Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Geometrie) G9 1

Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Geometrie)
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Winkel
Geradenkreuzung
Nebenwinkel sind Winkel, die bei einer Geradenkreuzung nebeneinander liegen, z.B. α und β.
Es gilt: α + β = 180°
Scheitelwinkel sind Winkel, die bei einer Geradenkreuzung gegenüberliegen, z.B. α und γ.
Es gilt: α = γ
Doppelkreuzung
Stufenwinkel:
z.B. α1 und α2
Wechselwinkel: z.B. γ1 und α2
Nachbarwinkel: z.B. α2 und δ1
Stufenwinkel und Wechselwinkel sind genau dann
gleich groß, wenn g und h parallel sind.
Nachbarwinkel ergänzen sich genau dann zu 180°,
wenn g und h parallel sind.
G9
β
γ
δ
α
g
α1
β1
γ1
δ1
α2
β2
γ2
δ2
h
Winkel in Dreiecken und n-Ecken
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.
Die Summe der Innenwinkel eines n-Ecks beträgt (n – 2) ⋅ 180° (n ≥ 3).
In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber und umgekehrt.
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Abbildungen
Achsenspiegelung
Eine Abbildung heißt Achsenspiegelung an der Symmetrieachse a, wenn jedem Punkt P
der Zeichenebene der Bildpunkt P’ auf folgende Weise zugeordnet wird:
a) P∉a ⇒ PP' ⊥ a und [PP'] wird von a rechtwinklig halbiert
b) P∈a ⇒ P = P'
Punktspiegelung
Eine Abbildung heißt Punktspiegelung am Zentrum Z, wenn jedem Punkt P der
Zeichenebene der Bildpunkt P’ auf folgende Weise zugeordnet wird:
a) P ≠ Z ⇒ P'∈PZ und PZ = P' Z
b) P = Z ⇒ P' = Z
Die Punktspiegelung an Z kann durch 2 Achsenspiegelungen an 2 zueinander senkrechten
Geraden mit dem Schnittpunkt Z ersetzt werden.
Verschiebung
Eine Verschiebung mit dem Verschiebungsvektor PP' kann durch eine Zweifachspiegelung an 2 parallelen Geraden ersetzt werden. Der Vektor PP' ist doppelt so lang wie
der Abstand der beiden Parallelen, ist senkrecht dazu und weist von der ersten zur zweiten
Geraden.
Drehung
Eine Drehung um Z mit dem Drehwinkel φ (0° < φ ≤ 180°) kann durch eine Zweifachspiegelung an 2 sich in Z schneidenden Geraden ersetzt werden. Der Drehwinkel ist
doppelt so groß wie der Schnittwinkel der beiden Geraden. Die Orientierung des Drehwinkels geht von der ersten zur zweiten Geraden.
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Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Geometrie)
G9
Kongruenzabbildung
Kongruenzabbildungen sind Achsenspiegelungen und Verkettungen von Achsenspiegelungen. Punktspiegelungen, Verschiebungen und Drehungen sind also ebenfalls
Kongruenzabbildungen.
Kongruenzabbildungen sind geraden-, längen, winkel- und inzidenztreue Abbildungen.
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Kongruenzsätze für Dreiecke
Dreiecke sind kongruent, wenn sie
o in drei Seiten übereinstimmen (SSS-Satz).
o in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen (SWS-Satz).
o in einer Seite und zwei entsprechenden Winkeln übereinstimmen (WSW-Satz bzw.
SWW-Satz).
o in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen (SsW-Satz).
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Besondere Dreiecke:
Das gleichschenklige Dreieck
Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Die
Basiswinkel sind gleich groß. Das gleichschenkelige Dreieck ist achsensymmetrisch.
Das gleichseitige Dreieck
Alle 3 Seiten sind gleich groß, jeder Winkel beträgt 60°.
Das rechtwinklige Dreieck
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse, die beiden anderen
Seiten heißen Katheten. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Mittelpunkt der
Hypotenuse. Dieser Kreis heißt Thaleskreis.
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Transversalen im Dreieck
Die 3 Mittelsenkrechten schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.
Die 3 Winkelhalbierenden schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.
Die 3 Seitenhalbierenden schneiden im Schwerpunkt des Dreiecks.
Die 3 Höhen schneiden sich in einem Punkt.
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Konstruktionen:
Bei einer Konstruktion dürfen nur Zirkel und Lineal ohne Einteilung verwendet werden.
Grundkonstruktionen:
Streckenübertragung
Winkelübertragung
Halbierung einer Strecke
Winkelhalbierende
Lot zu einer Geraden durch einen gegebenen Punkt
Dreieckskonstruktionen
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