Einführung in die Statistik 5. Tutorium - Mathematik@TU

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
B. Niese
A. Rößler
B. Walther
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
SS 2004
19.05.2004
Einführung in die Statistik
5. Tutorium (1. Semester)
Aufgabe 11 Identisch verteilte Zufallsvariablen I
Seien X, Y : Ω → R zwei Zufallsvariablen. Die Zufallsvariablen X und Y heißen identisch
verteilt, wenn sie die gleiche Verteilungsfunktion besitzen. Die jeweiligen Verteilungsfunktionen seien mit FX bzw. FY bezeichnet. Wir betrachten folgende Aussagen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
X und Y sind identisch verteilt.
X=Y
X(ω) = Y (ω) für alle ω ∈ Ω
FX (t) = FY (t) für alle t ∈ R
P ({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ t}) = P ({ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ t}) für alle t ∈ R
E(X) = E(Y ) und V ar(X) = V ar(Y )
Welche Implikationen gelten zwischen den oben aufgeführten Aussagen? Tragen Sie in die
leeren Kästchen jeweils eines der logischen Zeichen ⇐=“, =⇒“oder ⇐⇒“ ein, falls die
”
”
”
entsprechende Implikation wahr ist. Geben Sie für fehlende Implikationen Gegenbeispiele
an.
Für die Aussagen gilt:
(vi)
(ii)
(iii)
(i)
(iv)
(v)
(vi)
Aufgabe 12 Identisch verteilte Zufallsvariablen II
Man betrachte die unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen X1 , X2 , X3 , X4 ,
welche die Augenzahlen der vier Würfe beim viermaligen Werfen eines Würfels beschreiben.
Die Zufallsvariable Y gebe die Augensumme der beiden ersten Würfe, die Zufallsvariable
Z die Augensumme der beiden letzten Würfe und die Zufallsvariable S die Augensumme
aller vier Würfe an. Es seien also
Y = X1 + X2 ,
Z = X3 + X4 ,
S=
4
X
Xi .
i=1
Entscheiden Sie, ob die folgenden beiden Zufallsvariablen jeweils übereinstimmen, identisch
verteilt oder unabhängig sind:
(a) Y und Z,
(b) Y + Y und Y + Z,
(c) Y + Z und S,
(d) Y und X2 + X3 .
Tragen Sie Ihre Ergebnisse auch in die nachstehende Tabelle ein:
Die beiden Zufallsvariablen aus ...
stimmen überein
sind identisch verteilt
sind unabhängig
haben den gleichen Erwartungswert
haben die gleiche Varianz
(a)
(b) (c) (d)
Aufgabe 13 Stetig verteilte Zufallsvariablen
Gegeben sei folgende Funktion
f (x) =
ax2 + bx : 0 ≤ x ≤ 1,
0
: sonst,
wobei a und b reelle Konstanten bezeichnen.
a) Welchen Bedingungen muss die Funktion f genügen, wenn sie die Dichte einer stetig
verteilten Zufallsvariable X ist?
b) Bestimmen Sie zulässige Bereiche für die Parameter a und b der Verteilung von X,
und skizzieren Sie die Dichte für die Fälle (a, b) = (1, 4/3) und (a, b) = (−3, 4).
c) Berechnen Sie den Modalwert der Verteilung von X in Abhängigkeit von a und b.
Hinweis: Als Modalwerte einer stetigen Zufallsvariable X bezeichnet man alle Werte
bei denen die Wahrscheinlichkeitsdichte von X maximal wird. Hat eine Zufallsvariable
nur einen Modalwert, wird sie unimodal genannt.
d) Wie groß ist für (a, b) = (1, 4/3) die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X
Werte zwischen 0.9 und 4.5 annimmt?