1. Die zentrische Streckung 2. Der Strahlensatz 3. Die Ähnlichkeit

Maria-Theresia-Gymnasium München
Grundwissen Mathematik
9. Klasse Geometrie
1. Die zentrische Streckung
Abbildungsvorschrift:
Eigenschaften:
Bei einer zentrischen Streckung S(Z; m) mit
• Gerade und Bildgerade sind parallel (GeZentrum Z und Streckfaktor m wird jedem
radentreue).
Punkt P der Zeichenebene genau ein Punkt P'
• Winkel und Bildwinkel sind gleich groß
auf folgende Weise zugeordnet:
(Winkeltreue).
− Es gibt genau einen Fixpunkt, das Zen• Das Verhältnis zweier Originalstrecken ist
trum Z.
gleich dem Verhältnis der entsprechen− Für jeden anderen Punkt P gilt: P' liegt auf
den Bildstrecken (Verhältnistreue).
′
der Geraden ZP und ZP = m ⋅ ZP .
• Jede Bildstrecke hat die ∣m∣-fache Länge
der Originalstrecke.
• Die Bildfigur hat den m2-fachen Flächeninhalt der Originalfigur.
2. Der Strahlensatz
Voraussetzung: Zwei sich schneidende Geraden werden von zwei parallelen Geraden geschnitten.
g1
b
Strahlensatz:
• Je zwei Abschnitte auf g1 verhalten sich
wie die entsprechenden Abschnitte auf g2.
a s
c v
=
oder
z.B. =
b t
d w
• Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten
sich wie die von Z aus gemessenen entsprechenden Abschnitte auf g1 (bzw. g2).
p c
x
a
=
oder
z.B. =
y a+b
q d
a
Z
x
s
y
t
g2
g1
w
c
p
q
v
Z
d
g2
Folgerungen:
• Satz von der Mittellinie im Dreieck:
Die Verbindungsstrecke zweier Seitenmitten im Dreieck ist parallel zur dritten Seite
und halb so lang wie diese.
• Schwerpunktsatz:
In jedem Dreieck schneiden sich die Seitenhalbierenden im Schwerpunkt S. Der
Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende
im Verhältnis 2 : 1, wobei das längere
Stück immer an der Ecke liegt.
C
Ma
Mb
A
sa
S
sb
B
3. Die Ähnlichkeit
Definition:
Eine Abbildung, die sich aus Kongruenzabbildungen und zentrischen Streckungen zusammensetzt, heißt Ähnlichkeitsabbildung.
Eigenschaften ähnlicher Figuren:
Sind zwei Figuren zueinander ähnlich, so
schreibt man F1 ~ F2. Ähnliche Figuren stimmen in entsprechenden Winkeln und im Verhältnis entsprechender Seiten überein.
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke:
Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie
in den folgenden Stücken übereinstimmen:
• in zwei Winkeln (WW-Satz)
• im Verhältnis ihrer Seiten (S:S:S-Satz)
• im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (S:W:S-Satz)
• im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite (S:s:W-Satz)
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Januar 2004
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4. Die Satzgruppe des Pythagoras
Höhensatz
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächengleich zum Rechteck
aus den beiden Hypotenusenabschnitten:
h2 = p ⋅ q
Kathetensatz
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich zu dem
Rechteck aus der Hypotenuse und dem der
Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt:
b 2 = c ⋅ q und a 2 = c ⋅ p
Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates gleich
der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.
c 2 = a2 + b2
Voraussetzung: rechtwinkliges Dreieck
C
A
h
p
q
B
c
a2
C
b
2
a
b
c
A
Satz des
Pythagoras
Goldener Schnitt
Unter dem Goldenen Schnitt versteht man ein
besonderes Teilverhältnis einer Strecke:
Der größere Teil (M) der Strecke verhält sich
zum kleineren Teil (m) so, wie die Gesamtstrecke zur größeren Teilstrecke.
Für das Teilverhältnis gilt dann
8
M 1
= 1+ 5 ≈ .
5
m 2
(
a
b
B
c2
S
m
M
M
)
m
=
M+m
M
5. Die Pyramide
Bezeichnungen
Die Grundfläche einer Pyramide ist ein Vieleck, die Seitenflächen sind Dreiecke.
Das Lot von der Spitze auf die Grundebene
wird als Höhe h bezeichnet.
Eine dreiseitige Pyramide, bei der alle Kanten
gleich lang sind, nennt man Tetraeder.
Spitze
Sechsseitige
Pyramide
Höhe h
Grundfläche G
Volumenformel
Eine Pyramide mit der Grundfläche G und der
Höhe h hat das Volumen
1
V = G ⋅h
3
Spitze
Tetraeder
Höhe h
Grundfläche G
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