Das elektrische Feld als Energiespeicher

Ladungsquantelung
Das elektrische Feld als Energiespeicher
79. Das elektrische Feld als Energiespeicher
a) Welche Beobachtung legt nahe, dass in einem elektrischen Feld Energie
gespeichert ist?
b) Zeigen Sie, dass im elektrischen Feld eines Plattenkondensators (Kapazität C, Betrag der Ladung auf einer Platte Q, Betrag der Spannung
zwischen den Platten U) die Energie Eel
Q2
E el = 12 ⋅ C
gespeichert ist!
c) Zeigen Sie, dass auch gilt:
E el = 12 ⋅ C ⋅ U 2 bzw. E el = 12 ⋅ Q ⋅ U
80. Modifizierte Formel für die elektrische Energie
→
a) Zeigen Sie, dass im homogenen elektrischen Feld der Feldstärke E und
→
der elektrischen Verschiebungsdichte D eines Plattenkondensators, dessen Plattenzwischenraum das Volumen V einnimmt und materiefrei ist,
die elektrische Energie
E el = 12 ⋅ E ⋅ D ⋅ V
gespeichert ist!
b) Wie lautet die Beziehung aus Teilaufgabe a, wenn der Plattenzwischenraum mit einem Dielektrikum der relativen DK εr gefüllt ist?
c) Welchen physikalischen Aspekt des elektrischen Felds bringt die Formel
aus Teilaufgabe a besser zum Ausdruck als die Formeln aus Aufgabe 79?
81. Energiebilanz für einen materiefreien Plattenkondensator mit
veränderlichem Plattenabstand
Ein materiefreier Plattenkondensator (Plattenfläche 400,0 cm2; Plattenabstand d1 = 3,0 cm) ist an eine Batterie (Spannungsbetrag U = 300 V)
angeschlossen.
a) Berechnen Sie den Betrag Q1 der Ladung auf einer Kondensatorplatte
und die vom Kondensator gespeicherte elektrische Energie Eel,1!
Nun wird bei angeschlossener (Fall I) bzw. abgetrennter (Fall II) Batterie
der Plattenabstand auf d2 = 7,0 cm vergrößert.
32
Materie im elektrischen Feld
Berechnen Sie für beide Fälle
b) die dabei verrichtete mechanische Arbeit Wmech,
c) die Änderung ∆E der vom Kondensator gespeicherten elektrischen
Energie
d) und stellen Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus den Teilaufgaben b und c
jeweils eine quantitative Energiebilanz auf!
Lösungen
79. Das elektrische Feld als Energiespeicher
a) Wird ein geladener Kondensator von der Spannungsquelle abgetrennt
und über einen ohmschen Widerstand R kurzgeschlossen (Schalter von I
nach II), so entlädt er sich.
Der Entladestrom verrichtet elektrische Arbeit, die im ohmschen Widerstand vollständig in Wärme umgewandelt wird.
Die hierfür benötigte Energie
C
kann nicht von der Spannungsquelle bezogen werden, da diese
ja abgetrennt ist. Als einzig
mögliches Energiereservoir
R
II
kommt nur das elektrische Feld
I
des Plattenkondensators in
Betracht.
b) Wird der Schalter zum Zeitpunkt t1 = 0, zu dem sich noch die gesamte
Ladung Q auf den Kondensatorplatten befindet, Q(0) = Q, von I nach II
bewegt, so hat sich die im Kondensator gespeicherte Energie Eelektr bis
zum Zeitpunkt t2 = ∞, zu dem der Kondensator sicher entladen ist,
Q(∞) = 0, vollständig in elektrische Arbeit Wel des Entladestroms umgewandelt. Es gilt also
33
Ladungsquantelung
∞

E el = Wel = ∫ U ( t ) ⋅ I ( t ) ⋅ dt vgl . Hinweis 

0

Q( t )
FS. S. 40 / 2 .6.1: U ( t ) = C

∞


Q( t )  ⋅
⋅
 ⇒ E el = ∫ C ⋅  − Q ( t ) dt =


FS. S. 36 / 1.1: I ( t ) = − Q ( t )

0

Das Minuszeichen berücksichtigt

die Tatsache , dass die Ladung auf

den Kondensatorplatten abnimmt . 

∞
∞
⋅
= − C1 ⋅ ∫ Q ( t ) ⋅ Q ( t ) ⋅ dt = − C1 ⋅ 12 ⋅ Q 2 ( t ) =
[
]0
) = − C1 ⋅ (0 − 21 ⋅ Q 2 ) = 12 ⋅ QC
0
= − C1 ⋅ 12 ⋅ Q 2 ( ∞ ) − 12 ⋅ Q 2 ( 0 )
(
2
2

c) E = 1 ⋅ Q = 1 ⋅ Q ⋅ Q
1 C⋅U⋅Q 1
el
C
2 C
2
 ⇒ E el = 2 ⋅ C = 2 ⋅ U ⋅ Q
FS. S. 40 / 2 .6 .1: Q = C ⋅ U 
Q2
E el = 12 ⋅ C
FS. S. 40 / 2 .6 .1: Q = C ⋅ U
Hinweise:

2
1 (C ⋅ U)
1
 ⇒ E el = 2 ⋅ C = 2 ⋅ C ⋅ U 2

P
1. Aus dem Physikunterricht der
Mittelstufe wissen Sie, dass eine
U·I
zeitlich konstante Spannung U, die
einen zeitlich konstanten Strom I
verursacht, in der Zeit t die elekWel
trische Arbeit W = U ⋅ I ⋅ t
verrichtet (vgl. FS. S. 37 / 1.4.1).
t
Trägt man die zeitlich konstante
t
elektrische Leistung P, P = U ⋅ I ,
gegen die Zeit t in einem t-P-Diagramm an, so entspricht die elektrische Arbeit dem Flächeninhalt des Rechtecks
mit den Seiten U ⋅ I und t.
34
Materie im elektrischen Feld
Sind U(t) und I(t) und damit
U( t ) ⋅ I( t ) zeitabhängige Funktionen, so ergibt sich die zwischen
t1 = 0 und t2 = t verrichtete elektrische Arbeit auch als Flächeninhalt unter der t-U ⋅ I-Kurve. Es
gilt also:
P
Wel
t2
Wel = ∫ U ( t ) ⋅ I ( t ) ⋅ dt
t
t1
t2
t1
2. In der Formelsammlung ist nur die Beziehung
E el = 12 ⋅ C ⋅ U 2
aufgeführt, auf S. 40 / 2.6.3.
80. Modifizierte Formel für die elektrische Energie
a) FS. S. 40 / 2.6 .3: E = 1 ⋅ C ⋅ U 2 

el
A
1
2
 ⇒ E el = 2 ⋅ ε 0 ⋅ d ⋅ U 2
A
FS. S. 40 / 2.6 .2: C = ε 0 ⋅ d

FS. S. 38 / 2.1.3: U = E ⋅ d
⇒ E el = 12 ⋅ ε 0 ⋅ Ad ⋅ E 2 ⋅ d 2 = 12 ⋅ ε 0 ⋅ A ⋅ d ⋅ E 2 = 12 ⋅ ε 0 ⋅ V ⋅ E 2

= 12 ⋅ E ⋅ ε 0 ⋅ E ⋅ V
 ⇒
FS. S. 39 / 2 .3: D = ε 0 ⋅ E 
⇒ E el = 12 ⋅ E ⋅ D ⋅ V
U|
V| ⇒
W
b) Bezeichnen Emat bzw. Dmat die Beträge der elektrischen Feldstärke bzw.
der elektrischen Verschiebungsdichte im materiegefüllten Plattenzwischenraum, so gilt:
E el , mat =
1
2
⋅ E mat ⋅ D mat ⋅ V
c) Aus zahlreichen Versuchen ist bekannt, dass in einem Volumen V, das
→
von einem elektrischen Feld der Stärke E durchsetzt wird, elektrische
Energie gespeichert ist. Genau diesen Sachverhalt, dass das elektrische
Feld, auch losgelöst von Materie, Träger von Energie ist, bringt die
Formel aus Teilaufgabe a besser zum Ausdruck. Sie beschreibt nämlich
35
Ladungsquantelung
die im Volumen V gespeicherte elektrische Energie nur durch die dort
→
→
messbaren Feldgrößen E und D und nicht durch Größen, die die materiellen Felderzeuger charakterisieren.
Hinweis:
1. Die Formeln aus Teilaufgabe a und b sind in der Formelsammlung nicht
aufgeführt. Sie können aber leicht aus der dort auf S. 39 /2.4 abgedruckten
Beziehung
ρ el = 12 ⋅ E ⋅ D
für die Energiedichte eines elektrischen Felds rekonstruiert werden:
Die Energiedichte ist eine reichlich theoretische Größe. Sie drückt aus, welcher
Energieanteil von der im Plattenzwischenraum gespeicherten elektrischen
Energie auf die Volumeneinheit entfällt, also
ρ el =
E el
V
1
2. Mittels Eel = 2 ⋅ E · D · V lässt sich der Betrag der Kraft F, mit der sich die
Platten eines Kondensators gegenseitig anziehen anderes als in Aufgabe 42
berechnen:
Vergrößert man nämlich bei einem geladenen, von der Spannungsquelle getrennten Kondensator den Abstand der Platten von d auf d + ∆d (Denken Sie im
→ →
→
Folgenden daran, dass sich F , D und E dabei nicht ändern!), so führt die
hierbei aufgewandte mechanische Arbeit
∆W = F ⋅ ∆d
zu einer Zunahme
∆E el = 12 ⋅ E ⋅ D ⋅ ∆V
der im Feld gespeicherten elektrischen Energie.
∆W = ∆E el ⇒ F ⋅ ∆d = 12 ⋅ E ⋅ D ⋅ ∆V
⇒
= 12 ⋅ E ⋅ D ⋅ A ⋅ ∆d
F = 12 ⋅ E ⋅ D ⋅ A
Dies ist die im Hinweis zu Aufgabe 42 angesprochene, modifizierte, in der
1
Formelsammlung aufgeführte Form der Formel F = 2 ⋅ E · Q.
81. Energiebilanz für einen materiefreien Plattenkondensator mit
veränderlichem Plattenabstand
⋅ −4 2
a) Q1 = C1 ⋅ U = ε 0 ⋅ A ⋅ U = 8,85 ⋅ 10 −12 C ⋅ 400 , 0 10−2 m ⋅ 300 V =
d
V⋅m
= 3, 5 nC
36
1
3, 0 ⋅ 10
m
Materie im elektrischen Feld
E el ,1 = 12 ⋅ C1 ⋅ U 2 = 12 ⋅ ε 0 ⋅ dA ⋅ U 2 =
1
400 , 0 ⋅ 10 − 4 m 2
= 12 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 VC⋅ m ⋅
⋅ ( 300 V ) 2 = 5,3 ⋅10 −7 J
−2
3, 0 ⋅ 10
m
Fall I: U = konst. = 300 V
Fall II: Q = konst. = 3,5 nC
b) Für den Betrag F(x) der Kraft, die eine Kondensatorplatte auf die
andere bei einen Plattenabstand x ausübt, gilt nach FS. S. 40 / 2.6.4
F( x) =
⇒ F( x ) =
=
=
1
2
1 ⋅ε ⋅E2 ⋅A =
2 0
2
1
⋅ε ⋅ U ⋅A =
2 0 x2
ε0 ⋅ U2 ⋅ A 1
⋅ 2
2
x
⋅E⋅D⋅A ⇒
2
⇒ F ( x ) = 12 ⋅ Dε ⋅ A =
0
Q2
= 12 ⋅ 2
⋅A =
=
A ⋅ ε0
1 Q2
⋅
= konst .
2 A⋅ ε 0
d2
Da Wmech = ∫ F ( x ) dx , folgt hieraus:
d1
Wmech =
ε0 ⋅ U2 ⋅ A
⋅
2
d2
∫
d1
=
=
dx
x2
[ ]
Q2
d2
ε0⋅ U2⋅ A
⋅ − 1x
=
2
d1
ε0⋅ U2⋅ A
⋅ d1 − d1 =
2
1
2
(
d2
Wmech = 12 ⋅ A ⋅ ε ⋅ ∫ dx =
0
=
)
=
=
1 Q2
⋅
2 A ⋅ ε0
1 ⋅ Q2
2 A ⋅ ε0
d1
⋅[ x ]d 2 =
d
1
⋅ ( d 2 − d 1) =
(Aus Platzgründen wird der explizite Zahlenterm ausnahmsweise nicht angegeben.)
= 3, 0 ⋅10 −7 J
= 6 , 9 ⋅10 −7 J
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Ladungsquantelung
Fall I: U = konst. = 300 V
Fall II: Q = konst. = 3,5 nC
∆E = E el , 2 − E el ,1 =
c)
= 12 ⋅ C 2 ⋅ U 2 − 12 ⋅ C1 ⋅ U 2 =
= 12 ⋅ U 2 ⋅ ε 0 ⋅ dA − ε 0 ⋅ dA =
=
ε0
(
⋅ U2 ⋅ A
2
(
2
)
1
)
b)
⋅ d1 − d1 =
2
1
b)
= − Wmech =
Q2
Q2
= 12 ⋅ C − 12 ⋅ C =
2
1


2
Q
= 2 ⋅  ε 01⋅ A − ε 01⋅ A  =
 d2
d1 
b)
Q2
= 12 ⋅ A ⋅ ε ⋅ ( d 2 − d1) =
0
= Wmech = 6, 9 ⋅ 10 −7 J
− 3, 0 ⋅10 −7 J
d) Vergrößert man den Plattenabstand von d1 auf d2, so wird dadurch dem
System
(Plattenkondensator und Batterie)
(nur Plattenkondensator)
von außen die Energie
Wmech = 3, 0 ⋅10 −7 J
Wmech = 6 , 9 ⋅10 −7 J
zugeführt. Die vom Kondensator gespeicherte Energie nimmt um
∆E = 3, 0 ⋅10 −7 J ab.
∆E = 6 , 9 ⋅10 −7 J zu.
Folglich wird der Batterie nicht
nur ein Energiebetrag in Höhe
der von außen am System
verrichteten mechanischen Arbeit
zugeführt, sondern darüber hinaus ein gleich großer Energiebetrag, der ursprünglich im
elektrischen Feld im Plattenzwischenraum des Kondensators
gespeichert war.
Die dem System von außen
her zugeführte mechanische
Energie wird im elektrischen
Feld des Plattenzwischenraums gespeichert.
Der Energieinhalt der Batterie
ändert sich nicht, sie war ja
abgeklemmt.
Der Energieinhalt der Batterie
erhöht sich insgesamt um
6,0 ⋅ 10–7 J.
Hinweis:
Teile dieser Aufgabe werden gerne in Prüfungsaufgaben verwendet!
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