,,Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie” 13.¨Ubungsblatt

Institut für Angewandte Mathematik
WS 2014/15
Prof. Karl-Theodor Sturm, Dr. Sebastian Andres
,,Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie”
13. Übungsblatt
Abgabe bis Dienstag 20.1.2015 in der Vorlesungspause
Aufgabe 1
[0 Pkt ]
1. Berechnen Sie die charakteristische Funktion einer binomial verteilten Zufallsvariablen. Beweisen Sie mit Hilfe dieser Funktion: Sind X1 und X2 unabhängige Bin(n1 , p)
bzw. Bin(n2 , p)-verteilte Zufallsvariablen, dann ist X1 + X2 Bin(n1 + n2 , p)-verteilt.
2. Es seien X und Y unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert
0 und Varianz 1. Zeigen Sie mit Hilfe der√charakteristischen Funktionen: Stimmt die
Verteilung der Zufallsvariablen (X + Y )/ 2 mit der von X und Y überein, dann sind
X und Y normal verteilt.
Hinweis: Aus den Voraussetzungen erhält man für die charakteristische Funktion
eine Gleichung der Form φ(t) = [φ(?)]2 . Betrachten Sie Iterationen dieser Gleichung
zusammen mit der Taylorentwicklung von φ.
Aufgabe 2
[0 Pkt ]
In der Vorlesung haben wir gesehen, dass die Poissonverteilung bezüglich Faltung abgeschlossen
ist. Benutzen Sie das, um zu beweisen: Für eine Poisson verteilte Zufallsvariable Yλ mit
Parameter λ gilt
Yλ − λ d
√
−→ X, für λ → ∞,
λ
wobei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.
Aufgabe 3
[0 Pkt ]
In einer Meeresfarm werden Muscheln zur Perlengewinnung gezüchtet. Allerdings bringt
durchschnittlich nur jede fünfzigste Muschel eine Perle hervor.
1. Wie viele Muscheln müssen mindestens geöffnet werden, um mit Wahrscheinlichkeit
0.95 oder mehr mindestens eine Perle zu erhalten?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist unter 100 Muscheln keine Perle zu finden?
1
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 100 Muscheln mindestens zwei Perlen enthalten?
Berechnen Sie die Ergebnisse jeweils exakt, mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes und
mit Hilfe der Poissonapproximation der Binomialverteilung.
Hinweis: Für die Berechnung der Approximationen mit der Normalverteilung wird eine
Tabelle der Werte der Standardnormalverteilungsfunktion benötigt, die man z.B. in dem
Buch von Georgii oder im Internet finden kann. Mit Poissonapproximation ist der sog.
Poisson’sche Grenzwertsatz gemeint.
Aufgabe 4
[0 Pkt ]
Häufig ist die Zahl der zu einem Flug erschienenen Passagiere geringer als die Zahl der
Buchungen für diesen Flug. Die Fluggesellschaft lässt daher Überbuchungen zu. Sie
verkauft mehr Tickets als Sitze im Flugzeug vorhanden sind. Dabei geht sie bewusst
das Risiko ein, eventuell überzählige Passagiere entschädigen zu müssen.
Nehmen Sie an, dass die Fluggesellschaft bei jedem mitfliegenden Fluggast Einnahmen
von a = 300e und für jede überzählige Person einen Verlust von b = 500e hat. Nehmen
Sie ferner an, dass jede Person, die einen Flug gebucht hat, unabhängig von den anderen
Personen mit Wahrscheinlichkeit p = 0, 95 zum Flug erscheint. Wie viele Plätze würden
Sie bei einem Flugzeug mit
1. S = 124 Sitzplätzen
2. S = 549 Sitzplätzen
verkaufen, um den erwarteten Gewinn zu maximieren?
Hinweis: Zeigen Sie zuerst folgendes: SeiP
(Xn )n≥1 eine Folge von Bernoulli-Zufallsvariablen
mit Erfolgswahrscheinlichtkeit p, SN = N
i=1 Xi sowie GN der Gewinn bei N verkauften
Plätzen, so gilt
GN +1 − GN = a1l{SN <S} XN +1 − b1l{SN ≥S} XN +1 .
Folgern Sie, dass E[GN +1 ] ≥ E[GN ] genau dann, wenn P[SN < S] ≥
Sie dann die Normalapproximation.
2
b
,
a+b
und verwenden