Übungsaufgaben - Institut für Mathematik - Humboldt

Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2015/16
Übungsaufgaben
Einführung in die Logik
Direkte und indirekte Beweise
Hinweis: Es müssen nicht alle Aufgaben gemacht werden. Allerdings ist der Beweis der Dreiecksungleichung wichtig. Es sollte zumindest die Aussage angeschrieben werden.
Aufgabe 1 Zeige sowohl mit Wahrheitswertetabelle als auch mithilfe eines formalen Beweises:
a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
b) (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A)
Lösung:
x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) und x ∈
/ (A ∩ B)
⇐⇒ (x ∈ A und x 6∈ B) oder (x ∈ B und x 6∈ A)
⇐⇒ (x ∈ A \ B) oder (x ∈ B \ A) ⇐⇒ x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A)
Aufgabe 2 Negiert folgende Aussagen logisch:
1. Alle Studenten, die nicht Mathe studieren, sind doof.
Lösung: Es existiert ein Studi, der nicht Mathematik studiert und nicht doof ist.
2. Es existiert eine gerade Zahl, die nicht die Summe zweier Primzahlen ist.
Lösung: Für alle geraden Zahlen gilt: Sie sind Summe zweier Primzahlen.
3. Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 3 hat die Gleichung xn + y n = z n in den natürlichen
Zahlen x, y, z nur die triviale Lösung x = y = z = 0.
Lösung: Es existieren eine natürliche Zahl n ≥ 3, sodass die Gleichung xn + y n = z n eine
von der trivialen Lösung verschiedene Lösung in den natürlichen Zahlen x, y, z besitzt.
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Aufgabe 3 Negiert folgende Aussagen bzw. Formeln logisch:
1. n ≥ n0 =⇒ |an | < ε
Lösung: n ≥ n0 ∧ |an | ≥ ε
2.
1
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N : n ≥ n0 =⇒ |an | < ε
Lösung: ∃ε > 0 ∀n0 ∈ N ∃n ∈ N : n ≥ n0 ∧ |an | ≥ ε
Aufgabe 4 – Dreiecksungleichungen Zeigt, dass für alle reellen Zahlen x, y gilt:
1. |x + y| ≤ |x| + |y| Dreiecksungleichung
2. |x| − |y| ≤ |x + y| inverse Dreiecksungleichung
Lösung:
1. Zu zeigen:|x + y| ≤ |x| + |y|.
Beweis:
Es gilt x ≤ |x| und
und
y ≤ |y|
− x ≤ |x| und − y ≤ |y|
=⇒ x + y ≤ |x| + |y|
=⇒ −x + (−y) = −(x + y) =≤ |x| + |y|.
Mit a ≤ b und − a ≤ b =⇒ |a| ≤ b folgt die Behauptung.
2. Zu zeigen: |x| − |y| ≤ |x + y|.
Hinweis: Verwendet die Dreiecksungleichung und eine nahrhafte Null.
Beweis: Aus der Dreiecksungleichung folgt:
|x| = |(x + y) − y| ≤ |x + y| + |y| ⇐⇒ |x| − |y| ≤ |x + y|
|y| = |(x + y) − x| ≤ |x + y| + |x| ⇐⇒ |y| − |x| = −(|x| − |y|) ≤ |x + y|
1
Definition für Konvergenz von Nullfolgen
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Aufgabe 5 – Widerspruchsbeweis Beweise, dass für 0 < a, b ∈ R gilt:
√
ab ≤
a+b
2 .
A ∧ ¬B =⇒ Widerspruch.
√
Es gelte also (Annahme): 0 < a, b ∈ R ∧ ab > a+b
2 . Dann gilt aber:
Lösung: Nach Schema
√
ab >
√ 2
a+b
⇐⇒ 2 ab > (a + b)2 ⇐⇒ 4ab > a2 + 2ab + b2 ⇐⇒ 0 > (a − b)2
2
=⇒ Widerspruch
√
Aufgabe 6 – Widerspruchsbeweis Beweise: 2 ist eine irrationale Zahl.
√
√
Lösung: Sei 2 eine rationale Zahl. Dann existieren teilerfremde2 r, s ∈ N (weil 2 > 0),
sodass
√
r
r2
2=
=⇒ 2 = 2 =⇒ 2s2 = r2 =⇒ 2|r2
s
s
Da das Produkt ungerader Zahlen ungerade ist3 , folgt: r gerade, weil 2 Primzahl ist, und
deshalb keine weiteren Teiler mehr hat. Deshalb gibt es ein t mit 2t = r. Damit folgt:
√
2=
2t
4t2
=⇒ 2 = 2 =⇒ s2 = 2t2 =⇒ 2|s2 =⇒ 2|s
r
s
Dann folgt aber 2|r und 2|s und somit ggT(r, s) = 2.
√
Widerspruch. =⇒ 2 irrational.
Aufgabe 7 – Kontraposition Beweise: Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade ist,
dann ist auch die Zahl selbst gerade.
Lösung:
• angenommen 2 - n
• n = 2m + 1, m ∈ N
• n2 = 4m2 + 4m + 1
• n2 = 2(2m2 + 2m) + 1
• 2 - n2
2
3
ggT(r, s) = 1
(2n + 1)(2n + 1) = 4n2 + 4n + 1 und 4n2 + 4n gerade
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