Zusammenfassung: Elektrische Felder - lehrer.uni

LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
02.02.2011
Zusammenfassung: Bewegung geladener Teilchen in elektrischen Feldern und in
Magnetfeldern
Bewegung geladener Teilchen in elektrischen Feldern
JJG
Ein Teilchen der Ladung q, der Masse m und der Anfangsgeschwindigkeit v0 bewege sich im
JG
Vakuum in einem elektrischen Feld der Feldstärke E .
1. Erzeugung eines Elektronenstrahls mit einer Braunschen Röhre (Kathodenstrahlröhre)
Die Heizspannung U H bringt die Kathode K
zum Glühen; dabei treten Elektronen aus der
W
Kathode aus (glühelektrischer Effekt). Die
Anodenspannung U A (z. B. U A = 20 kV )
UH
K
beschleunigt diese Elektronen zur Anode A hin.
A
Der gegenüber der Kathode negative Wehneltzylinder W fokussiert den Elektronenstrahl. Die
Elektronen fliegen durch ein Loch in der Mitte
UA
der Anode zum Leuchtschirm L.
L
2. Energieänderungen
Bewegt sich das Teilchen von einem Punkt A zu einem Punkt B, dann gilt für die Spannung
U = U AB zwischen diesen Punkten nach Definition
∆W
U=
.
q
Also ändert sich die Energie des Teilchens um
∆W = qU .
Diese Gleichung ist richtig, wenn man alle Größen mit Vorzeichen rechnet. Für unsere Zwecke ist
es aber einfacher, alle Größen positiv zu rechnen. Aus dem Zusammenhang ist immer klar, ob die
Energie des Teilchens zu- oder abnimmt.
Die Energie eines Teilchens ist immer kinetische Energie
1
Wkin = mv 2 .
2
Betrachte ein Teilchen, das als Ladung eine Elementarladung trägt, also ein Elektron oder ein
Proton oder ein einfach ionisiertes Atom. Durchläuft ein solches Teilchen die Spannung U = 1 V ,
dann ändert sich seine Energie um
∆W = 1 e ⋅ 1 V = 1, 60 ⋅ 10−19 C ⋅ 1 V = 1, 6 ⋅ 10−19 J .
Definition: Die Energie
1 eV = 1 e ⋅ 1 V = 1, 6 ⋅ 10−19 J
heißt ein Elektronvolt.
3. Relativistische Massenzunahme
Ein Körper mit der Ruhemasse m0 hat bei der Geschwindigkeit v die Masse
m=
m0
1−
09e_zus_bewegunggelteilcheninelfeldernundinmagfeldern1/6
v2
c2
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mit der (Vakuum-)Lichtgeschwindigkeit
c = 3, 00 ⋅ 108
m
km
= 300 000
.
s
s
m
Bei zunehmender Geschwindigkeit des Teilchens wird die
Masse des Teilchens größer. Bei kleinen Geschwindigkeiten ist
die Massenzunahme vernachlässigbar; nähert sich die
Geschwindigkeit aber der Lichtgeschwindigkeit, dann wächst
die Masse über alle Grenzen.
m0
c
v
4. Bewegungen mit v0 = 0
Ist das Teilchen anfangs in Ruhe, dann wird es beschleunigt. Durchläuft das Teilchen die
Spannung U, dann berechnet man die Energie W, die es erhält, bzw. die Geschwindigkeit v, auf die
es beschleunigt wird, mit
1 2
Wkin = qU bzw.
mv = qU .
2
Ist das Feld homogen, dann erfährt das Teilchen eine konstante Kraft und wird gleichmäßig
beschleunigt, und es gelten die Beziehungen
F
• E = , also F = qE ;
q
F
• F = ma , also a = ;
m
v2
1 2
• v = at und s = at und s =
.
2a
2
JJG JG
5. Bewegungen mit v0 & E
Bewegt sich das Teilchen in Richtung der Feldlinien bzw. entgegengesetzt, dann wird das Teilchen
beschleunigt oder abgebremst. Durchläuft das Teilchen die Spannung U, dann berechnet man die
Energieänderung ∆W , die es erfährt, und die Geschwindigkeit v, auf die es beschleunigt wird, mit
∆Wkin = qU
1 2 1
2
mv − mv0 = qU .
2
2
1
2
Achtung: Dies ist nicht das Gleiche wie m ( v − v0 ) !
2
Wird das Teilchen abgebremst, dann ist die umgekehrte Differenz zu nehmen.
Ist das elektrische Feld homogen, dann wird das Teilchen gleichmäßig beschleunigt oder
abgebremst, und es gelten die Beziehungen (rechne alle Größen positiv)
F
und v = v0 + at bzw. v = v0 − at .
F = qE , a =
m
Wird das Teilchen bis zum Stillstand abgebremst, dann gilt außerdem
2
v
1
s = at 2 und s = 0 .
2a
2
09e_zus_bewegunggelteilcheninelfeldernundinmagfeldern2/6
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Bewegung geladener Teilchen in Magnetfeldern
JJG
Ein Teilchen der Ladung q, der Masse m und der Anfangsgeschwindigkeit v0 bewege sich im
JG
Vakuum in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B .
Vorüberlegungen:
• Da die Lorenzkraft senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, verrichtet sie keine Arbeit an
dem Teilchen. Also bleibt die Energie des Teilchens und damit der Betrag seiner Geschwindigkeit gleich.
• Ist das Teilchen anfangs in Ruhe, dann ist die Lorentzkraft FL = qvs B = 0 . Also bleibt das
Teilchen in Ruhe.
• Bewegt sich das Teilchen in Richtung der Feldlinien bzw. entgegengesetzt, dann ist seine
Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu den Feldlinien vs = 0 . Also ist die Lorentzkraft
FL = qvs B = 0 . Also bewegt sich das Teilchen geradlinig und gleichförmig.
JJG JG
1. Bewegungen mit v0 ⊥ B
Der Betrag v der Geschwindigkeit des Teilchens ist konstant. Da die Lorentzkraft senkrecht zu den
Feldlinien wirkt, bleibt die Bewegungsrichtung des Teilchens stets senkrecht zu den Feldlinien,
d. h. es ist stets vs = v . Also ist der Betrag der Lorentzkraft FL = qvs B konstant. Also ist die
Lorentzkraft eine Kraft mit konstantem Betrag, die senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt. Also
wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft, und das Teilchen führt eine gleichförmige Kreisbewegung aus.
Für den Radius r der Kreisbahn gilt
FL = FZ
2
mvs
r
mv
r= s .
qB
Diese Gleichung schreibt man häufig in der Form
v
r= s ,
q
B
m
qvs B =
um zum Ausdruck zu bringen, dass der Radius von der spezifischen Ladung
abhängt.
Für die Umlaufdauer T der Kreisbewegung gilt
2π r
vs =
T
2π ⋅
mvs
qB
m
2π r
.
=
= 2π
vs
vs
qB
Die Umlaufdauer hängt also nicht von der Geschwindigkeit ab.
T=
09e_zus_bewegunggelteilcheninelfeldernundinmagfeldern3/6
q
des Teilchens
m
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Die Kreisbewegung von Elektronen kann man in einem Fadenstrahlrohr zwischen einem Paar von
Helmholtzspulen sichtbar machen:
• In einem Fadenstrahlrohr befindet sich eine Glühkathode, die Elektronen freisetzt. Daneben
ist eine Anode. Die Elektronen werden durch eine Spannung U, die zwischen Anode und
Kathode liegt, beschleunigt. Sie treten durch ein Loch in der Anode in einen Raum, der mit
einem stark verdünnten Edelgas gefüllt ist. Die Elektronen stoßen gegen die Gasmoleküle
und regen diese zum Leuchten an, so dass die Bahn der Elektronen sichtbar wird.
• Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei großen Ringspulen mit gleicher Spulenachse,
deren Radius gleich ihrem Abstand ist. Werden die Spulen gleichsinnig von einem Strom
gleicher Stärke durchflossen, dann erzeugen sie in ihrem Innenraum ein (näherungsweise)
homogenes Magnetfeld.
e
bestimmen:
me
• Beschleunige die Elektronen in einem Fadenstrahlrohr mit einer Spannung U (und miss
diese mit einem Voltmeter);
• erzeuge mit einem Paar von Helmholtzspulen ein homogenes Magnetfeld und miss dessen
Flussdichte B mit einem Teslameter;
• miss den Radius r der Kreisbahn der Elektronen.
me v 2
eBr
.
, folgt v =
Aus FL = FZ , also evB =
me
r
1
Einsetzen in me v 2 = eU ergibt
2
1
e2 B 2 r 2
= eU
me ⋅
2
2
me
Mit einer solchen Anordnung kann man die spezifische Elektronenladung
eB 2 r 2
=U
2me
e
2U
= 2 2 .
me B r
Man erhält
e
C
= 1, 76 ⋅ 1011
.
me
kg
Da die Elementarladung e aus dem Millikan-Versuch bekannt ist, kann man mit diesem Ergebnis
die Elektronenmasse me berechnen.
JG
JJG
2. Bewegungen mit v0 schräg zu B
JJG
JG
Zerlege die Geschwindigkeit v0 in eine Komponente vs senkrecht zu den Feldlinien und in eine
JJG
Komponente vp parallel zu den Feldlinien. Schließt die anfängliche Bewegungsrichtung des Teilchens mit den Feldlinien den Winkel α ein, dann gilt:
JJG
v0
JG
vs
α
JJG
vp
v0
JG
B
α
vp
09e_zus_bewegunggelteilcheninelfeldernundinmagfeldern4/6
vs
vs
, also vs = v0 ⋅ sin α
v0
vp
cos α = , also vp = v0 ⋅ cos α
v0
sin α =
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JG
JJG
Die Komponente vs bewirkt, dass das Teilchen eine Kreisbahn beschreibt; die Komponente vp
bewirkt, dass sich das Teilchen geradlinig gleichförmig bewegt. Die Überlagerung beider
Bewegungen ergibt eine Schraubenbahn.
Der Schraubenradius ist (vgl. 1.)
r=
mvs mv0 ⋅ sin α
=
,
qB
qB
und die Umlaufdauer ist (vgl. 1.)
T = 2π
m
.
qB
Während der Dauer eines Umlaufs bewegt sich das Teilchen parallel zu den Feldlinien um die
Ganghöhe H weiter, für die gilt:
H
vp =
T
mvp
mv0 ⋅ cos α
m
H = vpT = vp ⋅ 2π
= 2π
= 2π
.
qB
qB
qB
JG
JG
3. Bewegungen in gekreuzten E - und B - Feldern
JG
Dem Magnetfeld wird ein homogenes elektrisches Feld der Feldstärke E überlagert, dessen Feldlinien senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfelds verlaufen.
Das Teilchen bewege sich anfangs senkrecht zu den elektrischen und senkrecht zu den magnetischen Feldlinien.
In der gezeichneten Anordnung erfährt ein
• negativ geladenes Teilchen eine Lorentzkraft nach
unten und eine elektrische Kraft nach oben;
• positiv geladenes Teilchen eine Lorentzkraft nach
oben und eine elektrische Kraft nach unten.
JJG
v0
JG
E
JG
B
Ein Teilchen durchfliegt die Anordnung genau dann waagrecht, wenn die Lorentzkraft und die
elektrische Kraft im Gleichgewicht sind:
FL = Fel
qv0 B = qE
E
B
Ein Teilchen durchfliegt die Anordnung also genau dann waagrecht, wenn es die Geschwindigkeit
E
v0 =
hat. Diese Geschwindigkeit ist unabhängig
B
• vom Betrag der Ladung des Teilchens;
• vom Vorzeichen der Ladung des Teilchens;
• von der Masse des Teilchens.
v0 =
Da die Lorentzkraft proportional zur Geschwindigkeit ist, aber die elektrische Kraft nicht von der
Geschwindigkeit abhängt, folgt:
Bei jeder anderen Geschwindigkeit wird ein Teilchen nach oben oder nach unten abgelenkt.
Die Anordnung wirkt also als Geschwindigkeitsfilter (sog. Wien’sches Filter).
09e_zus_bewegunggelteilcheninelfeldernundinmagfeldern5/6
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4. Anwendungen
• Ablenkung von Elektronenstrahlen durch Ablenkmagnete in Braunschen Röhren (Röhrenfernseher, Röhrenmonitor, Oszilloskop).
• Massenspektrometer: Atome bzw. Moleküle werden ionisiert und in einem elektrischen Feld
beschleunigt. Nach Durchlaufen eines Geschwindigkeitsfilters werden sie in einem Magnetfeld abgelenkt. Aus dem Auftreffpunkt auf einer Fotoplatte kann man ihre spezifische
Ladung berechnen und damit verschiedene Stoffe oder Isotope bestimmen.
• Teilchenbeschleuniger mit Speicherring: siehe GFS „Beschleuniger“
09e_zus_bewegunggelteilcheninelfeldernundinmagfeldern6/6