Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik
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BG/BRG Kufstein Schriftliche Reifeprüfung Klasse 8C Mathematik Mag. Armin Schützinger Haupttermin 2011/2012 Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik a) Von einem Punkt P im ebenen Gelände sieht man einen Airbus unter einem Höhenwinkel = 3,67°. Eine Minute später sieht man das Flugzeug unter einem Höhenwinkel = 3,71°, eine weitere Minute später unter einem Höhenwinkel = 2,26°. Berechne unter der Voraussetzung, dass sich der Airbus mit einer konstanten Geschwindigkeit von 900 km/h auf einer geradlinigen waagrechten Flugbahn fortbewegt, die Höhe des Flugzeugs über dem Beobachter. b) Inwiefern ist die obige Aufgabe aus Teil a) schwieriger zu lösen als gewöhnliche räumliche Vermessungsaufgaben? Erläutere in eigenen Worten die Problematik! a) Von einer regelmäßigen quadratischen Pyramide kennt man die Eckpunkte A(7/2,5/1) und B(9/-3/3,5) und einen Punkt P(4/-2/7) der Seitenfläche CDS. Der Punkt C des Basisquadrats liegt in der Ebene : 2x + 2y + z = 2 und höher als B. Berechne die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte und der Spitze der Pyramide! b) Erkläre den von uns erstellten Befehl ebene3p(P,Q,R) für den TI Voyage, mit dessen Hilfe man die Normalvektorform einer Ebene durch die drei Punkte P, Q und R erhält! dotP(crossP(vek2-vek1,vek3-vek1),xyzvek)=dotP(crossP(vek2-vek1,vek3-vek1),vek1) ebene3p(vek1,vek2,vek3) a) Ein Senklot aus Blei ( = 11,3 g/cm³) mit der Masse 500 g setzt sich aus einer Halbkugel, einem Drehzylinder und einem Drehkegel zusammen, wobei die Radien aller drei Teilkörper gleich groß sind. Wie groß müssen dieser Radius sowie die Höhe des Drehzylinders und die des Drehkegels gewählt werden, damit das Senklot eine möglichst kleine Oberfläche hat? b) Begründe mit den dir zur Verfügung stehenden Mitteln, warum die von dir gefundene Lösung minimale Oberfläche liefert! a) Eine Halbkugel mit dem Radius r = 6 cm wird wie in der nebenstehenden Abbildung zylindrisch ausgebohrt, so dass die Bohrung genau durch die Rotationsachse der Halbkugel verläuft. Der Bohrradius beträgt 3 cm. Schneidet man den Körper mit waagrechten Ebenen unterschiedlicher Höhe, so erhält man sichelförmige Schnittfiguren, deren Größe in Abhängigkeit von der Höhe der Schnittebene variiert. Berechne das Volumen der ausgebohrten Halbkugel! b) Leite mit Hilfe der Integralrechnung die Formel für das Volumen eines Drehzylinderhufes Grundfläche her: Punkteverteilung: Aufg. 1: 12 P. (9+3) 48 ≥ Sehr gut ≥ 44 > mit V ≥ 38 halbkreisförmiger = Aufg. 2: 12 P. (9+3) Gut Befriedigend r r 2·h·r²/3 Aufg. 3: 12 P. (9+3) > h ≥ 29 r Aufg. 4: 12 P. (8+4) insgesamt 48 Punkte möglich > Genügend ≥ 23 > Nicht genügend ≥ 0 BG/BRG Kufstein Schriftliche Reifeprüfung Lösung Klasse 8C Mathematik Mag. Armin Schützinger Haupttermin 2011/2012 : a)(mit Verwendung des TI Voyage) v= s t in unserem Fall: 900 km 6 0min d = 900 km h d 1 min = ·1 min = 15 km h a = tan() h b = tan() h c = tan() B d A h C d h d FA h d FB b a² = b² + d² – 2·b·d·cos() c a c² = b² + d² – 2·b·d·cos() FC P TI 15d 15 TI 3.67 3.67 TI 3.71 3.71 TI 2.26 2.26 TI h tan() a 15.5906·h TI h tan() b 15.4220·h TI h tan( ) c 25.3390·h 57.2958·(.017453·sin-1 .011298 (h² 43.0429) +1.5708 h (h² .556621 ) -1 .873696 57.2958·(.017453·sin +1.5708 h TI cos-1((a²-b²-d²)/(-2·b·d)) TI cos-1((c²-b²-d²)/(-2·b·d)) TI nsolve(+=180,h=1) 1.04835 Der Airbus hat eine Flughöhe von etwa 1050 m. b) Bei einfacheren räumlichen Vermessungsaufgaben kann man sich ausgehend von einem Dreieck, in dem zumindest eine Länge bekannt ist, schrittweise zu anliegenden Dreiecken weiterarbeiten. Beim obigen Beispiel ist dies nicht möglich, da von den Dreiecken PF AFB und PFBFC, in denen man die Länge d kennt, keine weiteren Größen gegeben sind. Man muss die benötigten Längen in Abhängigkeit von h darstellen, man erhält also keine Zahlenwerte als Zwischenergebnisse, sondern Funktionen in Abhängigkeit von h. Mit diesen Termen lässt sich ein Gleichungssystem aufstellen, das letztendlich zu lösen ist. Punkteverteilung: Aufg. 1: 12 P. (9+3) 48 ≥ Sehr gut ≥ 44 > Aufg. 2: 12 P. (9+3) Gut ≥ 38 Aufg. 3: 12 P. (9+3) > Befriedigend ≥ 29 Aufg. 4: 12 P. (8+4) insgesamt 48 Punkte möglich > Genügend ≥ 23 > Nicht genügend ≥ 0 BG/BRG Kufstein Schriftliche Reifeprüfung Lösung Klasse 8C Mathematik Mag. Armin Schützinger Haupttermin 2011/2012 : a)(mit Verwendung des TI Voyage) 7 TI 2,5 a 9 4 TI 3 b 1 TI 2 p 3,5 7 TI 2x+2y +z=2 A 2x+2y+z=2 -2x+5.5y–2.5z=-43.25 TI ebenenp(a-b,b) TI betrag(a-b)sl D B a 6.36396 C TI (x-9)²+(y+3)²+(z-3.5)²=sl²kug x²-18x+y²+6y+z²-7z+102.25=40.5 TI solve( and and kug,x) x=7.94 and y=-5.91 and z=-2.06 or x=3 and y=-4.5 and z=5 3 4.5 5 TI [3;-4.5;5]c 1 1 2.5 TI a+c-bd S 4 ,5s15 18s11 36s1 3 TI halbp(a,c)+s1crossp(a-b,c-b)n A P 17.25x+1.5y–10.5z=-7.5 TI ebene3p(c,d,p) TI schnegs(,n,s1) D s1=0.22222 M B 6 3 11 TI n|ans(1)s C n C(3/-4,5/5), D(1/1/2,5), S(6/3/11) b) dotP(crossP(vek2-vek1,vek3-vek1),xyzvek)=dotP(crossP(vek2-vek1,vek3-vek1),vek1) ebene3p(vek1,vek2,vek3) Das Kreuzprodukt „crossP(vek2-vek1,vek3-vek1)“ liefert einen zur Ebene durch die Punk- te P (=vek1), Q (=vek2) und R (=vek3) normalen Vektor n . Durch das Skalarprodukt mit dem Vektor [x;y;z] – in der Formel „dotP(crossP(vek2-vek1,vek3-vek1),xyzvek)“ – erhält man die linke Seite der Ebenengleichung, „nxx+nyy+nzz“. also einen Term der Form Rechts von Gleichheitszeichen wird dieser Normalvektor n mit dem Ortsvektor von einem der drei gegebenen Punkte skalar-multipliziert; dadurch geht die Ebene durch diesen gewählten Punkt. Punkteverteilung: Aufg. 1: 12 P. (9+3) 48 ≥ Sehr gut ≥ 44 > Aufg. 2: 12 P. (9+3) Gut ≥ 38 Aufg. 3: 12 P. (9+3) > Befriedigend ≥ 29 Aufg. 4: 12 P. (8+4) insgesamt 48 Punkte möglich > Genügend ≥ 23 > Nicht genügend ≥ 0 BG/BRG Kufstein Schriftliche Reifeprüfung Lösung Klasse 8C Mathematik Mag. Armin Schützinger Haupttermin 2011/2012 : a)(mit Verwendung des TI Voyage) V= 2 r³ 3 + ·r²·h + r²g 3 und O = 2··r² + 2·r··h + r··s V= , wobei m = s= 500 11,3 = 44,2478 cm³ r r² g² h h r TI solve(2··r³/3+·r²·h+·r²·g/3=500/11.3,h) h= 2 r³ right(ans(1)) h TI 2··r²+2·r··h+r·· r² g² o(r,g) g 3r² 2 r³ TI gr ² 21.1268 2 gr ² 21.1268 2 s 3r² TI (o(r,g)) = 0 gl1 r TI (o(r,g)) = 0 gl2 g Done r ² · r² g² + r² g² + 4 r 3 – 88.4956 r² g r g² r² g= 2 5 r 5 2 g 3 =0 – 2 r 3 =0 2 5 r 5 TI solve(gl2,g) TI solve(gl1,r)g= 2 TI 2.15262lr 2.15262 TI 2· 5 ·lr/5lg 1.92536 TI hg=lg and r=lrlh 0.96268 TI o(r,g) g=lg and r=lr 61.6661 5 r 5 or g= – or r=0 r=2.15262 or r=-2.75308 b)(mit Verwendung des TI Voyage) Im 3D-Modus des TI Voyage kann man Funktionen in 2 Variablen analysieren. TI o(r,g)r=x and g=y TI ans(1) z1(x,y) x x² y² + 2 ( x³ x² y 42.2535) 3 x Done Im Auf- und Kreuzriss kann man mit Hilfe der Trace-Funktion die Koordinaten des tiefsten Punktes ungefähr ablesen. Diese stimmen mit den berechneten Werten überein. Aufriss: Window-Einstellungen Graph Kreuzriss: Window-Einstellungen Graph Punkteverteilung: Aufg. 1: 12 P. (9+3) 48 ≥ Sehr gut ≥ 44 > Aufg. 2: 12 P. (9+3) Gut ≥ 38 Aufg. 3: 12 P. (9+3) > Befriedigend ≥ 29 Aufg. 4: 12 P. (8+4) insgesamt 48 Punkte möglich > Genügend ≥ 23 > Nicht genügend ≥ 0 BG/BRG Kufstein Schriftliche Reifeprüfung Lösung Klasse 8C Mathematik Mag. Armin Schützinger Haupttermin 2011/2012 : a)(mit Verwendung des TI Voyage) Kugelradius: 6 cm Zylinderradius: 3 cm 36 h2 r(h) Done TI cos-1(r(h)/6) (h) Done TI r(h) TI 180 – (h) (h) Done 6 TI r²(h)2(h)/360 + r²(h)sin(2(h))/2 ga1(h) Done TI 180 – 2(h)(h) Done r(h) TI 180 –(h)(h) Done TI 3²(h)/180 + 3²sin(2(h))/2 ga2(h) Done TI ( ga(h),h,0,6) 3 3 322,195 V = 322,195 cm³ b)(ohne Verwendung des TI Voyage) r2 x2 R(x) = H(x) R (x ) = h r h H(x) H(x) = hR(x) r = h r² x² r A(x) h R(x) r r R(x)H(x) r = r² x²2hr r² x² = 2 hr²x² hr hx² = 2r 2 2r r r = hr hx² dx = hr x hx³ = hr² hr² hr² hr² 6 2 6 6r r 2r 2 2 2 r x A(x) = = V Punkteverteilung: Aufg. 1: 12 P. (9+3) 48 ≥ Sehr gut ≥ 44 > Aufg. 2: 12 P. (9+3) Gut ≥ 38 r x = hr² hr² 3 3 Aufg. 3: 12 P. (9+3) > Befriedigend ≥ r 29 = 2hr² 3 Aufg. 4: 12 P. (8+4) insgesamt 48 Punkte möglich > Genügend ≥ 23 > Nicht genügend ≥ 0
