Kondensatoren ¨Ubersicht

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◮ Elektrisches Feld | Kondensatoren | Elektrische Kapazität und Energiegehalt
PhysikLV-Skript
Kondensatoren
Elektrische Kapazität und Energiegehalt
Übersicht
1 Einführung
1
2 Elektrische Kapazität
2
3 Energiegehalt
4
3.1
3.2
Wo wird die Energie gespeichert? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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◮ Elektrisches Feld | Kondensatoren | Elektrische Kapazität und Energiegehalt
PhysikLV-Skript
1 Einführung
Der Begriff des Kondensators wurde schon in mehreren PhysikLV-Skripten erwähnt. Doch was ihn so
besonders macht, das lernst du erst in diesem Kapitel.
Ein Kondensator ist ein Bauelement der Elektrotechnik und besteht aus zwei elektrisch leitenden Flächen, Elektroden genannt,
die sich in meist geringem Abstand gegenüber stehen.
In nahezu allen elektrischen Geräten ist dieses Bauteil vorhanden
und nicht mehr wegzudenken.
Kondensatoren dienen im elektrischen Stromkreis als Ladungsund somit auch als Energiespeicher. So speichern sie etwa
in Blitzvorrichtungen eines Fotoapparats die Energie für einen
Lichtblitz oder sorgen in Geräten mit Solarzellen dafür, dass das
Gerät auch eine gewisse Zeit ohne Licht funktioniert.
Kondensatoren auf einer Soundkarte
Quelle: wikipedia.org - Jon Sullivan (public domain)
Auch als Informationsspeicher und, durch die Messung der Änderung ihrer Eigenschaften, als Sensor
für viele physikalische Größen sind Kondensatoren geeignet.
Es existieren viele verschiedene Bauarten und Anordnungen der Elektroden, doch wollen wir uns im
Folgenden auf die geläufigste Anordnung, den Plattenkondensator, beschränken.
Ein Plattenkondensator besteht aus zwei voneinander getrennten baugleichen Metallplatten, die sich in
einem bestimmten Abstand parallel gegenüber stehen. Besteht ein Ladungsunterschied zwischen diesen Platten, entsteht zwischen ihnen ein elektrisches Feld.
Oberfläche A
d
Kondensator
Kenngrößen eines Plattenkondensators sind der Abstand d zwischen den Platten und der Flächeninhalt A einer dieser Platten. Das
Vorhanden- oder Nichtvorhandensein eines Mediums zwischen den
Platten beeinflusst den Plattenkondensator ebenfalls.
Das Schaltzeichen eines Kondensators im Schaltbild eines Stromkreises sieht wie nebenstehend aus.
Das Aufladen eines Plattenkondensator erfolgt durch Verbinden mit
einer Spannungsquelle. Ist die Verbindung hergestellt, wandern negative Ladungen auf eine Elektrode. Hier verweilen diese Ladungen, da sie nicht weiter fließen können. Der Potentialunterschied
lässt das elektrische Feld entstehen.
Die Ladung wird also auf den Elektrodenplatten gespeichert.
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PhysikLV-Skript
2 Elektrische Kapazität
Ein Kondensator speichert also Ladungen. Doch von welchen Größen hängt die gespeicherte Ladungsmenge ab? Wie muss man einen Kondensator bauen, um möglichst viel Ladungen speichern zu können?
Um diese Fragen zu beantworten, führen wir dasselbe das Experiment durch, mit welchem wir die elektrische Feldkonstante und die Flächenladungsdichte (siehe gleichnamiges PhysikLV-Skript) eingeführt
haben.
Bei diesem Experiment wird ein Plattenkondensator mit einer Spannungsquelle verbunden, wodurch
die Platte P− negativ und die Platte P+ positiv geladen wird. An die negativ geladene Platte P− legen
wir den Ladungslöffel und schöpfen mit diesem eine gewisse Ladungsmenge ab, die wir anschließend
auf den Ladungsmesser übertragen und dort messen. Wiederholen wir diesen Vorgang, so erhalten wir
jedes Mal annähernd die gleiche Ladungsmenge (siehe PhysikLV-Skript Elektrische Feldkonstante und
”
Flächenladungsdichte“).
P- -
-
0
Q
Max.
+
+ P
+
+
+
+
+
P- -
-
Ladungen werden auf den Löffel übertragen und Feldlinien
verkürzen sich. Am Messgerät gibt es noch keine Ausschlag.
0
Q
Max.
+
+ P
+
+
+
+
+
Die Ladungen des Löffels werden auf das Messgerät
übertragen. Es schlägt aus, während die Ladungen auf der
Elektrode wieder aufgefüllt werden.
Da wir wissen möchten, von welchen Größen die gespeicherte Ladungsmenge Q abhängt, erhöhen wir
die Spannung U. Mit dem Ladungslöffel werden Ladungen abgelöffelt“ und auf den Ladungsmesser
”
übertragen und dort gemessen.
Hierbei beobachten wir, dass sich die auf den Löffel übertragene Ladung um den gleichen Faktor erhöht
hat, wie vorher die Spannung erhöht wurde.
Doch muss diese Beobachtung auch heißen, dass die gesamte Ladung auf den Elektroden erhöht wurde?
Wie im PhysikLV-Skript Elektrische Feldkonstante und Flächenladungsdichte “erwähnt, sind die
”
Flächenladungsdichten des Plattenkondensators und des Ladungslöffels identisch. Es gilt also:
σKondensator = σLöffel
Setzt du nun die gelernte Definition der Flächenladungsdichte ein, so erhältst du:
Q
Q′
= ′
A
A
Formst du diese Gleichung nun um, so kannst du erkennen, dass auf Grund des konstanten Verhältnisses
der beiden Flächeninhalte zueinander auch das Verhältnis der beiden Ladungensmengen konstant sein
muss:
Q
A
= ′ = konstant
Q′
A
Dies wiederum bedeutet, dass sich bei einer Erhöhung der angelegten Spannung U nicht nur die auf
den Ladungslöffel übertragene Ladung erhöht hat, sondern ebenfalls die Ladungsmenge des Plattenkondensators um den gleichen Wert größer wurde.
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PhysikLV-Skript
Aus dieser Feststellung heraus folgt die Proportionalität der Ladung auf dem Plattenkondensator Q zur
angelegten Spannung U :
Q∼U
Die Proportionalitätskonstante zwischen Q und U ist die elektrische Kapazität C eines Plattenkondensators und wird definiert durch:
C=
Q
U
Die Kapazität C gibt also an, welche Ladung Q pro Volt angelegter Spannung U vom Plattenkondensator aufgenommen wird.
Sie wird in der SI-Einheit Farad (F) angegeben, benannt nach dem bedeutenden Experimentalphysiker
Michael Faraday.
C
V
Aus der obigen Definition der Kapazität folgt durch Umstellen eine weitere Gleichung:
1F = 1
Q = C·U
Merksatz:
Kuh = Kuh “
”
Quelle: wikipedia.org - LadyofHats (public domain)
Durch Einsetzten bereits bekannter Gleichungen in die Definition der elektrischen Kapazität C, erhalten
wir eine Formel für C (in Luft) rein aus der Geometrie des Kondensators.
Hierzu verwenden wir die im PhysikLV-Skript Elektrische Feldkonstante und Flächenladungsdichte“
”
hergeleitete Formeln für σ:
Q
(1) und σ = ε 0 · E (2)
σ=
A
Die Gleichung (1) lässt sich nach der Ladung Q umformen:
Q
σ=
| ·A
A
A·σ = Q
(1*)
Hierzu kommt noch die aus dem PhysikLV-Skript Elektrische Spannung “ bekannte Formel für U,
”
welche nur in homogenen elektrischen Feldern gilt:
U = E·d
(3)
Setzen wir nun die Gleichungen (1*), (2) und (3) in die Definition der elektrischen Kapazität C ein, so
erhalten wir die gesuchte, nur auf der Geometrie des Plattenkondensators beruhende Formel für C:
Q
| Q = σ · A und U = E · d
C=
U
=
σ·A
E·d
| σ = ε0 · E
ε0 · E · A
E ·d
Die elektrische Kapazität C eines luftgefüllten Plattenkondensators mit Plattenfläche A und Plattenabstand d berechnet sich also wie folgt:
=
C = ε0 ·
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A
d
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PhysikLV-Skript
◮ Achtung!
Wichtig ist, dass du dir den Unterschied klar machst zwischen der elektrischen Kapazität eines Kondensators und der Kapazität einer Batterie oder eines Akkus.
Ersteres wurde hier nun ausführlich behandelt und bezeichnet, wie viel Ladung pro Volt angelegter
Spannung ein Kondensator aufnimmt.
Die Einheit der elektrischen Kapazität ist:
C
V
Die Kapazität einer Batterie hingegen bezeichnet das Fassungsvermögen “, also die Menge der elektri”
schen Ladung, die maximal in der Batterie gespeichert werden kann und wird meist in Amperestunden
[Celektr. ] = 1 F = 1
(Ah) angegeben.
Die zugehörige SI-Einheit unterscheidet sich deutlich von der Einheit der elektrischen Kapazität:
[Cbatt. ] = 1 A s = 1 C
3 Energiegehalt
Ein geladener Plattenkondensator wird von der Stromquelle getrennt und mit einem Voltmeter verbunden, das die Spannung U im Stromkreis misst.
Mit einem Ladungslöffel werden negative Probeladungen qi von der negativen Elektrode auf die positive übertragen.
Durch diese Übertragung wird die Ladungstrennung um ∆Qi kleiner und das elektrische Feld wird abgeschwächt. Der Betrag der elektrische Feldstärke E sinkt.
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
q1
+
q3
-
q5
-
+
+
+
-
0
-
0
Max.
Max.
V
V
0
Max.
V
Da die Ladung Q des Plattenkondensators verringert wird und die Kapazität des Kondensators gleich
bleibt, sinkt in den obigen Abbildungen nach der Definition der Kapazität die Spannung U:
Q
C
= q · Ui aufgewandt. Die gespeicherte Energie Wel
U ( Q) =
An der Probeladung q wird dabei die Energie Wel
sinkt also ebenfalls.
Im U-Q-Diagramm wird die Arbeit Wel als kleine Rechtecke dargestellt:
U1
U2
U3
U4
U5
q5 q4 q3 q2 q1
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◮ Elektrisches Feld | Kondensatoren | Elektrische Kapazität und Energiegehalt
PhysikLV-Skript
Summierst du bei dieser portionsweisen“ Entladung die Flächeninhalte der Rechtecke auf, so erhältst
”
du die gesamte gespeicherte Energie des Kondensators nur näherungsweise, da sich eigentlich die Kondensatorspannung Ui auch während der Verlagerung der Probeladung q von rechts nach links ändert.
Die Veränderung verläuft also nicht stufenweise“ sondern kontinuierlich.
”
Um den Energiegehalt des Kondensators richtig darstellen zu können, verkleinert man die Breite der
Rechtecke. Bei fortschreitender Verkleinerung nähert sich die Gesamtfläche der Stufenform der Dreiecksfläche an.
Als Maß für die gespeicherte Energie des Kondensators verwendet man daher die Fläche unter der
Ursprungsgeraden:
U
Q
So ergibt sich durch die Dreiecksformel für die im Kondensator gespeicherte Energie WK :
WK =
1
QU
2
Mit der Formel Q = C · U lässt sich noch eine weitere Formeln für die gespeicherte Energie des Kondensators ableiten, die für die Anwendung wichtig ist, da die vorhandenen Größen C und U gut zu
bestimmen sind:
WK =
1
C U2
2
3.1 Wo wird die Energie gespeichert?
Die Aufgabe von Kondensatoren im elektrischen Stromkreis ist es, Ladungen und damit die oben erwähnte
Energie zu speichern.
Doch wie speichert ein Kondensator eigentlich diese Energie? Steckt sie auf den Kondensatorplatten, in
den Ladungen selbst oder vielleicht wo ganz anders? Und wenn man diese nicht sehen kann, wie will
man nachweisen, wo sie sich befindet?
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Diese Fragen kannst du durch Einsetzen von zwei Formeln in die Formel des Energieinhaltes beantworten:
1
A
WK = C U 2
einsetzen
C = ε0 ·
d
2
1
A
= · ε 0 · · U2
U = E · d einsetzen
2
d
1
A
= · ε 0 · · ( E · d )2
2
d
1
= · ε 0 · E2 · A · d
mit A · d = V ergibt sich
2
1
= · ε 0 · E2 · V
2
Dieser Umformung kannst du entnehmen, dass die gespeicherte Energie des Kondensators WK proportional zum Volumen V und dem Quadrat aus der elektrischen Feldstärke E2 ist.
1. Fall: V = konstant
Wird das Volumen konstant gehalten, so verändert sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie,
wenn die Feldstärke geändert wird.
Volumen V
2. Fall: E2 = konstant
Wird die elektrische Feldstärke E konstant gehalten und vergrößert man das Volumen des Kondensators, so verlängern sich
die elektrischen Feldlinien und es kann insgesamt mehr Energie
im Feld gespeichert werden.
Fazit:
Die Energie steckt also im elektrischen Feld.
3.2 Energiedichte
Somit können wir eine weitere physikalische Größe des elektrischen Feldes einführen.
Sie wird Energiedichte ρ genannt und bezeichnet die Menge an Energie, die in einem bestimmten Volumen gespeichert ist. Sie ist definiert als:
ρ=
WK
1
= ε 0 E2
V
2
Entsprechend lautet die zugehörige SI-Einheit:
1
C·V
J
=1
3
m
m3
Volumen V
Volumen V
In der rechten Abbildung liegen die elektrischen Feldlinien enger beieinander. Das bedeutet, dass das
elektrische Feld und damit die elektrische Feldstärke E größer ist als in der linken Abbildung. Da das
Volumen V konstant ist, gilt wie im 1. Fall, dass rechts die gespeicherte Energie größer ist.
Fazit:
Die Energie ist im rechten Feld komprimierter als links und daher ist die Energiedichte ρ
hier größer.
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