Zusammenfassung: Energie, Leistung und Impuls
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LGÖ Ks Ph 10 Schuljahr 2016/2017 Zusammenfassung: Energie, Leistung und Impuls Energie und Arbeit Energie tritt in verschiedenen Formen auf. Die wichtigsten sind: Lageenergie EL = potenzielle Energie Epot (Beispiel: Wasser in einem hoch gelegenen Stausee) Bewegungsenergie EB = kinetische Energie Ekin : Translationsenergie (Beispiel: fließendes Wasser) oder Rotationsenergie (Beispiel: rotierendes Schwungrad) Spannenergie ESp (Beispiel: gespannte Feder) elektrische Energie (Beispiel: geladener Kondensator) Strahlungsenergie (Beispiel: Licht) thermische Energie (Beispiel: erwärmter Körper) chemische Energie (Beispiel: Benzin) Kernenergie („Beispiel“: Atomkern) In Klammern ist jeweils ein Beispiel für einen Träger dieser Energieform. Lageenergie, Bewegungsenergie und Spannenergie sind die mechanischen Energieformen. Die Energieformen können (jedenfalls im Prinzip) ineinander umgewandelt werden, und Energie kann (jedenfalls im Prinzip) von einem Körper auf einen anderen übertragen werden. Beispiele für Energieumwandlungen: Elektromotor: elektrische Energie Æ Bewegungsenergie (Rotationsenergie) Generator (Dynamo): Bewegungsenergie (Rotationsenergie) Æ elektrische Energie Glühlampe: elektrische Energie Æ Strahlungsenergie (und thermische Energie) Solarzelle: Strahlungsenergie Æ elektrische Energie Solarkollektor: Strahlungsenergie Æ thermische Energie Brennstoffzelle: chemische Energie Æ elektrische Energie Photosynthese: Strahlungsenergie Æ chemische Energie Mechanische Energie wird übertragen, indem Arbeit W verrichtet wird. Dabei wirkt eine Kraft F längs einer Wegstrecke s. Berechnung der Arbeit: 1. Wirkt die Kraft in Wegrichtung und ist die Kraft konstant, dann ist W F s . Merke: Arbeit ist Kraft mal Weg. 2. Falls die Kraft nicht in Wegrichtung wirkt: Zerlege F in eine Komponente Fs in Weg richtung und eine hierzu orthogonale Komponente F . Nur die Komponente Fs verrichtet Arbeit. Die Einheit der Energie bzw. Arbeit ist 1 J 1 Nm (Joule). Zur Herleitung der Formeln für die mechanischen Energieformen berechnet man die Arbeit, die man an einem Körper verrichten muss, damit er die jeweilige Energie hat. zus_energieleistungundimpuls 1/4 LGÖ Ks Ph 10 Schuljahr 2016/2017 Lageenergie: Um einen Körper der Masse m anzuheben, muss man auf ihn eine Kraft F ausüben, die die Gewichtskraft FG mg ausgleicht. (Streng genommen braucht man etwas mehr Kraft; bei langsamem Anheben ist das aber vernachlässigbar.) Wird der Körper von einem Nullniveau (zum Beispiel vom Erdboden) aus auf eine Höhe h angehoben, dann wirkt die Kraft F längs des Wegs h. Also ist die beim Hochheben verrichtete Arbeit W F s FG h mgh . F h NN Ergebnis: Ein Körper der Masse m in der Höhe h über einem (vorher festgelegten) Nullniveau hat die Lageenergie EL mgh . Achtung: Bei der Berechnung der Lageenergie muss vorher das Nullniveau festgelegt werden! Bewegungsenergie: Um einem Körper der Masse m die Beschleunigung a zu erteilen, braucht man die Kraft F ma . Wird der Körper aus der Ruhe längs der Strecke s auf die Geschwindigkeit v v2 beschleunigt, dann gilt s . Also ist die beim Beschleunigen 2a v 2 mv 2 1 2 verrichtete Arbeit W F s ma mv . 2a 2 2 v 0 F v s Ergebnis: Ein Körper der Masse m, der sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, hat die Bewegungsenergie 1 EB mv 2 . 2 Hooke’sches Gesetz: Die Auslenkung s einer Feder (gegenüber dem entspannten Zustand) und die Kraft F, die auf die Feder wirkt, sind proportional zueinander, wenn die Feder nicht überdehnt wird. Definition: Die Federkonstante D ist der Quotient aus der Kraft F und der Auslenkung s: F D . s N D 1 m Ohne Herleitung: Eine Feder mit der Federkonstanten D, die um die Strecke s ausgelenkt ist, hat die Spannenergie 1 ESp Ds 2 . 2 Energieerhaltung Wir betrachten Vorgänge, bei denen nur die mechanischen Energieformen auftreten. Sieht man von Reibung ab, dann gilt für ein abgeschlossenes System, d. h. ein System, das keine Energie mit seiner Umgebung austauscht, der zus_energieleistungundimpuls 2/4 LGÖ Ks Ph 10 Schuljahr 2016/2017 Energieerhaltungssatz der Mechanik: Bei reibungsfrei verlaufenden mechanischen Vorgängen in einem abgeschlossenen System ist die Summe der mechanischen Energien konstant: EL, vorher EB, vorher ESp, vorher EL, nachher EB, nachher ESp, nachher . Rechnungen mit dem Energieerhaltungssatz der Mechanik: 1. Zeichne eine Skizze mit den Zuständen 1 (vorher) und 2 (nachher). Zeichne den Körper jeweils als eine Kugel. a) Wenn der Körper im Zustand 1 eine andere Höhe als im Zustand 2 hat: Zeichne eine gestrichelte Linie in der niedrigeren Höhe und kennzeichne die Linie mit „NN“ (für Nullniveau der Lageenergie). Zeichne im anderen Zustand die Höhe h des Körpers über dem Nullniveau ein. b) Wenn sich der Körper in einem der beiden Zustände bewegt: Zeichne einen Geschwindigkeitspfeil an den Körper und bezeichne ihn mit v . Wenn sich der Körper in beiden Zuständen bewegt, zeichne jeweils einen Geschwindigkeitspfeil und bezeichne die Geschwindigkeitspfeile mit v1 und v2 . c) Wenn eine Feder in einem der beiden Zustände entspannt und im anderen Zustand ausgelenkt ist: Zeichne die Feder in beiden Zuständen. Zeichne die Auslenkung s der Feder gegenüber dem entspannten Zustand ein. Für Experten: Wenn die Feder in beiden Zuständen unterschiedlich weit ausgelenkt ist: Zeichne auch die entspannte Feder und zeichne die Auslenkungen s1 und s2 gegenüber dem entspannten Zustand ein. 2. Notiere für beide Zustände die Summe der auftretenden Energien, also zum Beispiel 1 1 E1 Ds 2 und E2 mgh mv 2 . 2 2 3. Setze E1 und E2 gleich und löse nach der gesuchten Größe auf. Leistung Definition: Die Leistung P ist der Quotient aus der verrichteten Arbeit W bzw. der übertragenen Energie E und der dafür benötigten Zeit t : E P . t J P 1 W 1 (Watt) s 3 Eine andere Einheit der Leistung ist 1 PS kW (genauer: 1 PS 735 W ). 4 Merke: Leistung ist Arbeit pro Zeit. Impuls Definition: Der Impuls p eines Körpers ist eine gerichtete Größe: 1. Der Betrag p des Impulses ist das Produkt aus der Masse m und der Geschwindigkeit v des Körpers: p mv . m p 1 kg s 2. Die Richtung des Impulses ist die Richtung, in die sich der Körper bewegt. zus_energieleistungundimpuls 3/4 LGÖ Ks Ph 10 Schuljahr 2016/2017 Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Summe der Impulse der Körper konstant. Der Impulserhaltungssatz gilt auch, wenn zwischen Körpern des Systems Reibung auftritt; der Impulserhaltungssatz ist also allgemeiner als der Energieerhaltungssatz der Mechanik. Wir beschränken uns auf Systeme, die aus zwei Körpern bestehen, die sich nur längs einer Geraden bewegen können. Dann kann man die Richtung der Geschwindigkeiten bzw. der Impulse durch ein Vorzeichen ausdrücken. In dieser Situation gilt der Impulserhaltungssatz für gerade Stöße: Lege eine Richtung fest, in der Geschwindigkeiten und Impulse positiv gerechnet werden. Dann gilt (mit Vorzeichen!): p1, vorher p2, vorher p1, nachher p2, nachher m1 v1, vorher m2 v2, vorher m1 v1, nachher m2 v2, nachher Wir wollen die Geschwindigkeiten v1, nachher und v2, nachher zweier Körper nach einem Zusammenstoß berechnen. Dafür genügt eine Gleichung nicht; wir betrachten deshalb zwei Sonderfälle: 1. Definition: Ein Stoß heißt vollständig unelastisch, wenn die Körper nach dem Stoß zusammenhaften. Nach dem Zusammenstoß gibt es also nur noch einen Körper, der die Masse m1 m2 hat. Bezeichnet man seine Geschwindigkeit mit vnachher , dann gilt (mit Vorzeichen!) m1 v1, vorher m2 v2, vorher m1 m2 vnachher . Achtung: Bei einem vollständig unelastischen Stoß bleibt die Summe der Bewegungsenergien der Körper nicht erhalten! 2. Definition: Ein Stoß heißt elastisch, wenn der Energieerhaltungssatz der Mechanik gilt. Wir betrachten nur den Fall, dass der zweite Körper vor dem Zusammenstoß in Ruhe ist, dass also gilt: v2, vorher 0 . Ohne Herleitung: Aus dem Impulserhaltungssatz und dem Energieerhaltungssatz folgt (mit Vorzeichen!) m 1 k 2 v1, nachher v1, vorher und v2, nachher v1, vorher mit k 2 . 1 k 1 k m1 zus_energieleistungundimpuls 4/4
