Eine Bemerkung zur Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen

Eine Bemerkung zur Wohlordnungseigenschaft
der natürlichen Zahlen
Autor(en):
Stein, M.
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
Elemente der Mathematik
Band (Jahr): 36 (1981)
Heft 5
PDF erstellt am:
21.10.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-35554
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134
Elementarmathematik und Didaktik
rational und damit
K)
rational
Der Beweis der Aussage (5) ist also erbracht, wenn gezeigt ist, dass
Kr
m+n
irrational ist
Die m-te Wurzel aus dem Quotienten der beiden teilerfremden Zahlen m + n und
n kann aber nur dann rational sein, wenn sowohl m + n als auch n eine m-te
Potenz ist Ist n wm, so gilt für die nächsthöhere m-te Potenz nach der Unglei¬
chung von Bernoulli
(w+iy>wm + mw^n + m
m + n kann also nicht gleichzeitig
ist
mit
n eine m-te Potenz sein,
womit (5) bewiesen
Die m (4) aufgeführten Losungspaare sind also die einzigen rationalen
Da n+l und n teilerfremd sind, erhalt man schliesslich für n=l die einzige
ganzzahlige Losung (2/4)
Peter Hohler, Ölten
Peter Gebauer, Zürich
LITERATURVERZEICHNIS
1
2
R Honsberger Mathematicai Morseis Dolciani Math Expos USA 1978 (Problem 26)
Proc Am Math Soc Ji (1972) 316
D Sato Algebraic Solution
ofx^^
Eine Bemerkung zur Wohlordnungseigenschaft der naturlichen Zahlen
In der didaktischen Literatur findet man viele Axiomatisierungen der natürlichen
Zahlen, die von den Peano-Axiomen abgeleitet sind oder die die Wohlordnungs¬
eigenschaft benutzen Wir wollen hier ein Axiomensystem vorstellen, das im ent¬
scheidenden - zur Wohlordnung äquivalenten - Axiom von Machtigkeitsbetrachtungen ausgeht und das dabei em besonders einfaches Prinzip benutzt
Das Dmchletsche Schubfachprinzip
Wenn m Gegenstande auf n Schubfacher verteilt werden und dabei m>n ist,
dann enthalt em Schubfach mehr als emen Gegenstand
Bauhoff zeigt m [1], dass das Schubfachprinzip als Beweisprinzip sinnvoll verwendet
werden kann Engel und Sewenn stellen m [3] eine Fülle von Aufgaben und Pro¬
blemen vor, die mittels des Schubfachprinzips zu losen smd Pmker schliesslich
Elementarmathematik und Didaktik
135
vergleicht in [5] dieses Prinzip mit der vollständigen Induktion und der Wohl¬
ordnungseigenschaft bezüglich seiner intuitiven Akzeptierbarkeit.
Wir wollen hier zeigen, dass in einem geeigneten Axiomensystem die Wohl¬
ordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen durch das Dirichletsche Schubfach¬
prinzip - bzw. eine äquivalente Formulierung - ersetzt werden kann. (Pinker [4]
zeigt diese Äquivalenz ebenfalls. Beim Nachweis der entscheidenden Implikation Schubfachprinzip => Wohlordnung - benutzt er jedoch in versteckter Weise ein
der vollständigen Induktion gleichwertiges Prinzip. Auch fehlt ein axiomatischer
Rahmen, innerhalb dessen ein exakter Beweis geführt werden kann.)
Für eine Axiomatisierung der natürlichen Zahlen mittels der Wohlordnungseigen¬
schaft wählen wir folgende Axiome:
Wrl: Auf N gibt es eine Relation < mit den folgenden Eigenschaften:
a) < ist transitiv,
b)
c)
n<m=>n^m,
(w<mvn mvm<n).
/\
W2: N hat bezüglich < kein grösstes Element.
W3: Für jedes meN gilt: ist M={x\x<m,xeN}i^$, dann enthält M ein grösstes
Element. (Wir nennen es den «unmittelbaren Vorgänger von m» und bezeichnen
es als m — 1.)
W4: Jede nichtleere Teilmenge von N hat bezüglich
(d. h., N ist bezüglich < wohlgeordnet).
<
ein kleinstes Element
In dieser Axiomatisierung soll die Wohlordnungseigenschaft durch das Schub¬
fachprinzip ersetzt werden. Dazu müssen wir zunächst eine geeignete Formulierung
wählen:
Als «Menge von k Gegenständen» wollen wir die natürlichen Zahlen von 0 bis
k— 1 verstehen; wir definieren also:
Sm:={x\x<m,xeN\
Das Schubfachprinzip besagt jetzt:
Wennm>n ist, dann ist Sn gleichmächtig einer echten Teilmenge von Sm.
Der einfacheren Formulierung wegen wählen wir die Kontraposition dieses Prinzips
als Präzisierung des Schubfachprinzips:
D:Sm~Sn-*m n.
Wir haben damit eine schwache Form des bei Bigalke [2] angegebenen Axioms
H.3 erhalten, das in unserer Terminologie lauten würde: «Sn ist eine endliche
Menge».
Der Beweis der Äquivalenz von W4 und D soll nun geführt werden, ohne dass
wir wie Bigalke andere äquivalente Axiomatisierungen von N «dazwischenschalten».
Elementarmathematik und Didaktik
136
Satz. Die Axiomensysteme W1-W4 und W1-W3, D sind äquivalent.
Beweis:
1. Wir zeigen, dass aus der Wohlordnungseigenschaft das Schubfachprinzip folgt:
Annahme: Das Schubfachprinzip D gilt nicht. Dann gibt es n,meN mit Sn~Sm,
n<m. Sei n0 das kleinste n eN, zu dem es ein solches m gibt.
n0ist ungleich 0, denn S0 $*Sm^$.
Ferner gilt auch n0>l (wobei 1 die kleinste Zahl >0 ist), denn aus
folgt:
m>n0=l
{0,l}cS^S,-{0).
Sei nun
S^~ Sm mit m > n0.
bijektive Funktion, die wir o.B.d.A. so wählen können, dass
f(np— l) m— (np— 1 und m— 1 sind definiert, da 0<n0).
Die Funktion g: Sno-X-+Sm-X sei definiert als Einschränkung von auf SnQ-X. g ist
wohldefiniert, da Sm-X^$jt= Sm-X (np^ 1), und nach Konstruktion bijektiv.
Damit ist S'no_i~Sm-X, np—l<n0,np—l<m-l, und wir erhalten einen Wider¬
spruch zur Minimalität von n0.
f:
sei eine
S^Sm
1
f
Wir zeigen, dass aus dem Schubfachprinzip die Wohlordnungseigenschaft folgt:
Annahme: Es gibt ein S mit jl=t=5cN, das kein kleinstes Element besitzt. Sei
neS,m:=n—l. Zu diesem n,m betrachten wir Sn,Sm und definieren wie folgt
2.
eine
Funktion/: Sn-^Sm
Jm%
f(x):=
j
I
q, £
ist die grosste Zahl in Sm, die kleiner als x ist, wenn
S ein Element enthält, das kleiner als x ist
x
sonst
/
Der Beweis ist abgeschlossen, wenn wir gezeigt haben, dass bijektiv ist, denn
dann ist Sn~Sm, woraus mit dem Axiom D folgt, dass n m gilt, was ein
Widerspruch zur Definition von m ist.
I.
fist surjektiv
Sei zeSm.
Fall. S enthält ein Element, das kleiner als z+\ ist
natürliche Zahl, die grösser als z ist).
Dann ist z+ leSnJ(z+ l) z.
2. Fall. S enthält kein Element kleiner als z + 1. Dann ist/(z)
Damit ist die Surjektivität von/nachgewiesen.
1.
II. fist injektiv
Sei
x^y;
f{x)+f(y).
(z+l
ist die kleinste
z.
x,yeSn. O.B.d.A. können wir annehmen: x<y. Wir wollen zeigen:
Wir müssen folgende Fälle unterscheiden:
/. Fall. Es gibt ein/?e S, das kleiner als x ist.
Dann ist f(x)<f(y), woraus f(x)^f(y) folgt.
Aufgaben
137
Fall. Es gibt kein/?e S, das kleiner als x ist.
Dannist/(x) x.
Wenn S nun auch keine kleinere Zahl als y enthält, ist f(y)=y ^ x =f(x).
Wenn es ein/?e S mit/?<y gibt, ist x</?.
(Aus p^x würde aus der Annahme über S folgen, dass es em reS mit
r<p^x gibt, im Widerspruch zur obigen Annahme.)
Aus x <p folgt aberf(x)=x <p ^f(y).
Damit ist die Injektivität von/nachgewiesen.
M. Stein, Münster
2.
LITERATURVERZEICHNIS
1
E P Bauhoff Schlüsse nach dem Schubfachprinzip im Mathematikunterricht In R Bodendiek
(Hrsg) Zwischenbilanz Situation und Tendenz des Mathematikunterrichts heute Herder-Verlag,
Freiburg 1978
H-G Bigalke Zur Struktur der Menge der natürlichen Zahlen MNU, Bd 16, S.97-101 (1963)
3 A Engel und H Sewenn Das Schubfachprinzip MU, 25 Jg Heft 1, S 23-37 (1979)
4 A Pinker The Equivalence of the Well-Ordenng Pnnciple and Dinchlet's Box Pnnciple The Two
Year College Mathematics Journal, Bd 5, Nr 1, S 76-77 (1974)
5 A Pinker Induction and Well Ordenng School Science and Mathematics, Bd 76, S 207-214
2
6
(1976)
P Sorger und M Stern Logik
in der Oberstufe Erscheint in ZDM
Aufgaben
Aufgabe 847. Die beiden Zahlenfolgen (an), (bn) mit
IM,
7=0
V
n — kj
J
J
und
>--UZt)'
(n
0,1,2,...; k eine feste natürliche,
s
eine feste reelle Zahl) sind durch einfache
Rekursionsformeln zu charakterisieren.
(Für 5=1 sind an,bn Transversalsummen, für s=
summen im Pascal-Dreieck.)
—
\ alternierende Transversal¬
J.
Lösung: Wir definieren die Folge (An(X))n=p
stimmten X durch
An(X):=l für O^n^k,
x
Binz, Bolligen
von Polynomen in einer Unbe¬
An+x(X):=An(X)+XAn_k(X) für
n^k
(1)