Bewegung geladener Teilchen im elektrischen Feld

Bewegung geladener Teilchen im elektrischen Feld
1. Eine Metallkugel mit dem Radius R = 5,0 cm
trägt gleichmäßig über die Oberfläche verteilt
die positive Ladung Q = 2,0 · 10−10 C. In der
horizontalen Entfernung r0 = 20 cm vom Kugelmittelpunkt befindet sich ein momentan noch
ruhendes Elektron. Die ganze Anordnung befindet sich im Vakuum.
Q
R
e−
r0
(a) Beweise in nachvollziehbarer Weise, dass das Feld außerhalb der Kugel gleich
dem Feld einer Punktladung Q im Mittelpunkt der Kugel ist.
(b) Berechne die Geschwindigkeit v, mit der das Elektron auf die Kugel prallt.
(c) Berechne die Beschleunigungen des Elektrons beim Start (r = r0 ) und kurz
vor dem Aufprall auf die Kugel (r = R). Schätze dann ab, um welche vertikale
Strecke ∆y das Elektron bei seinem Flug zur Kugel abgelenkt wird.
Lösung: (a) Wir denken uns eine Kugelfläche A mit Radius r um den Mittelpunkt der Metallkugel.
Aus Symmetriegründen steht das von Q er~ auf dieser Fläche senkrecht und
zeugte Feld E
~ hängt nur von r ab. Daher ist der
E = |E|
Fluss durch A
E(r)
E(r)
Q
R
r
Φ = E(r) · A = 4πr 2 E(r)
E(r)
Nach dem Gaußschen Satz ist
E(r)
Q
Φ= ,
ε0
d.h.
4πr 2 E(r) =
Q
ε0
=⇒
E(r) =
Q
4πε0 r 2
(b) Mit m = me und q = −e gilt
Qq
m 2
Qq
m 2
v +
=
·0 +
2
4πε0 R
2
4πε0 r0
s
s
Qq
Qe
1
1
1
1
m
v=
·
·
−
−
= 3,1 · 106
=
2πε0 m
r0 R
2πε0 m
R r0
s
(c) a1 = a(r0 ) =
m
Qq
F (r0 )
= 7,9 · 1012 2
=
m
s
4πε0 mr02
m
s2
Unter der Annahme einer konstanten Beschleunigung wären die Flugzeiten des Elektrons für die Strecke s = r0 − R = 15 cm:
r
r
t1
2s
2s
−7
= 4,9 · 10−8 s
= 1,9 · 10 s und t2 =
=
t1 =
a1
a2
4
Wegen r0 = 4R ist a2 = a(R) = 16a1 = 1,3 · 1014
∆y2 < ∆y < ∆y1
mit
∆y1 =
∆y1
g 2
t1 = 1,9·10−13 m und ∆y2 =
= 1,2·10−14 m
2
16
1
2. Ein zunächst ruhendes Elektron wird
von der Spannung U0 auf v0 beschleunigt. Dann wird das Elektron unter
dem Winkel ϕ > 0 gegen die x-Achse
in das homogene Feld E eines Plattenkondensators der Länge L eingeschossen (siehe Abb.). Die Spannung U an
den Platten des Kondensators wird so
gewählt, dass das Elektron den Kondensator parallel zur x-Achse verlässt.
d
2
v0
y
y1
ϕ
U
0
L
x
d
2
(a) Wie muss U gepolt sein?
(b) Berechne U in Abhängigkeit von U0 , d, ϕ und L.
2U0 d sin ϕ cos ϕ
U0 d sin 2ϕ
=
L
L
(c) Leite eine Formel für den Abstand y1 zur x-Achse her, unter dem das Elektron
den Kondensator parallel zur x-Achse verlässt.
L
Zur Kontrolle: y1 = tan ϕ
2
(d) Für welchen maximalen Eintrittswinkel ϕmax kann das Elektron den Kondensator gerade noch parallel zur x-Achse verlassen?
Zur Kontrolle: U(ϕ) =
(e) Liegt die Spannung U(ϕ) am Kondensator, dann gibt es, bei genügend großem
d, neben ϕ noch einen weiteren möglichen Eintrittswinkel ϕ′ > 0, bei dem
das Elektron ebenfalls parallel zur x-Achse aus dem Kondensator fliegt. Wie
hängen ϕ′ und ϕ zusammen?
(f) U ist jetzt so eingestellt, dass ein durch U0 = 200 V beschleunigtes und unter
ϕ = 15◦ eintretendes Elektron (L = 20 cm, d = 6 cm) den Kondensator parallel
zur x-Achse verlässt. Berechne U, y1 und ϕ′ . Kann das Elektron unter beiden
Eintrittswinkeln ϕ und ϕ′ den Kondensator verlassen?
Lösung: (a) Polung: plus unten
r
mv02
2eU0
=⇒
= 2U0 ,
v0 =
e
m
eE
eU
L
,
Beschleunigung: ay =
=
Flugzeit: ∆t =
v0 cos ϕ
m
md
L
eU
·
=0
Geschwindigkeit in y-Richtung bei x = L: v1 = v0 sin ϕ −
md v0 cos ϕ
m 2
(b)
v = eU0
2 0
mv02 d sin ϕ cos ϕ
2U0 d sin ϕ cos ϕ
U0 d sin 2ϕ
=
=
eL
L
L
ay 2
L
eU
L2
U L2
−
· 2
(c) y1 = vy0 ∆t − ∆t = v0 sin ϕ ·
=
L
tan
ϕ
−
2
v0 cos ϕ 2md v0 cos2 ϕ
4U0 d cos2 ϕ
U=
Mit U =
2U0 dL2 sin ϕ cos ϕ
L
2U0 d sin ϕ cos ϕ
folgt y1 = L tan ϕ −
= tan ϕ
L
4U0 dL cos2 ϕ
2
2
L
d
d
d
tan ϕ <
=⇒ tan ϕ <
=⇒ tan ϕmax =
2
2
L
L
(e) U (ϕ′ ) = U (ϕ) =⇒ sin(2ϕ′ ) = sin(2ϕ) =⇒ 2ϕ′ = 180◦ − 2ϕ =⇒ ϕ′ = 90◦ − ϕ
0,2 m
d
200 V · 0,06 m · sin 30◦
= 30 V, y1 =
· tan 15◦ = 2,7 cm < (ja)
(f) U =
0,2 m
2
2
d
d
ϕ′ = 75◦ , y1′ = 10 cm · tan 75◦ = 37,3 cm > (nein) ϕmax = arctan = 17,7◦
2
L
(d) y1 =
3. Ein Elektron wird von der SpanL
nung U = 100 V beschleunigt
und tritt dann zur Zeit t0 = 0
U1
d
mit der Geschwindigkeit v0 unter
y0
dem Winkel ϕ (siehe Abbildung)
ϕ
A
B
direkt an der Kante A in das
v0
e−
homogene Feld E eines PlattenU
kondensators ein (L = 10,0 cm,
d = 2,50 cm). Der Winkel ϕ
ist so gewählt, dass das Elektron den Kondensator zur Zeit
t1 direkt an der Kante B wieder verlässt. Die Spannung zwischen den quadratischen
Kondensatorplatten ist U1 = βU mit β = 25 .
Hilfen aus der Mathematik:
sin 2α = 2 sin α cos α,
sin2 α + cos2 α = 1,
sin2 α =
p
1
1 − 1 − sin2 2α
2
(a) Berechne v0 und die Ladung Q auf der oberen Platte.
(b) Berechne t1 in allgemeinen Größen (keine Zahlenwerte) auf zwei Arten und
leite damit die Beziehung sin 2ϕ = βL
her.
2d
(c) Leite für die maximale Höhe y0 des Elektrons (siehe Abbildung) aus dem Energiesatz die Beziehung
q
d
y0 =
1 − 1 − sin2 2ϕ
2β
her und berechne dann die numerischen Werte von t1 , ϕ und y0 .
Lösung: (a) m = me :
m 2
v = eU
2 0
=⇒
v0 =
r
m
2eU
= 5,93 · 106
m
s
ε0 L2
· βU = −1,42 · 10−10 C
d
L
(b) Bewegung in x-Richtung: t1 =
v0 cos ϕ
Q = −CU1 = −
(C = 3,54 · 10−12 F)
eU1
eβU
eE
=−
=−
=⇒
Beschleunigung in y-Richtung: a = −
m
md
md
eβU
2mdv0 sin ϕ
eβU 2
t1 = t1 v0 sin ϕ −
t1 = 0 =⇒ t1 =
t1 v0 sin ϕ −
2md
2md
eβU
3
L
2mdv0 sin ϕ
=
v0 cos ϕ
eβU
=⇒
2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ =
LeβU
LeβU
Lβ
2 = 2deU = 2d
d mv0
|{z}
2eU
m
m 2
v = eEy0 + v02 cos2 ϕ =⇒
(c) Energiesatz:
2 0
2
q
2
mv0
2eU
Ud
d
2
2
2
2
y0 =
(1 − cos ϕ) =
sin ϕ =
sin ϕ =
1 − 1 − sin 2ϕ
2eE
2eE
βU
2β
!
!
r
r
L2 β 2
16
d
d
d
1− 1−
1− 1−
= = 1,25 cm
=
y0 =
2
2β
4d
0,8
25
2
Lβ
= 2β = 0,8 =⇒
2d
L
t1 =
= 1,89 · 10−8 s
v0 cos ϕ
sin 2ϕ =
ϕ = 26,6◦
4