Der Satz des Pythagoras (Einführung)

Karolinen Gymnasium
Daniela Reinecke
9A
eigenverantwortlich
P4
4. Std. (10.40 Uhr), 12.01.11
Thema: Der Satz des Pythagoras (Einführung)
Lernziele
Groblernziel
Die Schülerinnen und Schüler entdecken anhand eines „Pythagoras-Puzzles“ den Satz des
Pythagoras und beweisen diesen rechnerisch anhand einer geometrischen Figur.
Teillernziele
Die Schülerinnen und Schüler…
o
lösen ein geometrisches Puzzle zum Satz des Pythagoras,
o
begründen über ein Puzzle, dass der Flächeninhalt des großen Quadrates gleich der
Summe der Flächeninhalte der beiden kleinen Quadrate ist.
o
stellen fest, dass die Formel a² + b² = c² nur gilt, wenn ein rechtwinkliges Dreieck
vorliegt.
o
(beweisen den Satz von Pythagoras anhand einer geometrischen Figur rechnerisch und
leiten damit die Formel a² + b² = c² her.)
Verlaufsplan
Unterrichtsschritt
Einstieg
Unterrichtsinhalte / Begriffe
Unterrichtsmittel
Unterrichtsform
Hausaufgabe: Puzzle – Papa-Schlumpf hat
streit mit seinen Schlümpfen.
Puzzel
Folien I
SV / UG
Nehme alle Dreiecke weg. Ist nun das übrig
gebliebene Papa-Schlumpf-Quadrat der
Fläche nach größer, kleiner oder gleich den
beiden Schlumpf-Quadraten? Begründe deine
Antwort!
Folien I
LV
Folien I
UG / LG
Folie II
LV / LG
Tafel
UG
AB I
PA
Folie III
LG
Folie III
LV
AB II
PA
Problematisierung
Der Flächeninhalt des großen Quadrates ist
gleich der Summe der Flächeninhalte der
beiden kleinen Quadrate.
Benennung der Dreieckseiten mit a, b und c
a² + b² = c²
Erarbeitung
Teil I
Weitere Dreiecke (Bugs Bunny, Garfield,
Problematisierung
Snoopy) werden gezeigt.
Was muss gegeben sein, damit die Aussage
a² + b² = c² zutrifft?
Es darf kein gleichseitiges Dreieck vorliegen.
Vermutungen
(Damit wäre nur Garfield falsch).
Es muss ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen.
(Damit wären Garfield und Snoopy falsch).
Seitenlängen der Dreiecke werden
Erarbeitung
Ergebnissicherung
abgemessen und die gefundenen
Vermutungen durch Nachrechnen überprüft.
Die Beispiele legen nahe, dass ein
rechtwinkliges Dreieck vorliegen muss.
Einführung der Begriffe Kathete und
Hypotenuse.
Satz des Pythagoras
--- mögliches Stundenende --Problematisierung
Erarbeitung
Nun müssen wir noch zeigen, dass der Satz
für beliebige rechtwinklige Dreiecke gilt.
Beweis des Satzes des Pythagoras anhand
einer Beweisfigur rechnerisch
Ergebnissicherung
Vorstellung und Vergleich der Ergebnisse
Folie
SV
Hausaufgabe
Beweis (wenn noch nicht gemacht)
S. 153 Nr. 4
AB
Buch
EA
Hausaufgabe:
Papa-Schlumpf hat Streit mit seinen Schlümpfen. Die Schlümpfe
behaupten, ihre grünen Puzzle-Teile seien zusammengenommen
viel größer als die roten von Papa-Schlumpf. Papa-Schlumpf hält
dagegen, dass er mit seinen roten Puzzle-Teilen eine geometrische
Figur legen könne, die genauso aussieht und genauso groß ist wie
eine, die die Schlümpfe mit ihren grünen Teilen legen können. Wer hat recht?
Dazu erhält jeder Schüler:
ein ausgeschnittenes rotes Quadrat (Papa-Schlumpf) und vier ausgeschnittene rote
Dreiecke [Figur wurde auf roten Karton gedruckt]
zwei verschieden große ausgeschnittene grüne Quadrate (Schlümpfe) und vier
ausgeschnittene blaue Dreiecke. [Figur wurde auf grünen Karton gedruckt]
Folie I:
(Puzzleteile aus HA)
Folie II
Arbeitsblatt
Miss die Länge der Seiten a, b, c des jeweiligen Dreiecks und überprüfe für welches Dreieck
die Formel a² + b² = c² gilt.
Zusatz: Zeichne ein beliebiges Dreieck (rechtwinklig oder nicht rechtwinklig) und überprüfe
analog zu der obigen Aufgabe, ob die Formel a² + b² = c² gilt.
Folie III
Die am rechten Winkel anliegenden Seiten a und b heißen:
________________________________
Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite c heißt:
________________________________
Der Satz des Pythagoras
Im ____________________ Dreieck gilt:
________________________________________
________________________________________
_______________________________________.
Formel: ___________________
Beweis: Satzes des Pythagoras
Ziel des Beweises ist es, zu zeigen, dass der Satz des Pythagoras für alle rechtwinkligen
Dreiecke gilt. Das unten abgebildete Dreieck (Abb. 1) könnte jedes beliebige rechtwinklige
Dreieck sein, da die Seitenlängen als Variablen nicht bestimmt sind.
Abb. 1
Abb. 2
Die Fläche des großen zusammengesetzten Quadrates (Abb. 2) kann man auf zwei
verschiedene Weisen berechnen. Stelle nun zwei Terme zur Berechnung des Flächeninhalts
des Quadrats auf!
A□1 = ___________________________________________________________
A□2 = ___________________________________________________________
Da es sich um ein und dieselbe Fläche handelt, darfst du die Gleichungen gleichsetzen.
Vereinfache so weit wie möglich!
A□1 = A□2
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Ergebnis:
Du hast damit eine Gleichung gefunden, die für jedes rechtwinklige Dreieck gilt und damit
den Satz des Pythagoras bewiesen!