Menge der reellen ZAHLEN

Zahlenlehre
Mag. Daniel Zeller
Menge der reellen ZAHLEN
6.Jhdt. v. Chr.:
1.Grundlagenkrise der Mathematik
Gedanke: Harmonie im Kosmos beruht auf dem Verhältnis ganzer
x
Zahlen.
1
Länge der Diagonale in diesem Quadrat kann nicht als Verhältnis
1
ganzer Zahlen dargestellt werden!
=> ist gegen die Harmonie (Vernunft) => irrational
~ 550 v. Chr.:
Pythagoras von Samos (pyth. Lehrsatz)
x² = 1² + 1²
x² = 2
Erweiterung der Menge Q ist nötig, um diese Gleichung
lösen zu können.
Wie lautet die „Zahl“, deren Quadrat 2 ist?
=> ein neues Symbol wird benötigt:
2
radix = Wurzel, Ursprung
Radizieren = wurzelziehen
Ist
2 nicht doch eine rationale Zahl?
SATZ:
2 ∉ _ , d.h. keine rationale Zahl
BEWEIS:
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Was stellt man sich unter
2 als Zahl vor?
2 aus, d.h. von 2 aus!
Man geht vom Quadrat von
1² < 2 < 2² => 1 <
2 <2
1. Näherungswert:
2 = 1, …..
=> Intervall [ 1 ; 2 ] wird in gleiche Teile eingeteilt: (genauere Untersuchung)
Zahlenstrahl:
1,1² = 1,21 < 2
1,2² = 1,44 < 2
1,3² = 1,69 < 2
1,4² = 1,96 < 2
1,5² = 2,25 > 2
=> 1,4² < 2 < 1,5²
=> 1,4 <
2 < 1,5
2. Näherungswert:
2 = 1,4 …..
=> Intervall [ 1,4 ; 1,5 ] wird in gleiche Teile eingeteilt: (genauere Untersuchung)
Zahlenstrahl:
1,41² = 1,9981 < 2
1,42² = 2,0164 < 2
=> 1,41² < 2 < 1,42²
=> 1,41 <
2 < 1,42
3. Näherungswert:
2 = 1,41 …..
Dieses Verfahren lässt sich unendlich fortsetzen. Es gibt dabei keine Wiederholung von
Zahlenkombinationen.
2 ist eine unendliche nichtperiodische Dezimalzahl. In der Praxis rechnet man mit
rationalen Nährungswerten.
Reelle Zahlen sind Zahlen, die durch die Vorschrift, wie sie gebildet werden, festgelegt sind.
Das Verfahren heißt: Verfahren der dezimalen Schritte/ Intervallschachtelung
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Eine weitere Möglichkeit der Einführung ist das „Binäre Suchen“.
(Teilen des Intervalls in der Mitte => die gesuchte Zahl liegt entweder links oder rechts der
Mitte. Intervall [ a ; b ] =>
Bsp.:
a+b
2
= Mitte)
2
Zusammenfassung: Erweiterung der Zahlenmengen:
` ⇒ ]:
Subtraktion natürlicher Zahlen soll unbegrenzt ausführbar sein
Bsp.:
]⇒_:
Division ganzer Zahlen soll unbegrenzt ausführbar sein
Bsp.:
_ ⇒ \:
Lösung der Gleichung x² = a mit a ≥ 0 und a ∈ _ soll möglich sein
Einführung des Zeichens „
“
Bsp.:
Quadratwurzel als ein Beispiel einer reellen Zahl:
x² = 4
x = 2 ist die positive Lösung
x = -2 ist die negative Lösung
x² = 5
x = + 5 ist die positive Lösung
x = − 5 ist die negative Lösung
5 ist die positive Lösung der Gleichung x² = 5
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Allgemein:
xn = a
a ∈ \, a ≥ 0 , n ∈ `
Definition:
n
a ist die positive Lösung der Gleichung x n = a !
WICHTIG:
Unterscheidung zwischen : * Lösen einer Gleichung
* Berechnen eines Wurzelwerts
Gleichung:
x 3 = −8 => x = -2 ist die Lösung der Gleichung
3
−8
=> in \ nicht definiert!
oder
x 2 = 4 => hat die Lösungen x = + 4 = 2 und
x = − 4 = −2
=>
4 = 2 (nur die positive Lösung)
WURZELBEGRIFF in \ ist EINDEUTIG => positive Lösung der dazugehörigen Gleichung
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