Textskript 03 - Fakult at f ur Physik

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KAPITEL 2. PRINZIPIEN DER QUANTENMECHANIK
2.7
Unschärferelation
Die Unschärferelation ist ein Vorschlag (eigentlich: Definition) von Heisenberg .
Wenn man von einem Objekt die x-Komponente des Impulses mit einer Genauigkeit
von ∆px misst, dann kann man nicht gleichzeitig die Position des Objektes auf der
x-Achse scharf bestimmen, sondern nur mit einer Unschärfe von
∆px · ∆x ≥ h̄/2
h = 6.63 · 10−34 Js = Planksches Wirkungsquantum
Diese Unschärfe spielt nur bei mikroskopischen Objekten eine Rolle. Sie impliziert
auch, dass sich keine Messanordnung finden lässt, mit der man den Weg eines Teilchens scharf bestimmen könnte, ohne dabei gleichzeitig den Impuls des Teilchens zu
stören. Die Beobachtung des Teilchenortes bedeutet einen prinzipiell nicht vermeidbaren Eingriff in den Ablauf des Ereignisses. Das liegt nicht an der Genauigkeit der
Messanordnung.
Das Kausalitätsprinzip besagt, dass jeder Wirkung eine eindeutige Ursache vorausgeht. Definition von Laplace im Sinne der Newtonschen Mechanik: Wenn Ort und
Impuls eines Teilchens bekannt sind, dann ist bei Kenntnis der wirkenden Kräfte die
Bewegung des Teilchens für alle zukünftigen Zeiten bekannt.
Die Unschärferelation verändert diese Aussage, da die Voraussetzung zum Kausalitätsprinzip falsch ist: Wir kennen Impuls und Ort nicht gleichzeitig mit absoluter
Genauigkeit. Die Vorhersagen der Quantenmechanik erhalten damit statistischen Charakter.
2.7.1
Atomare Größen und Energiezustände
In Feynman’s Buch findet sich folgende Anwendung der Unschärferelation um die
Größe des H-Atoms abzuschätzen. Klassisch fällt das Elektron in den Kern. Nach der
Quantenmechanik ist dies unmöglich, denn dann wüssten wir, wo das Elektron ist und
damit wäre seine Impulsunschärfe unendlich groß (es würde also wieder entkommen).
Im Phasenraum ist das Elektron nicht als scharfer Punkt abzubilden sondern als ein
ausgedehntes Objekt. Feynman unternimmt nun folgende Argumentation:
• Ein Elektron sei in einem Bereich ∆x = a um das Proton lokalisiert. Damit ist
der Impuls des Teilchens mindestens von der Größenordnung seiner Unschärfe,6
p ≈ ∆p = h/a. Damit ist seine kinetische Energie
p2
h2
1
mv 2 =
=
2
2m
2ma2
1
• Seine Coulomb-Energie ist Epot = − 4π�
0
e2
a
• Die Gesamtenergie des Elektrons ist
E=
h2
1 e2
−
2
2ma
4π�0 a
• Annahme: Das Atom arrangiert sich derart, dass die Gesamtenergie ein Minimum ist:
∂E
h2
1 e2
=−
+
=0
3
∂a
ma
4π�0 a2
6 Aus
→
a0 =
h2
4π�0 = 0.528 Å
me2
triftigem Grund (siehe Ergebnis), aber ohne Begründung setzt Feynman ∆p · ∆x = h.
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2.7. UNSCHÄRFERELATION
• Dieser Wert entspricht dem ersten Bohrschen Radius, a0 . Bei diesem Radius
1
e2
ist die Gesamtenergie: E = − 4π�
= −13.6eV . Dieser Wert ist gerade die
0 2a0
Rydberg Konstante. Die Energie ist negativ, das Elektron ist gebunden.
Mit diesem etwas gestrickten Beispiel zeigt Feynman, dass man den niedrigsten Energiezustand auf Grundlage der Unschärferelation abschätzen kann. Wesentlich ist mitzunehmen, dass ein quantenmechanisches Objekt klassische Effekte immer über einen
gewissen Raumbereich integriert7 .
Es gibt unendlich viele Bewegungszustände des Elektrons im Atom. Wenn das Elektron
,,frei” ist, E > 0, dann kann es beliebige Energie besitzen. Beispiel wäre die Streuung
eines freien Elektrons an einem Proton. Im gebundenen Fall, E < 0, gibt es nur
diskrete Eigenwerte. Grundzustand mit E0 und angeregte Zustände E1 , E2 , . . . E∞ .
Die diskreten Eigenfrequenzen im Atom sind eine Manifestierung räumlich begrenzter
Wellen. (Vergleich: Resonanzfrequenz einer Orgelpfeife). Die räumliche Begrenzung im
Atom hat als Ursachen das Coulombpotential und das Zentrifugalpotential
Vc (r)
=
Vzf (r)
=
1 Ze
4π�0 r
�(� + 1)h̄
L2
=
.
2mr2
2mr2
−
(2.48)
(2.49)
In den angeregten Zuständen verbleibt das Elektron nicht für immer. Es fällt in einen
niedrigeren Zustand und gibt die Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung
ab.
2.7.2
Energie-Zeit Unschärfe
Auf Grund seiner endlichen Lebensdauer hat ein elektronisch angeregtes Niveau eine
endliche Niveaubreite (Unschärfe). Ein Absorptionsprofil ist nie ,,scharf”. Die intrinsische Breite bezeichnet man als natürliche Linienbreite.
Ein Experiment zur Resonanzstreuung: Man misst die Intensität des gestreuten
Lichtes als Funktion der Frequenz des eingestrahlten Lichtes. Wegen Energieerhaltung: ωabs = ωem (oder jedenfalls in guter Näherung, siehe dazu Seite 37).
Ein klassisches Bild für den Zusammenhang Linienbreite ↔ Lebensdauer ergibt sich
aus dem gedämpften Oszillator. Dieser führt eine anharmonische Schwingung aus, die
nicht durch einzelne Sinus- oder Kosinus-Funktionen darstellbar ist. Je kleiner die
Dämpfung, umso besser ist das Federpendel durch eine harmonische Schwingung darstellbar. Bei Anregung von außen beobachtet man eine Resonanzkurve mit einer Breite,
die von der Dämpfung abhängt.
Ein angeregter Zustand eines Atoms verhält sich wie ein Resonator, der von elektromagnetischer Strahlung zu erzwungenen Schwingung angeregt wird.
Charakteristisch für den Resonator sind:
• seine Eigenfrequenz, ω0 , und
• seine Dämpfung durch Abstrahlung elektromagnetischer Energie.
Wurde der Resonator einmal angeregt, führt er eine freie gedämpfte Schwingung aus.
Diesen Zustand beschreibt man durch eine Wellenfunktion
Ψ(t)
I(t)
=
=
Ae−t/2τ e−iω0 t
∗
(2.50)
2 −t/τ
Ψ (t)Ψ(t) = A e
.
(2.51)
7 Und so zum Beispiel die Singularität des Coulombpotentials umgeht, ein Punkt der Vielen
in der Übung zum Farbzentrum gedankliche Schwierigkeiten bereitet hat.
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KAPITEL 2. PRINZIPIEN DER QUANTENMECHANIK
Die Wellenfunktion sei eine Überlagerung von harmonischen Schwingungen verschiedener (nahe beisammen liegender) Frequenzen mit einer Verteilung f (ω) = |f (ω)| eiφ(ω)
(Amplitude und Phase sind frequenzabhängig). Diese Verteilung erhalten wir über
Fourier-Transformation:
Ψ(t)
�
=
+∞
e−iωt f (ω)dω
0
f (ω)
1
2π
=
�
(2.52)
+∞
eiωt Ψ(t)dt
(2.53)
0
Das Integral in Gl.(2.52) beginnt mit t = 0, da die Photoanregung bei t = 0 erfolgt.
Im Sinne der statistischen Interpretation von Ψ(t) ist f (ω) die WahrscheinlichkeitsAmplitude für die Emission bei der Frequenz ω. Die Wahrscheinlichkeits-Dichte für
die Emission bei der Frequenz ω ist f ∗ (ω)f (ω).
I(ω) ∝ f ∗ (ω)f (ω) .
(2.54)
Aus den Gleichungen (2.50) und (2.53) erhalten wir:
A
f (ω) =
2π
�
+∞
−t/2τ −iω0 t iωt
e
e
e
0
1
wobei
a = 2τ
+ i(ω0 − ω),
In Gl.(2.54) einsetzen ergibt:
I(ω) ∝
A
dt =
2π
�
und damit
1
=
1
1
( 2τ
+ i(ω0 − ω))( 2τ
− i(ω0 − ω))
+∞
e−at dt
0
f (ω) =
1
4τ 2
A 1
.
2π a
1
+ (ω − ω0 )2
Nach Normierung auf die maximale Intensität, I(ω0 ), ergibt sich
0.5
I(ω) = I(ω0 )
0.4
Lorentz
0.3
I
0.2
Gauss
0.1
0.
�4
�2
0
Ω�Ω0
2
4
1/4τ 2
1/4τ 2
,
+ (ω − ω0 )2
(2.55)
die Breit-Wigner Formel , eine Resonanzfunktion. Die Kurvenform läuft unter dem Namen Lorentz-Profil. Im Bild sind ein LorentzProfil (strichliert) und eine Gauss-Kurve gleicher Fläche dargestellt. Auf der x-Achse die
Verstimmung ω − ω0 für den Fall, daß τ = 1
ist. Die Gauss-Verteilung fällt viel schneller
auf Null ab.
Die Halbwertsbreite der Funktion ∆ω = Γ hängt mit der Lebensdauer zusammen:
∆ω · τ = 1
Mit der Verstimmung δ = ω − ω0 schreibt sich die Lorentz-Verteilung
I(ω) = I(ω0 )
Γ2 /4
1
= I(ω0 )
.
Γ2 /4 + (ω − ω0 )2
1 + (2δ/Γ)2
(2.56)
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2.7. UNSCHÄRFERELATION
2.7.3
Linienbreiten
Natürliche Linienbreite: Ein “guter” atomarer Übergang hat typisch eine natürliche
Lebensdauer τ ≈ 10−8 s. Am Beispiel der Natrium D-Linie:
!
∆λ
λ0
=
∆λ
=
∆ν
=
∆ν̄
=
∆ω
1
=
ω0
ω0 τ
5892 · 10−18
≈ 2 · 10−14 m
6π · 108 10−8
1
≈ 15 M Hz
2π10−8
1
1
∆( ) =
= 5 · 10−4 cm−1
λ
2πcτ
()
!
* )
"
)
Resonanzprozesse:
+
# "
• Resonanzfluoreszenz
'
• Resonanzabsorption
%
&
$
$
• Doppler-freie Spektroskopie
Experimentelle Linienbreite in einem Gas: Diese ergibt sich bei Zimmertemperatur
meist auf Grund der Verteilung der Atomgeschwindigkeiten.
In Beobachtungsrichtung sei die Geschwindigkeitsverteilung f (vx )
f (vx ) =
�
2
M
· e−mvx /2kT
2πkT
und damit die Dopplerverschiebung für Beobachtung in x-Richtung δωx :
8
δωx
vx
=
.
ω0
c
(2.57)
Wenn die natürliche Linienbreite klein ist gegenüber der Doppler-Verbreiterung, dann
erscheint eine gaussförmige Absorptions- bzw Emissionslinie mit einer relativen Breite:
∆ωD
2
=
ω0
c
�
kT
2 ln 2
= 3 · 10−7
M
�
T (K)
A(amu)
Beispiel für Natrium Dampf bei 500 K: λ0 = 589 nm → ∆ωD = 1700 M Hz
Voigt-Pofil : Kombination von Gauss- und Lorentz-Profil.
2.7.4
Spontane Emission
Ein Versuch die spontane Emission zu erklären führt klassisch zu Paradoxien. Zum
einen erscheint der Prozess als sprunghafter Übergang, verbunden mit der Aussendung eines Lichtquants (also eines lokalisierten Energiebündels), zum anderen als eine
kontinuierliche Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle (zusammen mit dem Feld
wird klassisch stets auch Energie ausgestrahlt). Aus Stoßprozessen weiss man, dass ein
angeregtes Atom nach einiger Zeit immer noch seine gesamte Anregungsenergie auf
8 Bei relativistischen Geschwindigkeiten ist die von einem Beobachter empfangene Frequenz,
�
ω � = ω (1 + β)/(1 − β), wenn die Quelle bei der Frequenz ω sendet und die Relativgeschwindigkeit zwischen Beobachter und Quelle v ist (v > 0 bedeutet Beobachter und Quelle bewegen sich aufeinander zu, Abkürzung: β = v/c). Im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten gilt
ω � ≈ ω(1 + β). Diesen Ausdruck verwenden wir in Gleichung (2.57).
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KAPITEL 2. PRINZIPIEN DER QUANTENMECHANIK
ein anderes Atom übertragen kann, also hat es noch nicht einen Teil seiner Energie
abgestrahlt.
In der QM (Weisskopf und Wigner, 1930) beschreibt man die spontane Ausstrahlung als einen Übergang von einem Ausgangszustand (das Atom ist angeregt im Zustand 2 und kein Photon ist vorhanden) in einen Endzustand (das Atom ist abgeregt
im Zustand 1 und ein Photon ist in seiner entsprechenden Mode) symbolisch mit
|ψ2 � ⊗ |ϕvakuum � → |ψ1 � ⊗ |ϕphoton � ,
(2.58)
wobei das Symbol ⊗ den Produktzustand beschreiben soll. Dieser Ansatz liefert auch
eine Beschreibung des Emissionsvorgangs:
Ψ(t) = e−Γt/2 |ψ2 ϕvakuum � + (1 − e−Γt/2 ) |ψ1 ϕphoton � .
(2.59)
Dieser verschränkte (entangled ) Zustand entwickelt sich mit der Zeit, enthält aber die
volle Energie (Das Photon ist noch nicht vollständig herausgeschlüpft 9 ). Erst bei einer
Messung am Photodetektor reduziert sich der reine Zustand (2.59) auf den ersten oder
den zweiten Summanden, der dann wieder richtig normiert werden muß. Man darf
schließen: Wenn kein Photon registriert wurde, dann ist das Atom noch angeregt und
umgekehrt, wenn ein Photon beobachtet wird, dann ist das Atom im Grundzustand.
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# $ % & & '
( !
Die Messung an einem Teilsystem aus
Gl.(2.59) gibt also detaillierte Information über das andere Teilsystem, ein
allgemeiner Befund für verschränkte
Zustände.
!
!
Die physikalisch wesentliche Information über den Zeitverlauf des Ausstrahlungsvorgangs
ist in der Zeitabhängigkeit der Koeffizienten in Gl.(2.59) enthalten. Sie bringen das
exponentielle Zerfallsgesetz zu Ausdruck. In der QM muss man diesen Ansatz so interpretieren: Wird zu einer Zeit t nachgesehen, ob sich das Atom im Zustand (2) oder
(1) aufhält, so findet man das Atom mit der Häufigkeit e−Γt im oberen und mit der
Häufigkeit 1 − e−Γt im unteren.
Beim Meßprozess wandelt das Atom seine Anregungsenergie in ein Photon um, oder
nicht.
Andererseits ist das Ansprechen eines Photodetektors nicht ein von uns ausgesuchter
Meßprozess der die spontane Emission herbeiführt, man muss es dem Atom überlassen,
wann es sich zur Herausgabe des Photons entscheidet. Wesentlich ist, dass wir es in
diesem Ansatz dem Atom überlassen, seine Anregungsenergie mit einem Schlag loszuwerden (die Umgebung spielt die Rolle der Messaparatur). Die Bebachtung eines
solchen Systems gelingt in einer Ionenfalle an einem einzelnen M g + Atom mit einer
Zeitauflösung (für das Nachschauen ob . . . ) von etwa 10 ns (Toschek, Hamburg 1995):
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) 0 7/124 0 5 6
9 H.
Paul Photonen Teubner Studienbücher, Seite 98.
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2.7. UNSCHÄRFERELATION
37
Beobachtet wird die Fluoreszenz nach Anregung des Übergangs von |3� ← |1�. Dieser
Übergang zeichnet sich durch ein starkes Dipolmatrixelement aus und wird optisch selektiv gepumpt (mit dem Laser L1 bei der Frequenz ω13 . Die natürliche Lebensdauer
von |3� liegt bei etwa 8 ns und etwa 108 Photonen bei der Frequenz ω31 werden bei
Sättigung des Übergangs mit L1 emittiert. Ein Bruchteil dieser Photonen gelangt auf
einen Photodetektor (im Bild rechts werden dann etwa 2000 Photonen pro Sekunde
registriert). Die natürliche Lebensdauer von |2� liegt hingegen bei 35 s, damit ist der
Übergang |2� ↔ |1� viel unwahrscheinlicher. Ein zweiter Laser L2 bei der Frequenz ω12
versucht den Zustand |1� in den Zustand |2� zu pumpen. Wenn dies hin und wieder
gelingt, dann bleibt die Fluoreszenz auf ω13 über lange Zeiträume (statistisch verteilt)
aus. Im Bild rechts sinkt die Zählrate auf den Untergrund von etwa 400 Photonen pro
Sekunde. Das Wiederauftreten der Fluoreszenz ist der Nachweis, dass gerade eben (in
den letzten 10 ns) der Quantensprung von |2� → |1� + h̄ω21 stattgefunden hat.
Die quantenmechanische Interpretation der Wellenfunktion in Gl. 2.59 erscheint paradox: das Atom befindet sich bei Zeiten t < Γ−1 weder im angeregten noch im
Grundzustand. Beide Möglichkeiten sind simultan erlaubt, keine einzelne von ihnen
liegt faktisch vor. Interessant ist aber, dass sich dieses verschwommene Bild für Zeiten
t � Γ−1 von ganz allein irreversibel in den Endzustand |ψ1 ϕphoton � hin entwickelt
(irreversibel nur, wenn der Resonator unendlich groß ist).
Schluss: Das Photon ist ein räumlich ausgedehntes Gebilde, ähnlich einer klassischen
Dipolwelle, das sich in der jeweiligen Ausbreitungsrichtung über eine Länge c/Γ erstreckt. Diese Ausdehnung erlaubt die beobachteten Interferenzerscheinungen (auch
mit sich selbst). Die Energie des Photons ist aber nicht über diesen Bereich verteilt,
man findet ja das gesamte Photon bei einer Messung an einem Ort lokalisiert.
Man findet das Photon erst beim Nachweis, und die naive Vorstellung, es wäre
vorher schon so beschaffen, steht im Widerspruch zum Experiment.
Dieser Schluß ist auch für materielle Teichen zu ziehen.