlichen
natürlichenZahlen
Zahlengibt
gibtes
esstets
stetszwei,
zwei,
deren
derenDifferenz
Differenzdurch
durch 55 teilbar
teilbarist.
ist.
Beispiel:
Beispiel: Sind
Sind die
die Zahlen
Zahlen 8,
8, 17,
17, 21,
21, 25,
25, 33,
33, 49,
49, so
so ergibt
ergibt sich,
sich, dass
dass
33
33––55==25
25 durch
durch 55 teilbar
teilbarist.
ist.
Beweis.
Beweis. Um
Umdas
dasSchubfachprinzip
Schubfachprinzipanwenden
anwendenzu
zukönnen,
können,müssen
müssen
wir
wissen,
was
die
Objekte
und
was
die
Kategorien
sind.
wir wissen, was die Objekte und was die Kategorien sind.
Die
DieObjekte
Objektesind
sinddie
die 66 natürlichen
natürlichenZahlen.
Zahlen.
Diese
Diesewerden
werdennun
nunininfünf
fünfKategorien
Kategorien KK00,,KK1,1,...,
...,KK44 eingeteilt:
eingeteilt:
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Kapitel 1
Beweis
Beweis
••
••
KK0::diejenigen
Zahlen, die Vielfache von 5 sind,
0 diejenigen Zahlen, die Vielfache von 5 sind,
KK1::diejenigen
Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 1 ergeben.
1 diejenigen Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 1 ergeben.
•• KK2::diejenigen
Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 2 ergeben.
2 diejenigen Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 2 ergeben.
•• ...
...
•• KK4::diejenigen
Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 4 ergeben.
4 diejenigen Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 4 ergeben.
Da
Dajede
jedeZahl
Zahlbei
beiDivision
Divisiondurch
durch 55 den
denRest
Rest 0,
0,1,
1,2,
2,33 oder
oder 44
ergibt,
ergibt,ist
istjede
jedeZahl
Zahlininmindestens
mindestenseiner
einerKategorie
Kategorieenthalten.
enthalten.
Schubfachprinzip
Schubfachprinzip⇒
⇒es
esgibt
gibteine
eineKategorie
Kategoriemit
mitzwei
zweiObjekten.
Objekten.
Also
gibt
es
zwei
Zahlen,
die
bei
Division
durch
5
denselben
Also gibt es zwei Zahlen, die bei Division durch 5 denselbenRest
Rest
ergeben.
ergeben.Das
Dasbedeutet:
bedeutet:Die
DieDifferenz
Differenzist
istdurch
durch55teilbar.
teilbar.
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Kapitel 1
Seite 8
8
1.6
1.6Teilen
Teilenoder
odernicht
nichtteilen
teilen
Erinnerung:
Erinnerung:Wir
Wirnennen
nennenzwei
zweiganze
ganzeZahlen
Zahlen teilerfremd,
teilerfremd,wenn
wennihr
ihr
größter
gemeinsamer
Teiler
1
ist.
größter gemeinsamer Teiler 1 ist.
Zum
ZumBeispiel
Beispielsind
sind 77 und
und12
12 teilerfremd,
teilerfremd,88und
und12
12aber
abernicht.
nicht.
1.6.1
1.6.1Satz.
Satz.Unter
Unterjeje n+1
n+1Zahlen
Zahlender
derMenge
Menge {1,
{1,2,
2,3,
3,...,
...,2n}
2n} gibt
gibtes
es
stets
zwei
teilerfremde.
stets zwei teilerfremde.
Beweis.
Beweis. Unter
Unterjeje n+1
n+1 Zahlen
Zahlender
derMenge
Menge {1,
{1,2,
2,3,
3,...,
...,2n}
2n} gibt
gibtes
es
stets
zwei
aufeinanderfolgende;
stets zwei aufeinanderfolgende;
diese
dieseZahlen
Zahlensind
sindsicher
sicherteilerfremd.
teilerfremd.
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Kapitel 1
Zwei
ZweiZahlen
Zahlenteilen
teilensich
sich
1.6.2
1.6.2Satz.
Satz.Unter
Unterjeje n+1
n+1 Zahlen
Zahlender
derMenge
Menge {1,
{1,2,
2,3,
3,...,
...,2n}
2n} gibt
gibtes
es
stets
zwei
Zahlen,
von
denen
die
eine
die
andere
teilt.
stets zwei Zahlen, von denen die eine die andere teilt.
Beweis.
Beweis.Seien
Seien aa00,, aa11,,...,
...,aann die
diegewählten
gewähltenZahlen.
Zahlen.
Wir
Wirschreiben
schreibenjede
jededieser
dieserZahlen
Zahlenals
alsProdukt
Produkteiner
einerZweierpotenz
Zweierpotenz
und
undeiner
einerungeraden
ungeradenZahl;
Zahl;das
dasheißt
heißt
aai == 22eei⋅u
i⋅ui, ,
i
i
wobei
wobei eei i eine
eine natürliche
natürliche Zahl
Zahl (e
(ei i darf
darf Null
Null sein),
sein), und
und uui i ungerade
ungerade
ist.
(Konkrete
Beispiele:
Wenn
a
ungerade
ist,
dann
ist
e
i
i
ist. (Konkrete Beispiele: Wenn a ungerade ist, dann ist e ==00 und
und
i
i
uui == aai..Im
Fall a = 12 ist ei ==22 und
und uui i==3.)
3.)
i
i Im Fall ai i = 12 ist e
i
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Kapitel 1
Seite 9
9
Beweisabschluss
Beweisabschluss
Dann
Dannsind
sinddie
die uui i ungerade
ungeradeZahlen
Zahlenzwischen
zwischen11und
und2n.
2n.
Da
es
in
diesem
Intervall
nur
n
ungerade
Zahlen
gibt,
Da es in diesem Intervall nur n ungerade Zahlen gibt,
muss
musses
esein
ein i i und
undein
ein j j (i(i≠≠j)j)geben
gebenmit
mit uui i== uuj j(Schubfachprinzip).
(Schubfachprinzip).
Dann
ist
Dann ist
aai == 22eei⋅u
a = 2eej⋅u
i⋅ui und
j ,
i
i und aj j = 2 ⋅ui i,
Dann
Dannteilt
teiltdie
dieZahl
Zahlmit
mitder
derkleineren
kleinerenZweierpotenz
Zweierpotenzdie
dieandere.
andere.
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Kapitel 1
Seite 10
10