Aufgaben

7. Klasse
Juli 2007 (Nr. 10)
Liebe Schülerinnen und Schüler!
Nachdem wir in der letzten Ausgabe der
uns intensiv mit Leonhard Euler befasst haben,
wollen wir uns heute einem Problemlöseverfahren zuwenden, das mit dem deutschen Mathematiker
Dirichlet eng verbunden ist.
Sucht euch wieder Aufgaben heraus, die ihr bearbeiten wollt. Bitte versucht eure Lösungen so zu
beschreiben, dass wir eure Lösungsideen nachvollziehen können. Denkt auch bitte daran, euren Namen
auf alle Lösungsblätter zu schreiben.
Und jetzt: Viel Spaß beim Knobeln!!!
Problemlösen mit Schubfächern
In dieser Ausgabe der
wollen wir euch ein einfaches Prinzip erklären, das beim Lösen
von manchen Aufgaben nützlich sein kann. Es ist das sogenannte Schubfachprinzip:
Wenn man n+1 Perlen auf n Schubfächer verteilt, dann gibt es mindestens ein Schubfach,
in dem sich mehr als eine Perle befindet.
Das ist tatsächlich schon alles! Klingt sehr einfach – ist es auch. Die Schwierigkeit besteht oft darin,
bei einer Aufgabenstellung zu erkennen, was die Perlen und was die Schubfächer sind.
Das Schubfachprinzip geht auf den deutschen Mathematiker Dirichlet zurück. Deshalb heißt es auch
oft Dirichletsches Schubfachprinzip. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wurde am 13.2.1805 in Düren
bei Aachen geboren und starb am 5.5.1859 in Göttingen. Dirichlet war ein ausgezeichneter Lehrer, der
in seinen Vorlesungen den Studenten aktuelle Probleme der mathematischen Forschung gut erklären
konnte.
Das Schubfachprinzip soll er entdeckt haben, als er in seinem Berliner Arbeitszimmer nach einem
überzeugenden Argument in einem schwierigen Beweis suchte. Da er keine gute Idee hatte, lehnte
er sich in seinem Stuhl zurück. Dabei fiel sein Blick auf einen kleinen Schrank mit vielen kleinen
Schubfächern. Plötzlich hatte er eine Idee, wie er seinen Beweis beenden konnte. Die vielen kleinen
Schubfächer hatten den entscheidenden Gedanken geliefert.
Dirichlet selbst hatte keinen besonderen Namen für dieses Prinzip. Der Name Schubfachprinzip wurde
von einem Schüler von Dirichlet, Richard Dedekind, geprägt, der 1863 die Vorlesungen über Zahlentheorie von Dirichlet veröffentlichte.
Nun wollen wir euch einige Beispiele zeigen, bei denen das Schubfachprinzip angewendet werden kann.
Anschließend gibt es für euch einige Aufgaben, an denen ihr euch ausprobieren könnt.
Beispiel 1:
Unter drei Personen gibt es immer zwei mit gleichem Geschlecht.
Nun, so werdet ihr sagen, das ist doch klar. Und ihr habt recht damit. Trotzdem eignet sich dieses
Beispiel, um die Anwendung des Schubfachprinzips zu erklären.
Die drei Personen sind die ‘Perlen’. Nun brauchen wir noch zwei Schubfächer, das können zum Beispiel
zwei Rechtecke sein, die auf den Fußboden gezeichnet sind. Das eine Rechteck wird mit ‘männlich’, das
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andere mit ‘weiblich’ beschriftet. Nun stellen wir jede der drei Personen in das zugehörige Rechteck. Da
wir drei Personen (Perlen), aber nur zwei Rechtecke (Schubkästen) haben, stehen in einem der beiden
Rechtecke mindestens zwei Personen. So kann das Schubfachprinzip für die oben stehende Behauptung
angewendet werden.
Beispiel 2:
Unter 13 Personen sind mindestens zwei, die im selben Monat Geburtstag haben.
Sicher werdet ihr schon jetzt wissen, wie wir diese Behauptung begründen können. Die 13 Personen
sind wieder die ‘Perlen’ und dann brauchen wir noch 12 Schubfächer, zum Beispiel kleine Zettel, jeder
mit einem Monatsnamen – natürlich soll dabei kein Monat mehrfach verwendet werden.
Die 12 Zettel werden nun auf dem Fußboden nebeneinander gelegt und jede der 13 Personen stellt sich
hinter den Zettel, auf dem der Monat steht, in dem er Geburtstag hat. Na klar – hinter einem Zettel
stehen wieder mindestens zwei Personen. Und die Behauptung ist bewiesen.
Beispiel 3:
Unter neun beliebigen natürlichen Zahlen gibt es mindestens zwei, deren Differenz durch 8 (ohne Rest)
teilbar ist.
Das ist schon etwas schwieriger. Probiert es selber aus: Schreibt euch neun natürliche Zahlen auf und
ihr werdet zwei finden, deren Differenz durch 8 geteilt werden kann. Warum ist das aber so? Nun ja,
auch hier wirkt das Schubfachprinzip.
Die ‘Perlen’ sind hier die neun Zahlen. Aber wie viele Schubfächer benötigen wir und was schreiben
wir drauf?
Wir denken daran, dass die Division einer beliebigen natürlichen Zahl durch 8 nicht immer eine
natürliche Zahl als Ergebnis hat. So ist zum Beispiel 39 : 8 = 4 Rest 7, oder 82 : 8 = 10 Rest 2, oder
5 : 8 = 0 Rest 5. Geht die Division auf, so können wir sagen, dass der Rest 0 ist: 32 : 8 = 4 Rest 0.
Als Reste können nur die Zahlen 0, 1, ... ,7 vorkommen. Also nehmen wir acht Schubfächer. Auf das
erste Schubfach schreiben wir die Zahl 0, auf das zweite die Zahl 1 ... und auf das achte die Zahl 7.
Nun werden die neun Zahlen auf die Schubfächer verteilt. Eine Zahl kommt in das Schubfach, auf
dem der Rest steht, der bei der Division dieser Zahl durch 8 entsteht. Dann liegen in einem Schubfach
wieder zwei Zahlen.
Jetzt denken wir daran, dass aus 39 : 8 = 4 Rest 7 auch 39 = 4 · 8 + 7 folgt (Probe!).
Ist z eine Zahl, die bei Division durch 8 den Rest r hat, so kann man allgemein z : 8 = k Rest r
schreiben, was aber auch z = k · 8 + r zur Folge hat.
Nun betrachten wir wieder unsere beiden Zahlen z1 und z2 , die gemeinsam in einem Schubfach liegen,
also bei Division durch 8 den selben Rest r haben. Für diese beiden Zahlen gilt dann:
z1 = k1 · 8 + r und z2 = k2 · 8 + r.
Wir können sogar voraussetzen, dass k1 ≥ k2 ist. Wäre dies nicht so, so könnten wir die beiden Zahlen
einfach vertauschen, und schon klappt es.
Als nächstes bilden wir die Differenz dieser beiden Zahlen.
Wir erhalten: z1 − z2 = (k1 · 8 + r) − (k2 · 8 + r) = k1 · 8 − k2 · 8 = 8 · (k1 − k2 ).
Weil (k1 − k2 ) ≥ 0 ist, ist z1 − z2 eine natürliche Zahl, die durch 8 ohne Rest geteilt werden kann.
Damit ist aber die Behauptung bewiesen
Nun zu euren Aufgaben:
Aufgabe 1:
In einem Raum befinden sich n Personen, die sich mit einem Händedruck gegenseitig begrüßen. Begründe, dass es zu jedem Zeitpunkt mindestens zwei Personen gibt, die gleich viele Leute begrüßt
haben! Versuche es dir an Hand eines Beispiels von 23 Menschen im Raum zu verdeutlichen.
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Aufgabe 2:
Aus der Menge {1, 2, 3, ..., 32}, werden 17 Zahlen beliebig herausgenommen. Zeige, dass es unter diesen 17 Zahlen immer
zwei Zahlen gibt, deren Summe 33 beträgt.
Aufgabe 3:
Aus der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} werden sieben
Zahlen beliebig herausgenommen. Zeige, dass es unter diesen
sieben Zahlen mindestens zwei Zahlen gibt, die zueinander
teilerfremd sind.
Hinweis: Bedenke, dass zwei aufeinanderfolgende Zahlen zueinander teilerfremd sind.
Aufgabe 4:
Überlege dir, wie viele Schüler an einer Schule sein müssten, damit es mindestens drei Schüler gibt,
die am gleichen Tag Geburtstag haben.
Natürlich müssen diese Schüler nicht das gleiche Geburtsjahr haben.
Zur Lösung dieser Aufgabe kannst du das verallgemeinerte Schubfachprinzip anwenden:
Wenn man n · k + 1 Perlen auf n Schubfächer verteilt, dann gibt es mindestens ein Schubfach, in dem sich mehr als k Perlen befinden.
Aufgabe 5:
In der Stadt New York wohnen viele Menschen. Die meisten von Ihnen haben Haare auf dem Kopf.
Informiere dich, wie viele Menschen etwa in New York leben und welches die durchschnittliche Anzahl
von Haaren auf dem Kopf eines Menschen ist. Mit diesen Fakten kannst du nun folgende Aufgabe
lösen:
Bestimme die Mindestanzahl der Personen in New York, die gleich viele Haare auf dem Kopf haben!
Aufgabe 6:
In einem Koordinatensystem sind fünf voneinander verschiedene Punkte gegeben, die jeweils ganzzahlige Koordinaten haben. Zeige, dass es unter diesen fünf Punkten einen gibt, der auf der Verbindungsstrecke von zwei anderen dieser fünf Punkte liegt.
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Spielempfehlung
logeo
Ein Logikspiel, das auch Erwachsene süchtig machen kann.
Mit Logeo wird eine Tafel mit neun Feldern, neun
Spielsteinen in drei Formen und drei Farben und
60 Aufgabenstellungen von leicht bis sehr schwer
geliefert. Die Quadrate, Dreiecke und Kreise müssen
so auf die Tafel platziert werden, dass am Ende alle neun Felder der Ablagetafel mit je einem Stein
belegt sind. Dazu geben die einzelnen Aufgabenstellungen Anweisungen zur Platzierung der neun
Steine. Bei den einfachen Aufgabenstellungen werden den Spielsteinen konkrete Felder zugeordnet. Aber es wird immer kniffliger. Mal wird nur gezeigt,
auf welchen Feldern ein Stein nicht liegen darf, mal werden mehrere Möglichkeiten zum Setzen angeboten.
Huch! & friends, 2004
Und nicht vergessen:
Die Lösungen der Aufgaben bei eurer Mathematiklehrerin oder eurem Mathematiklehrer abgeben. Der
Termin wird von euch von euren Lehrern mitgeteilt.
Viel Erfolg beim Knobeln und beim Lösen der Aufgaben, sowie erholsame Sommerferien wünschen
euch das Team der
.
Die
sind per E-Mail unter [email protected] zu erreichen.
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