1.3 Dimensionen physikalischer Größen

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1 MESSUNG UND VEKTOREN
1 Messung
Beispiel 1.1: Die Dimension des Drucks
Der Druck P in einer bewegten Flüssigkeit hängt von ihrer Dichte ρ und von ihrer Geschwindigkeit v ab. Gesucht ist
eine einfache Kombination von Dichte und Geschwindigkeit, die die richtige Dimension des Drucks ergibt.
Problembeschreibung: Aus Tabelle 1.2 lässt sich ablesen, dass der Druck die Dimension m/(l t 2 ), die Dichte die
Dimension m/l 3 und die Geschwindigkeit die Dimension l/t haben. Sowohl bei der Dimension des Drucks als auch bei
der der Dichte steht die Masse im Zähler. In der Geschwindigkeit kommt die Masse dagegen nicht vor. Daher müssen
die Dichte und die Geschwindigkeit so multipliziert oder dividiert werden, dass in der Dimension des Drucks die Masse
steht. Um den genauen Zusammenhang zu ermitteln, können wir zunächst die Dimension des Drucks durch die der Dichte
dividieren. Anschließend betrachten wir das Ergebnis, um zu sehen, wie daraus die Dimension einer Geschwindigkeit
gebildet werden kann.
Lösung:
1. Dividieren Sie die Dimension des Drucks durch die der
Dichte, sodass ein Ausdruck entsteht, der die Dimension
der Masse m nicht enthält:
[P]
l2
m/(l t 2 )
=
=
[ρ]
m/l 3
t2
2. Wie man sieht, hat das Ergebnis die Dimensionen von
v 2 . Damit hat der Druck die gleiche Dimension wie das
Produkt aus Dichte und Geschwindigkeit zum Quadrat:
m
[P] = [ρ] [v ] = 3
l
2
2
l
m
m l2
= 3 · 2 = 2
t
l t
lt
Plausibilitätsprüfung: Division der Dimension des Drucks durch die Dimension des Geschwindigkeitsquadrats ergibt
wieder die Dimension der Dichte: [P] /[v 2 ] = (m/ l t 2 ) / (l 2 / t 2 ) = m/ l 3 = [ρ].
1.3
Dimensionen
physikalischer Größen
Wie wir gesehen hatten, enthält eine physikalische Größe
sowohl eine Maßzahl als auch eine Maßeinheit. Die Maßeinheit gibt den für die Messung verwendeten Standard an und
die Maßzahl, wie oft der Standard in der gemessenen Größe
enthalten ist. Um zu charakterisieren, was man misst, muss
man aber die Dimension der physikalischen Größe angeben.
Länge, Zeit und Masse sind Dimensionen. Der Abstand d
zweier Körper hat die Dimension einer Länge. Wir schreiben
hierfür [d] = l, wobei [d] die Dimension des Abstands d
bedeutet und l für die Dimension der Länge steht. Entsprechend bezeichnen t und m die Dimensionen der Zeit bzw.
der Masse. Die Dimensionen verschiedener anderer Größen
lassen sich durch diese Grunddimensionen ausdrücken. So
ergibt sich der Flächeninhalt A einer Fläche, indem man eine
Länge mit einer zweiten Länge multipliziert. Da der Flächeninhalt das Produkt zweier Längen ist, sagt man, er habe die
Dimension „Länge mal Länge“ oder „Länge zum Quadrat“,
was als [A] = l 2 geschrieben werden kann. In dieser Gleichung bedeuten [A] die Dimension der Größe A und l die Dimension der Länge. Die Geschwindigkeit hat die Dimension
Länge durch Zeit oder l/t. Die Dimensionen anderer Größen wie Kraft oder Energie können durch die Dimensionen
von Grundgrößen wie Länge, Zeit und Masse ausgedrückt
werden.
Zwei physikalische Größen lassen sich nur dann sinnvoll addieren oder subtrahieren, wenn sie die gleiche Dimension
Tabelle 1.2 Dimensionen physikalischer Größen
Größe
Zeichen
Dimension
Flächeninhalt
Volumen
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Kraft
Druck (F/A)
Dichte (m/V )
Energie
A
V
v
a
F
P
ρ
E
[A] = l 2
[V ] = l 3
[v] = l/t
[a] = l/t 2
[F] = m l/t 2
[P] = m/(l t 2 )
[ρ] = m/l 3
[E] = m l 2 /t 2
m2
m3
m/s
m/s2
kg · m/s2
kg/ms2
kg/m3
kg · m2 /s2
besitzen. So ergibt es keinen Sinn, einen Flächeninhalt und
eine Geschwindigkeit zu addieren. Bei einer Gleichung wie
A = B +C
müssen also alle Größen, A, B und C, die gleiche Dimension besitzen. Außerdem erfordert die Addition von B und
C, dass diese Größen die gleiche Einheit haben. Wenn B
ein Flächeninhalt von 500 m2 und C ein Flächeninhalt von
4 km2 ist, muss entweder B in die Einheit von C umgerechnet
werden oder umgekehrt, um die Summe zu ermitteln.
Oft entdeckt man Fehler in Gleichungen, indem man die
Dimensionen oder Einheiten der Größen überprüft. Dieses
Vorgehen heißt Dimensionsanalyse. Nehmen wir an, wir
wollten irrtümlich die Formel A = 2πr verwenden, um
den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen. Da 2πr die
Dimension einer Länge hat, während der Flächeninhalt die
Tipler/Mosca: Physik, 6. Auflage