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SATZ DES PYTHAGORAS
lnformation
(1) Begriffe am rechtwinkligen Dreieck
Bevor wir die gefundene Vermutung allgemein formulieren,
Hypotenuse (griech)
hypo - unten
teinein - spannen
Kathete (griech.)
Kathetos Senkblei
führen wir zwei Begriffe am rechtwinkligen Dreieck ein:
Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite nennt
man
Hypotenuse, die dem rechten Winkel anliegenden Seiten heißen
Katheten.
(2) Satz des Pythagoras
Aus den Beispielen der Aufgabe 1 ergibt sich:
Satz des Pythagoras
Wenn das Dreieck ABC rechtwinklig ist, dann ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate:
c2 = a2
+b2
(für y =
99"1
Pythägoras von
Samos,
etwa 580 bis etwa
500 v. Chr.
Wir wollen diesen Satz nun allgemein beweisen.
Beweis des Satzes des Pythagoras:
Von einem Quadrat PQRS mit der Seitenlänge a + b werden vier
rechtwinklige Dreiecke mit den Kathetenlängen a und b abgeschnitten. Die vier abgeschnittenen Dreiecke stimmen in den Kathetenlängen und dem eingeschlossenen rechten Winkel überein.
Sie sind nach dem Kongruenzsatz sws zueinander kongruent.
Folglich hat die Restfigur vier gleich lange Seiten, deren Länge
wir mit c bezeichnen.
Des weiteren gilt aufgrund des Winkelsummensatzes im Dreieck:
+ 13 + 90" = 180', also o+ 0 =90".
Ebensogilt: o+13+e= 180', also rp-90".
Damit ist gezeigt, dass die Restfigur TUVW ein Quadrat mit
o,
der Seitenlänge c ist. Das Quadrat TUVW hat den Flächeninhalt A =
Wir berechnen nun diesen Fiächeninhalt auf andere Weise:
na;;;;Ena
lvon PQRS
c2=(X
I
+b)2-4.
PbT
c2.
FIächeninhalt
der vier Dreiecke
tub
=a2+2ab+b2 -
2ab
=a2+bZ
Damit ist bewiesen, dass der oben gefundene Flächensatz (Satz des Pythagoras) allgmein für rechtwinklige Dreiecke gilt.
weitefführende
Aufgabe
2. Konstruktion
von Strecken mit irrationaler Lcinge
Konstruiere eine Strecke der Länge \.ß .*.
Anleitun g : Konstruiere ein geeignetes Dreieck.