Lösung - Strahlensatz

Übungsaufgaben Blatt 6
Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zufallsvariable, E(x) und V(x)
Sowa
1.
In einer Urne liegen 4 Kugeln mit den Augenzahlen 2, 3, 5, 8. Es werden zwei Kugeln mit einem Griff
gezogen. Die Zufallsvariable X ordnet jedem gezogenem Paar die Augensumme zu. Geben Sie die
Wahrscheinlichkeitsverteilung von S an !
2.
Drei Laplace Münzen werden gleichzeitig geworfen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Zufallsvariablen an, die den Münzen die Anzahl der Köpfe zuordnet !
3.
Ein idealer Tetraeder wird fünfmal geworfen. Die Zufallsvariable X zähle die Vierer. Stellen Sie die
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf !
4.
In einer Tüte befinden sich 8 Tomaten, zwei von ihnen sind noch grün. Es werden blind 4 Tomaten aus der
Tüte genommen. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der grünen Tomaten in dieser Stichprobe an.
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf !
5.
Beim zweimaligen Werfen eines idealen Würfels sei X das Augenprodukt Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung!
6.
Eine Laplace-Münze wird so lange geworfen, bis eine der Seiten zum dritten Mal erschienen ist. Es sei X
die Anzahl der Würfe. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X !
Erwartungswert
7.
Ein Spieler hat am Automaten 24 mal 40 Cent, 17 mal 10 Cent, 8 mal ein Euro gewonnen und 50 mal 30
Cent verloren. Wie hoch war sein durchschnittlicher Gewinn bzw. Verlust pro Spiel?
8.
Beim zweimaligen Werfen eines idealen Würfels sei X das Augenprodukt Berechnen Sie E(x)!
9.
Eine Laplace-Münze wird so lange geworfen, bis eine der Seiten zum dritten Mal erschienen ist. Es sei X
die Anzahl der Würfe. Berechnen Sie den Erwartungswert !
10. Peter und Paul vereinbaren ein Würfelspiel mit zwei Würfeln. Wenn wenigstens ein Würfel die Augenzahl 5 oder 5 zeigt, dann zahlt Paul an Peter ein Euro. In allen anderen Fällen zahlt Peter an Paul ein Euro.
Geben Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen an!
Übungsaufgaben Blatt 6
Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zufallsvariable, E(x) und V(x)
Sowa
Lösung
Auf_1:
Auf_2:
X = Augensumme
xi
5
7
8
10
11
13
P( X  xi )
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
X = Anzahl der geworfenen Köpfe
xi
P( X  xi )
Auf_3:
Auf_4:
0
1
3
3
1
8
3
8
3
8
1
8
X = Anzahl der Vieren in 5 Würfen
xi
0
P( X  xi )
1 3 5
4 4
Gerudet
0,237
1

1
4
2
  34   5
4
0
P( X  xi )  6   2 
    
 4  0  3
14
8
 
 4
3
 14 2   34 3  
5

 2
0,395
X = gründen Tomaten
xi
(Binomialverteilt)
 14 3   34 2  
5

 3
0,264
0,088
(Hypergeometrisch verteilt)
1
2
 6  2
    
 4  1  4
7
8
 
 4
 6  2
    
 4  2  3
14
8
 
 4
4
5
 14 4  34  5
 14 5
0,015
0,001
Übungsaufgaben Blatt 6
Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zufallsvariable, E(x) und V(x)
Sowa
Auf_5:
Auf_6:
X = Augenprodukt zweier Würfel
xi
1
2
3
4
5
6
8
9
10
P( X  xi )
1
36
1
18
1
18
1
12
1
18
1
9
1
18
1
36
1
18
xi
12
15
16
18
20
24
25
30
36
P( X  xi )
1
9
1
18
1
36
1
18
1
18
1
18
1
36
1
18
1
36
X = Abbruch des Spiels nach i Zügen
xi
3
4
5
P( X  xi )
1
4
3
8
3
8
------------------------------------------------Erwartungswert---------------------------------------------------------
Auf_7:
25  0, 4  17  0,1  8 1  50  (0, 3)
 0, 047 Euro  4, 7Cent
50
Im Durchschni tt gewinnt man fast 5 Cent pro Spiel .
Auf_8:
E ( x)  1 361  2  182  ...  36  361  441
36  12, 25
Auf_9:
Auf_10:
E ( x) 
25  0,4  17  0,1  8 1  50  (0,3)
 0, 047 Euro  47Cent
50
 20 
 16  4
E ( x)  1    1   
 0,11 Euro.
 36 
 36  36
Peter gewinnt auf lange Sicht das Spiel .
E ( x) 